机械优化设计期末考试试卷.doc
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机械优化设计期末复习题
一、填空题
1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。
2.函数在点处的梯度为,海赛矩阵为
3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映,因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣,,同时必须是设计变量的可计算函数。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题,的基础上力求简洁。
5.约束条件的尺度变换常称规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定,此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。
7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向,因此最速下降法又称为梯度法,其收敛速度较慢。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是,充分条件是该点处的海赛矩阵正定
9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题,这种方法又被称为升维法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射,扩张,收缩,压缩
11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题
12.在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束,,另外应当尽量减少不必要的约束。
13.目标函数是n维变量的函数,它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来,为了在n维空间中反映目标函数的变化情况,常采用目标函数等值面的方法。
14.数学规划法的迭代公式是,其核心是建立搜索方向,和计算最佳步长。
15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中,建立优化设计数学模型是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提。
二、选择题
1、下面方法需要求海赛矩阵。
A、最速下降法
B、共轭梯度法
C、牛顿型法
D、DFP法
2、对于约束问题
根据目标函数等值线和约束曲线,判断为,为。
A.内点;内点
B.外点;外点
C.内点;外点
D.外点;内点
3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。
A无约束优化问题
B只含有不等式约束的优化问题
C只含有等式的优化问题
D含有不等式和等式约束的优化问题
4、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法,它是一种___________。
A、降维法
B、消元法
C、数学规划法
D、升维法
5、对于一维搜索,搜索区间为[a,b],中间插入两个点a1、b1,a1 A[a1,b1] B[b1,b] C[a1,b] D[a,b1] 6、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。 A设计变量 B约束条件 C目标函数 D最佳步长 7、变尺度法的迭代公式为xk+1=xk-αkHk▽f(xk),下列不属于Hk必须满足的条件的是________。 A.Hk之间有简单的迭代形式 B.拟牛顿条件 C.与海塞矩阵正交 D.对称正定 8、函数在某点的梯度方向为函数在该点的。 A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 9、下面四种无约束优化方法中,__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。 A梯度法 B牛顿法 C变尺度法 D坐标轮换法 10、设为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处。 A正定 B半正定 C负定 D半负定 11、通常情况下,下面四种算法中收敛速度最慢的是 A牛顿法 B梯度法 C共轭梯度法 D变尺度法 12、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度。 A、慢 B、快 C、一样 D、不确定 13、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述,错误的是,假设要求在区间[a,b]插入两点α1、α2,且α1<α2。 A、其缩短率为0.618 B、α1=b-λ(b-a) C、α1=a+λ(b-a) D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。 14、与梯度成锐角的方向为函数值方向,与负梯度成锐角的方向为函数值 方向,与梯度成直角的方向为函数值方向。 A、上升 B、下降 C、不变 D、为零 15、二维目标函数的无约束极小点就是。 A、等值线族的一个共同中心 B、梯度为0的点 C、全局最优解 D、海塞矩阵正定的点 16、最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1必为向量。 A相切 B正交 C成锐角 D共轭 17、下列关于共轭梯度法的叙述,错误的是。 A需要求海赛矩阵 B除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 C共轭梯度法具有二次收敛性 D第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度 18、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是。 A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。 B惩罚因子是不断递减的正值 C初始点应选择一个离约束边界较远的点。 D初始点必须在可行域内 三、问答题 1.什么是内点惩罚函数法? 什么是外点惩罚函数法? 他们适用的优化问题是什么? 在构造惩罚函数时,内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同? 1)内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内,序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。 内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小,且趋近于0的数列。 相邻两次迭代的惩罚因子的关系为为惩罚因子的缩减系数,其为小于1的正数,通常取值范围在 2)外点惩罚函数法简称外点法,这种方法新目标函数定义在可行域之外,序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。 外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。 外点惩罚函数法的惩罚因子,它是由小到大,且趋近于的数列。 惩罚因子按下式递增,式中为惩罚因子的递增系数,通常取 2.为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进? . 答: 共轭梯度法是共轭方向法中的一种,在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。 共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向,这是最速下降法。 其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度,也就是对负梯度进行修正。 所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。 四、计算题 1、用外点法求解此数学模型 2将写成标准二次函数矩阵的形式。 3用外点法求解此数学模型: 4求出的极值及极值点。 5用外点法求解此数学模型: 6.用内点法求下列问题的最优解: (提示: 可构造惩罚函数,然后用解析法求解。 )。 7.设已知在二维空间中的点,并已知该点的适时约束的梯度,目标函数的梯度,试用简化方法确定一个适用的可行方向。 8.用梯度法求下列无约束优化问题: MinF(X)=x12+4x22,设初始点取为X(0)=[22]T,以梯度模为终止迭代准则,其收敛精度为5。 9.对边长为3m的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 建立该问题的优化设计的数学模型。 10.已知约束优化问题: 试以为复合形的初始顶点,用复合形法进行一次迭代计算。 11.使用黄金分割法确定函数的极值点。 初始点。 (使用进退法先确定初始区间) 12.用阻尼牛顿法求函数的极小点。 13.利用库恩-塔克条件判断点是不是下列优化设计数学模型的极值点? 四、解答题 1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x12+0.5x22-x1x2-2x1的最优解,设初始点x(0)=[-2,4]T,选代精度ε=0.02(迭代一步)。 2、试用牛顿法求f(X)=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最优解,设初始点x(0)=[2,1]T。 3、设有函数f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1,试利用极值条件求其极值点和极值。 4、求目标函数f(X)=x12+x1x2+2x22+4x1+6x2+10的极值和极值点。 5、试证明函数f(X)=2x12+5x22+x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点[1,1,-2]T处具有极小值。 6、给定约束优化问题 minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t.g1(X)=x12+x22-5≤0 g2(X)=x1+2x2-4≤0 g3(X)=-x1≤0 g4(X)=-x2≤0 验证在点Kuhn-Tucker条件成立。 7、设非线性规划问题 用K-T条件验证为其约束最优点。 8、用共轭梯度法求函数的极小点。 9、已知目标函数为f(X)=x1+x2,受约束于: g1(X)=-x12+x2≥0 g2(X)=x1≥0 写出内点罚函数。 10、已知目标函数为f(X)=(x1-1)2+(x2+2)2 受约束于: g1(X)=-x2-x1-1≥0 g2(X)=2-x1-x2≥0 g3(X)=x1≥0 g4(X)=x2≥0 试写出内点罚函数。 11、如图,有一块边长为6m的正方形铝板,四角截去相等的边长为x的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法(x取何值)才能获得最大容器的箱子。 试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 12、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 13、一根长l的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 14、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。 试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 15、薄铁板宽20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大。 写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解(写出M文件和求解命令)。 16、已知梯形截面管道的参数是: 底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为θ,见图1。 管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系(s只包括底边和两侧边,不计顶边)。 试按照使液体流速最大确定该管道的参数。 写出这一优化设计问题的数学模型。 并用matlab软件的优化工具箱求解(写出M文件和求解命令)。 17、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。 力缆每米需用材料9kg,3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元;话缆每米需用材
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