二次函数背景下的几何问题线段最值问题Word文档格式.docx
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(一)微课助手,忆旧知
播放微课视频短片,让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题
(二)重点难点,细解读
1、模型一:
如图1,点P在直线l上运动,找出一点p使得PA+PB取最小值.观察模型并回答以下两个问题:
教学策略
让学生通过观察模型一,总结出模型一的特点和所运用的方法.
设计意图
通过回顾“将军饮马”问题,烘托问题情境,利用微课吸引学生的注意力,在历史经典中唤起学生的兴趣,激发学生探究问题的欲望,让学生回忆起旧知.
为了落实好下面的模型应用,把知识背景归纳成一般化的数学模型.在温故中实现引新,为展开模型应
(1)该模型有什么特征?
(2)基本解法是什么?
特征:
定点A、B同侧,P为动点;
原理:
两点之间,线段最短;
思想:
转化(化同侧为异侧);
方法:
轴对称法.
模型运用:
(2016•漳州)已知:
如图,A(-1,0),B(3,0),C
(0,3),抛物线经过点A、B、C,抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式和抛物线的顶点D;
(2)点P在对称轴上,PA+PC取最小.
解题思路分析:
(1)利用两点式或者一般式求抛物线的解析式;
通过小组讨论,再请学生代表解析.教师给予点评,并板演解答过程.
用提供知识、方法及经验的支持.
二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式,本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标,相对较简单,通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心.同时在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本
质.利用对称思想
值时,求点P的坐标
(2)步骤:
板书解题过程:
(2)解:
连接BC,与对称轴的点即为点P,如图所示,点P为所求,则可得P的横坐标为1.
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将点B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b(k≠0),
可得:
⎧3k+b=0⎧k=-1
⎨,解得:
⎨
⎩b=3⎩b=3
则直线BC的表达式为:
y=-x+3.
当x=1时,y=-1+3=2.
∴当点P的坐标为(1,2)时,PA+PC取最小值.
让学生独立思考,通过类比上一
把复杂的问题简单化.
变式1:
已知:
如图,A(-1,0),B
(3,0),C(0,3),抛物线经过点A、B、C.点P在对称轴上.
(2)△PAC周长最小时,求点P的坐标.
由于AC为定值,要使△PAC周长最小,则此问题转化成在对称轴上找一点P,使得PA+PC最小即可.
2、模型二:
在直线l上,找出一点P,使|PA-PB|的值最大.观察模型并回答以下两个
问题:
还能利用对称轴的知识去解决?
(2)小组成员间每人找一点P,进行比较,你有什么发现?
(3)这个模型的基本解法是什么?
题,规范书写解题过程.再与学生强调此类型题解题步骤:
(1)找对称点;
(2)连线并求直线解析式;
(3)求点坐标.
这一环节问题一个接着一个,形成了问题串,具有挑战性,能极大引起学生的思考,教师在这一环节中要善于运用语言不断鼓励学生.引导学生得出这一模型的基本解法:
使A、B、P三点共线,原理是:
三角形两边之差小于第三边.经历画图-观察-说理等活动,得出作图原理,将该问题归类建模,熟悉并理解该几何模型,培养学生的逻辑思维能力.
对于问题教师要给学生足够
的时间进行讨论、交流,让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、
及时检测学生对所学知识的掌握情况,加深对这一模型的理解.
基本解法:
使A、B、P三点共
线;
基本原理:
三角形两边之差小
于第三边;
基本思想:
转化(化折为直).
变式2:
(2)|PA-PC|最大,求点P的坐标.
交流,同时鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息,以小组的形式对信息进行分析、综合、概括、归纳,形成知识系统.
教师鼓励学生先独立完成,然后共同交流,总结知识,提炼方法.
连接直线AC交对称轴于点P,如图所示,点P为所求,则可得P的横坐标为1.设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),将点A
(-1,0)、C(0,3)代入
y=kx+b(k≠0),可得:
⎧-k+b=0⎧k=3
则直线AC的表达式为:
y=3x+3.
当x=1时,y=3+3=6.
∴当点P的坐标为(1,6)时,
|PA-PC|最取大值.
模型三:
如图,在平面直角坐标系中如何表示线段AB的长度.
对于这个探究,教师利用微课进行讲解,组织学生先观看微课。
再组织学生通过合作,归纳、概括出一般性的结论:
通过题目思路分析后,学生能基本作答本题,教师巡查,及时帮助学
变式3:
(3,0),C(0,3),抛物线经过点A、B、C.
(2)点P在第一象限的抛物线上,PQ⊥x轴交BC于Q,
求PQ的最大值。
设P(x,-x2+2x+3),设直线BC的解析式为
y=kx+b(k≠0),将点B(3,0)、
习困难的同学解决问题或者借助小组合作交流学习的方式让已经掌握的学生帮助,与学生共同总结出此模型的解题思路:
第一步,设P点的坐标;
第二步,求直线BC的解析式,得Q点坐标;
第三步,利用线段与点坐标之间的关系,得线段PQ的函数关系式,最后求出最值。
最后通过多媒体展示解题过程。
C(0,3)代入y=kx+b(k≠0),可得:
⎨,解得⎨
Q(x,-x+3),
点P在第一象限的抛物线上,
∴PQ=-x2+2x+3-(-x+3)
=-(x-3)2+9
24
∴PQ的最大值为9.
4
变式4:
(1)求抛物线的解析式和抛物
线的顶点D;
(2)点P在第一象限的抛物线上,求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标。
过点P做PQ⊥x轴交BC于Q,则S△BCP=S△BPQ+S△CPQ,由于△BPQ与△CPQ的高的和为定
学生独立思考,类比模型题作答,学生代表再进行分析。
该题的设置对培养学生会用不同角度分析问题解决问题的能力起了很好的作用,求
△BCP面积的最大值是用函数模型求线段最值得变式应用,利用问题的潜在的价值,使学生挖掘隐含问题的本质属性,对学生的的思维能力提出了较高的要求。
:
值,要使△BCP的面积最大,则此问题转化成在第一象限的抛物线上找一点P,使得PQ最大即可,则该问题即为模型三的问题.
(三)课堂小结,全解析
1、本节课你学习了哪些方法求线段的最值问题,对于线段最值问题,你认为还可以在那些图形背景下研究呢?
本节课涉及到哪些数学思想方法?
2、你还有想继续探究的问
题吗?
3、你对小组成员有什么评价和建议呢?
引导学生对所学知识进行梳理,总结本节课所运用的方法,畅谈本节课的收获。
对整个课堂的学习过程进行反思,能够促进理解,提高认识水平,让学生对本节课的内容一目了然。
同时引导学生关注数学的学习过程,及时总结、反思、交流,同时重视小组内的合作和交流,倾听小组成员的评价、建议,在与他人合作与交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论,取长补短,共同提高.
(四)分层作业,齐发展
A层:
1、(2018东莞中考)如图,在平面直角坐标系中,
△AOC绕原点O逆时针旋转90o,得到△DOB,其中点A的坐标为
(-1,0),CD=2.
(1)点C的坐标为,点B的坐标为;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过A、B、C三点,求该二次函数的解析式;
(3)在
(2)的条件下,二次函数图像的对称轴l上是否存在一点P,使得PA+PB最小?
若点P存在,求出点P的坐标;
若点P不存在,请说明理由.
2、(2018广东省信息卷)如图,抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A、C(点A在点C的右侧),
与y轴交于点B.BC上一个动点
(与B、C不重合).
(1)求点A、B的坐标及直线AB的函数表达式;
(2)若直线l垂直x轴,且直线l在第一象限内与抛物线交于点M,与直线AB交于点N,求点M与点N之间的距离的最大值,并求出此时点M、N的坐标.
B层:
(2018深圳宝安区调研测试)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图像交x轴A、B两点,交y轴于点C,P为y轴上的一个动点,已知A(-2,0),C(0,-23),且抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求此二次函数的解
析式;
1
(2)连接PB,则2PC+PB
的最小值是;
(3)连接PA,点P运动到何时,使得∠APB=60,请
求出点P的坐标.
九、【板书设计】
十、【教学反思】
1、“将军饮马”视频引入,学生很感兴趣。
再教学过程中,每个问题环环相扣,加上利用微课展示,使抽象的数学问题简单化、具体化,把中考压轴题的难点分解了,使学生更容易接受和理解,并最终掌握下来。
2、在讲解数学模型时,归纳到位,让学生思考并让学生叙述如何找点的过程,帮助学生理解数学模型。
在数学模型的应用时,通过详细的分析,使学生掌握此类问题的解法,并规范学生的书写。
3、为了让学生更加积极、主动投入到课堂中,在本节课中学生能做的让学
生做,学生能说的让学生来说,关注了学生主体作用的发挥,教师只是一个主导的作用,在学生探索的过程中进行适时的引领和点拨,教学过程中用鼓励性的语言,激发学生探究的热情,点燃学生学习的激情,增强学习数学的信心。
同时将信息技术融入到课堂中,使得教学更加直观、更有效。
同时,我感到本节课的不足之处:
1、在数学模型的讲解时,学生被动的接受,理解不够深刻,可以更加充分的调动学生的积极性,使学生实习更大的自主学习和探究。
2、课容量大,给学生思考的时间不足。
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- 关 键 词:
- 二次 函数 背景 几何 问题 线段