数字信号处理复习总结-汤巧治.doc
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数字信号处理复习要点
引言数字信号处理主要包括如下几个部分
1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析
2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换
3、数字滤波器的设计
一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析
1、离散时间信号:
1)离散时间信号:
时间是离散变量的信号,即独立变量时间被量化了。
信号的幅值可以是连续数值,也可以是离散数值。
2)数字信号:
时间和幅值都离散化的信号。
(本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理)
3)离散时间信号可用序列来描述
4)序列的卷积和(线性卷积)
5)几种常用序列
a)单位抽(采、取)样序列(也称单位冲激序列),
b)单位阶跃序列,
c)矩形序列,
d)实指数序列,
6)序列的周期性
所有存在一个最小的正整数,满足:
则称序列是周期序列,周期为。
正弦序列的周期性取决于,是周期序列。
7)时域抽样定理:
一个限带模拟信号,若其频谱的最高频率为,对它进行等间隔抽样而得,抽样周期为T,或抽样频率为;
只有在抽样频率时,才可由准确恢复。
2、离散时间信号的频域表示(时域离散信号的傅里叶变换;序列的傅立叶变换)
,
3、离散时间信号的复频域分析(时域离散信号的Z变换,序列的Z变换)
;
1)Z变换与傅立叶变换的关系,
2)Z变换的收敛域
收敛区域要依据序列的性质而定。
同时,只有Z变换的收敛区域确定之后,才能由Z变换唯一地确定序列。
一般来来说,序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域:
3)有限长序列:
,
右序列:
,
左序列:
,
(|z|
0<|Z| 0≤|Z| 双边序列: , 总结: 因果序列的收敛域包括无穷大点。 常用序列的Z变换: Z变换之逆变换 ,C: 收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 1)留数定理: , 即 对于单极点zi: 2)留数辅助定理(C内有高阶极点时): 适用条件: F(z)在C外M个极点zm,且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上! ! 3)利用部分分式展开: ,然后利用定义及常用序列的Z变换求解。 4、离散时间系统: 系统函数: , 冲激响应: 5、线性系统: 满足叠加原理的系统。 6、移不变系统: 若,则 7、线性移不变系统 设系统的输入序列为x(n),它可以表示为单位取样序列的移位加权和,即: 那么,系统对应的输出为: 如果该系统是一线性移不变系统,根据其线性则有: 又根据移不变性和h(n)定义,则有: 冲激响应: 所以此时系统输出为: ,, 8、系统的频率特性可由其零点及极点确定 (式中,zk是极点,zi是零点;在极点处,序列x(n)的Z变换是不收敛的,因此收敛区域内不应包括极点。 ) 9、稳定系统: 有界的输入产生的输出也有界的系统, 即: 若,则 线性移不变系统是稳定系统的充要条件: 或: 其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1 10、因果系统: 时刻的输出只由时刻之前的输入决定。 线性移不变系统是因果系统的充要条件: 或: 其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部: 即: |z|>Rx 11、稳定因果系统: 同时满足上述两个条件的系统——P62 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件: , 或: H(z)的极点在单位园内,且H(z)的收敛域满足: 12、差分方程 线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示(差分方程的初始条件应满足松弛条件) 13、差分方程的解法 1)直接法: 递推法 2)经典法 3)由Z变换求解 二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换(第三、四章) 1、周期序列的离散傅立叶级数(DFS) 其中: = 2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT) ,0≤≤ ,0≤n≤ 应当注意,虽然和都是长度为的有限长序列,但他们分别是由周期序列和截取其主周期(主值区间)得到的,本质上是做DFS或IDFS,所以不能忘记它们的隐含周期性。 尤其是涉及其位移特性时更要注意。 3、离散傅立叶变换与Z变换的关系 4、频域抽样定理 对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样,抽样点数为N,或抽样间隔为,当N≥M时,才可由X(k)不失真恢复。 内插公式: 5、周期卷积、循环卷积 周期(线性)卷积: 循环卷积: 6、用周期(周期)卷积计算有限长序列的线性卷积 对周期要求: (N1、N2分别为两个序列的长度) 7、时域抽取基2FFT算法(DIT-FFT) 1)数据要求: 1、N=8,FFT运算流图 2、DIT―FFT的运算规律 序列长N=2M点的FFT,有M级蝶形,每级有N/2个蝶形运算。 每个蝶形都要乘以旋转因子WpN,p称为旋转因子的指数。 , 第L级共有B=2L-1个不同的旋转因子;同一蝶形运算两输入数据的距离B=2L-1。 同一级中,每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用,每个蝶形的输入、输出数据节点在同一条水平线上。 经过M级运算后,原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值。 原位计算: 利用同一存储单元存储蝶形计算的输入输出数据。 3)DIT-FFT计算效率(复数运算): 乘法运算次数: ,加法计算次数: (对比DFT运算: 乘法运算次数: ,加法计算次数: )(复数运算) 8、利用DFT对模拟信号进行谱分析 首先必须对信号进行采样,使之变成离散信号,然后,就可按照前面的方法,用FFT来对连续信号进行频谱分析。 按采样定理,采样频率应大于2倍信号的最高频率,为了满足采样定理,一般在采样之前要设置一个抗混迭低通滤波器。 由此可得到用FFT对模拟信号进行频谱分析的方框图如下 截断的信号时间长度为Tp=NT,F表示对模拟信号频谱的采样间隔,所以称之为频率分辨率 , 信号分析过程中为了避免混叠,要求 , 为提高频率分辨率可以增加采样点数N,或者增加对信号的观察时间Tp ——例3.4.2及习题18 注意: : 用FFT进行频谱存在的问题1)频谱泄漏,2)为栅栏效应。 各种形式的傅里叶变换: 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续函数; 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率函数; 非周期离散信号的傅里叶变换: 频率函数是周期的连续函数; 离散周期序列的傅里叶变换: 具有既是周期又是离散的频谱。 三、数字滤波器的设计 (一)FIR滤波器的设计 1、特点: 可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的;阶数较高。 2、实现线性相位的条件 (1)h(n)为实数 (2)A类线性相位: h(n)=h(N-1-n) 可以设计一般意义下的FIR滤波器;N是偶数时,不能做高通滤波器。 或B类线性相位: h(n)=-h(N-1-n)对称中心: m=(N-1)/2 适于做希尔伯特变换器,微分器和正交网络。 3、主要设计方法 用窗函数法设计FIR滤波器的步骤 (1)给定希望逼近的频率响应函数Hd(ejω)。 , FIR滤波器的网络结构: 直接型: 级联型: 将H(z)进行因式分解,并将共轭成对的零点放在一起,形成一个实系数的二阶形式;级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构,其中每一个因式都用直接型实现。 设FIR网络系统函数H(z)为: H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 解: 将H(z)因式分解得: H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构分别如下图的b图、a图所示。 a图b图 (2)求单位脉冲响应hd(n)。 (3)由过渡带宽及阻带最小衰减的要求可选定窗形状,并估计窗口长度N: 设待求滤波器的过渡带用Δω表示,它近似等于窗函数主瓣宽度。 因过渡带Δω近似与窗口长度成反比,N≈A/Δω,A决定于窗口形式。 例如,矩形窗A=4π,海明窗A=8π等,A参数选择参考表。 按照过渡带及阻带衰减情况,选择窗函数形式。 原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下,尽量选择主瓣窄的窗函数。 (4)最后,计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应h(n): h(n)=hd(n)w(n)0≤n≤N-1 (5)由h(n)求FIR滤波器的系统函数H(z) (二)IIR滤波器的设计 1、特点 •阶数少、运算次数及存储单元都较少 •适合应用于要求相位特性不严格的场合。 •有现成的模拟滤波器可以利用,设计方法比较成熟。 •是递归系统,存在稳定性问题。 2、间接设计方法——先设计模拟滤波器,然后转换成数字滤波器。 脉冲(冲激)响应不变法——基于butterworth模拟低通滤波器设计过程: (1)将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标。 ; (2)设计相应的模拟滤波器,得到模拟系统函数Ha(s)。 根据单调下降要求,选择巴特沃思滤波器。 求出波纹幅度参数为 ,, 根据通带衰减要求计算3dB截止频率Ωc 或根据阻带衰减要求计算3dB截止频率Ωc (3)查表求归一化Ga(p)。 或 (4)将p=s/Ωc代入Ga(p),得到实际的滤波器系统函数 (5)将T和代入,将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z),即: 脉冲(冲激)响应不变法的特点: •有混叠失真 •只适于限带滤波器 •不适合高通或带阻数字滤波器的设计 双线性变换法——设计数字低通滤波器系统函数H(z) 这种方法的主要特点是先进行频率变换,求模拟滤波器的频率指标 按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器,然后用将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z)。 特点: (i)稳定性不变 (ii)无混叠 (iii)频率非线性变换,会产生畸变,设计时,频率要做预畸变处理 无限长脉冲响应滤波器的网络结构 1)直接型: 根据系统的差分方程: 记忆方法: 天女散花;反馈在前;分子在后。 2)级联型 若将N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解,得到多个因式连乘积的形式: 或表示为: 其中,式中Hi(z)为一阶或二阶的数字网络的系统函数,每个Hi(z)的网络结构均采用直接型网络结构; 多项式的系数是实数,Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数。 将共轭成对的零点(极点)放在一起,形成一个二阶多项式,其系数仍为实数。 再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起,形成一个二阶网络Hj(z): (a)直接型一阶网络结构;(b)直接型二阶网络结构 3)并联型 如果将系统函数H(z)展成部分分
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