八年级上角平分线中垂线中点模型专题Word文档下载推荐.docx
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4)已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”。
例1已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F,AF=EF,求证:
AC=BE.
变式:
如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF//AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,若AD为△ABC的角平分线,求证:
BG=CF.
例2.在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,点D为BC的中点,点E、F分别为AB、AC上的点,且ED⊥FD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?
若能,该三角形是锐角三角形,还是直角三角形,或者是钝角三角形?
第2章角平分线模型的构造
已知,P是∠MON平分线上一点,角平分线的四大基本模型:
(1)若PA⊥OM于点A,可过点P作PB⊥ON于B,则PB=PA;
(2)若点A是射线OM上任意一点,可在ON上截取OB=OA,连接PB,则构造了△OPB≌△OPA;
(3)若AP⊥OP于点P,可延长AP交ON于点B,则构造了△AOB是等腰三角形,且P是AB中点;
(4)若过点P作PQ//ON交OM于点Q,则构造了△POQ是等腰三角形。
(1)
(2)(3)(4)
例1
(1)如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠CAB的平分线AD交BC于点D,BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是( )
A.3B.4C.5D.6
(2)已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AP平分∠BAC
例2
(1)在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,请比较PB+PC与AB+AC的大小并说明理由.
(2)如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,请比较PB-PC与AB-AC的大小并说明理由.
例3在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°
,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
例4
(1)如图1,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F,过点F作DE//BC,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为_________;
(2)如图2,在△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,DE//AB,FD//AC,如果BC=6,求△DEF的周长.
图1图2
例5如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP,若∠BPC=40°
,求∠CAP的度数.
第3章弦图的构造及应用
如以下图是弦图及其衍生图:
例12002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股弦方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,那么
的值为___________________.
例2如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为 _______.
例3如图,四边形ABCD是正方形,直线l1,l2,l3分别通过A,B,C三点,且l1∥l2∥l3,若l1与l2的距离为5,l2与l3的距离为7,则正方形ABCD的面积为___________.
例4如图1,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.
(1)试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)若连接EF交GA的延长线于H,由
(1)中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗?
(3)图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗?
如果相等,请证明。
例5已知:
在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BCD=a,以D为旋转中心,将腰DC逆时针旋转90°
至DE,连接AE、CE.
(1)当a=45°
时,求△EAD的面积;
(2)当a=30°
(3)当0°
<a<90°
时,猜想△EAD的面积与α大小有何关系?
若有关,写出△EAD的面积S与a的关系式;
若无关,请证明结论.
第4章图形变换之轴对称
最短路径问题,需考虑轴对称。
几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法如下图所示:
问题
作图方法
备注
(1)在直线l上求点P,使|PA-PB|最大.
(2)在直线l上求点P,使|PA-PB|最大.
(3)在直线l上求点P,使PA+PB最小.
(4)在直线l上求点P,使PA+PB最小.
(5)在直线l上求两点M、N(M在左),使得MN=a,并使AM+MN+NB最小.
(6)在射线l1、l2上分别求点M、N,使△PMN周长最小.
(7)在射线l1、l2上分别求点M、N,使四边形PMNQ周长最小.
(8)在射线l2上求作一点D,在射线l1上求作一点C,使得PD+CD最小.
(9)在直线l上求点P,
使PA=PB.
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- 年级 平分线 中垂线 中点 模型 专题