高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案Word文档格式.docx
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[帥2)/(昵)]卩(5/勺)/3帥2)],或-矶叫(:
]疋2)/兀兀(卩1阳2)。
证明,若效用函数为(2.43)式,長则5与5之间的替代弹性为1/°
。
答:
(a)这是一个效用最大化的优化问题。
maxU=
厂1-£
z*l-9
C11C2
1
1-01+P1-0
stP&
]+P2C2-W
(1)
(2)
求解约束条件:
c2=w/p2^cip1/p2
(3)
将方程(3)代入
(1)中,可得:
r】性52广(4)
1-91+“1-o
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程(4)两
边对5求一阶条件可得:
°
ug=CT+暑C(-畅2)=0
解得:
(5)
G=(1+Q严帥J%
将方程(5)代入(3),则有:
c2=W/P2~a+p)1/0(P2/P1)1/()C2P1/P2
(6)
C
2_1+(1+Q严(%])(-M
将方程(6)代入(5)中,则有:
(7)
(i+。
)"
(呦)"
(%2)
仃=i+(i+小”吓訂尹m
(b)由方程(5)可知第一时期和第二时期的消费之比为:
(8)
5©
=(l+Q)"
(P2/Pi)l〃
对方程(8)两边取对数可得:
(9)
加(G/G)=(1/“)饥(1+Q)+(1/〃)加(P2/PJ
则消费的跨期替代弹性为:
_c(G/G)P2/Pi_0饥(G/q)_1
o(P2/P])G/q伽(卩2//\)0
因此,°
越大,表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3(a)假设事先知道在某一时刻"
,政府会没收每个家庭当时所拥有财
富的一半。
那么,消费是否会在时刻5发生突然变化?
为什么?
(如果会的话,请说明时刻5前后消费之间的关系。
)
(b)假设事先知道,在某一时刻"
,政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富,其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。
那么,消费是否会在时刻5发生突然变化?
(如果会,请说明时刻S前后消费之间的关系。
(a)考虑两个时期的消费,比如在一个极短的时期△t,从£
)到
(5+£
)。
考虑家庭在(5一£
)时期减少每单位有效劳动的消费为Ac。
然后他在(5+£
)投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富,则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本前)△'
在("
+£
)会有一收益尹(―6△,△c,财富的回报率为r(t),不过,此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为(l/2)“(c后)訐('
)7・"
"
△C。
总乙对于效用最大化的消费路径来说,必须满足下列条件:
讥C前)△C二%(C后)dm△r△c
在△cH°
时,有下式:
.1.
(C前)二产C后)
因此,当政府对财富没收一半后,消费会不连续的变化,消费会下降。
征收前,消费者会减少储蓄以避免被没收,之后会降低消费。
(b)从家庭的角度讲,他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收,为了最优化他一生的效用,家庭不会使自己的消费发生不连续的变化,他还是希望平滑自己的消费的。
2.4设方程(2.1)中的瞬时效用函数班G为加瓯C)。
考虑家庭在(2.6)的约束下最大化方程(2.1)的问题。
请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、厂(上)以及效用函数各参数的函数。
答:
2.1
人;
0广叫©
帥W竽+人;
0广®
罟必2.6
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
页脚
max〃=J二-"
llnC(t)^dt
S・t・麗0广盹)C(t)牌t=竽+J二0宀(5(0吩)裁t
(2)令“竽+J二小认M(磅細
建立拉格朗日方程:
oo
e
•=o
L(t)
+XW/
求一阶条件:
dC(t)i7
皿)
抵消百项得:
厂“叱⑴"
=氏"
(4)
可以推出:
C(t)=e-pt
将其代入预算约束方程,得:
将L(t)=enrL(O)代入上式,得:
厂1罟j二0厂3_必必=“
只要P-n>
0,则积分项收敛,为l/(P-n),则:
将方程(7)代入(4):
C(t)=pt
為(P■n)]
因此,初始消费为:
个人的初始财富为厶(。
)加,方程(9)说明消费是初始财富的一个不变的比例。
(P-n)为个人的财富边际消费倾向。
可以看出,这个财富边际消费倾向在平衡
增长路径上是独立于利率的。
对于折现率P而言,P越大,家庭越厌恶风险,越
会选择多消费。
2.5设想某家庭的效用函数由(2.1)~(2.2)式给定。
假设实际利率不变,令伊表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。
已知二罗和效用函数中的各参数,求C的效用最大化路径。
〃=J二°
盯叫(C(£
))罟dt2.1
u(C(Q)=需2.2
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用,即:
max〃=『二0广"
S(C(t))營r
(1)
伊代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值,利率/是常数。
建立拉格朗日方程如下:
求一阶条件,可得:
0L
dC(i)~
o£
(0
=0
e~ptC(t)~°
=Ae-rt(3)
两边对时间t求导,可得:
e~pt[-oC(t)-°
pe-ptC(t)_0+rXe_rt=0
得到下面的方程:
-ptC(ty6-pe~ptc^~0+rAe~rt=O(4)
将方程(3)代入(4),可得:
-9-Xe~rt・pXe~rt+rXe_rt=0
C(t)
rr£
抵消入£
然后求消费的增长率丽,可得:
C(巧_r-°
由于利率/是常数,所以消费的增长率为常数。
如果r>
P,则市场利率超
过贴现率,则消费会增加;
反之,如果厂VP,则市场利率小于贴现率,则消费
会减少。
P,则°
决定了消费增长的幅度。
值越低,也就是替代弹性
越高,越髙,即消费增长的越快。
重写方程(5),得:
dlnC(t)r-p
~~dt~=8
对方程(6)积分,积分区间是从时间了二0到时间r=t,可得:
加C(%C(0)=宁r|\
上式可以简化为:
/nC(t)/C(O)=(r-p)/Ot
对方程(7)两边取指数,可得:
C(t)/C(0)=£
[(r「P)/°
K,整理得:
C(t)=C(0)e[(r-P)/"
下面求解初始消费,将方程(8)代入
(2),可得:
将L(t)=emL(O)代入上式,可得:
“0廿(0)『二詳-[Q7+〃必="
只要[P
_厂+O(r-n)]/O>
0,从而保证积分收敛,则求解方程(9)可得:
f8-[p-r+心7加%=
JC=0p-r+W-n)
(10)
将方程
(10)代入(9)中,求解"
0):
W、”W)c(°
将方程(id代入(8),求解ca):
C(f)爲[字+(—)](12)
上式便是C的效用最大化路径。
2.6生产力增长减速与储蓄。
设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞一卡斯一库普曼期模型,假设g永久性下降。
(a)"
=°
曲线会如何变化(如果有形响)?
(b)c=°
曲线会如何变化(如果有影响)?
(c)当g下降时,c如何变化?
(d)用一个式子表示g的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。
能否判断此表达式的正负?
(e)设生产函数長柯布一道格拉斯函数=请用P、从&
、0和a重新表示(d)中的结果。
(提示:
利用等式fd=p+°
9。
(a)关于资本的欧拉方程为:
k(t)=«
/c(t))-c(t)-(n+
(1)
该方程描述了资本的动态方程,在拉姆塞模型中,该方程描述了技术特征,是该模型的核心,它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组,从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上,“二0,由此可以推出:
c"
(k)-(n+g)k。
在该方程中,当g永久性地下降时,会导致消费c上升以保持方程的均衡。
因而在图形上k=0曲线向上移动。
同时,保持斤不变,g永久性地下降会导致持平投资下降,这样就会有更多的资源用于消费。
由于持平投资⑺+0)下降的幅度更大,因而在更高的斤水平上,〃二°
向上移动得更大。
图2-1是该模型的图示。
(b)每单位有效劳动消费的欧拉方程为:
-p-^9⑵
该方程描述了消费的动态方程,在拉姆塞模型中,该方程描述了偏好特征,是该模型的核心,它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组,从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上,要求c二0,即f'
W=P+00,在g永久性地下降时,为保持E二0,才住)必须下降。
由于/'
(/<
)<
0,因而下降必然导致R上升。
因此,°
二°
必须上升,在图形上表现为c二°
向右移动,如图2-1所示。
(O在g永久性地下降时,由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的,因而不会发生不连续的变化。
它仍然保持在平衡增长路径以处。
与此相反,每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。
为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径,每单位有效劳动的消费C必将发生变化。
不过,此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边,因而无法确定每单位有效劳动的消费C是上升还是下降。
存在一种特殊情况,即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方,则每单位有效劳动的消费C甚至可能保持不变。
因此,c和&
逐步移动到新的平衡增长路径,此时的值高于原先的平衡增长路径值。
(C1)在平衡增长路径上,产出中被储蓄的部分为:
[fw—c*]〃伙
因为斤保持不变,即〃二°
位于一条均衡的增长路径上,则由方程
(1)可知:
fg-c*=O+9)/r
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上,产出中被储蓄的份额为:
s=[(n+g)k•]/f(k*)
对方程(3)两边关于g求导数,可得:
ds__f(k*)[(n+g)dk伽+L]-(n+g)k,f(k*)d/c*/dg
乔[砒)]2
可以再简化为:
ds_5+丁0“)](就"
/0g)+fX)T
爾_imp
由于疋由f(k)=p+切决定,对该式两边关于g求导数,f'
(k"
)(b/g)=0,从而求出上*/g为:
—"
/厂理)<
将方程(5)代入(4)中,可得:
ds_(n+g)[fX)-k・f©
)]0+f理片广X)
可得:
在方程(6)中,分母[r(^4)]2/'
(^3为负,分子中第一项为正,而第二项为负,因而无法确定正与负。
因此,无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使S上升还是下降。
(e)将柯布一道格拉斯生产函数f(k)=k“,f(k)=ak"
7和f"
(k)=a(a-l)ka~2代入方程(6)中,可得:
ds(n+^)[/c*Q-/c+ak*Q_1]0+/<
*Q/c+a(a-l)/c*a_2
乔k*ak*ua(a-l)/c*u~2
简化为:
_(n+^)/c4Q(1-a)e-(1-a)/c*aa/c*G_1
矿[-(1-u)/<
ra(a/c*a-1)(a/c*u-1)/a]
从上式可以推出:
竺__匕(n+9)0-(P+09)
(p+etg)2
最终有下面的结果:
ds(n0-p)(p-n0)
呃一(p+etg)2_(p+访
2.7说明下列变化如何影响图2・5中的c二°
线和〃二°
线,并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和&
(a)。
上升
(b)生产函数向下移动。
(c)折旧率由本章中假设的零变为某一正值。
图2-2鞍点路径
(a)关于c与斤的欧拉方程为:
血)_fgt))-p-ffg了]、
而孑
/c(t)=/(/c(t))-c(t)-(n+g)k(t)
(2)
6的上升即消费的跨期替代弹性下降,表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代,同时表明随着消费的上升,消费的边际产品下降得很快。
这种情况使家庭更偏好于即期消费。
由于°
没有出现在资本积累方程
(2)中,因而资本积累方程不受°
的上升的影响。
在消费的动态方程中,在平衡增长路径上&
二0,从而f'
W=P-由于°
的上升,因而必须上升,又因为所以为使C二0,斤必须下降。
此时[二°
向左移动,消费移动到新的鞍点路径/点上,此刻家庭消费得更多了,经济最终移动到新的稳定点此时和“心低于原先的值。
如图2-3所示。
图2-3°
上升的影响
(b)由于生产函数的向下移动,因而/'
(◎和都变小了,如图2-4所示。
图2-4生产函数向下移动
根据资本的欧拉方程:
-c(t)-(n+g)k(t),在平衡增长路径上k=0,因而有c=(n+g)k。
由于f(k)变小,因此R=°
这条曲线会向下移动,如图2-5所示。
孙)_f(仪))-p-
根据消费的欧拉方程:
而召,在平衡增长路径上&
从而
f'
w=P+吒,由于变小,为保持2二0,必须使&
下降,从而使保持不变。
因此&
向左移动,如图2-5所示。
经济最终将收敛到新的均衡点点,此刻和低于原先的值。
图2・5生产函数向下移动的影响
(C)由于折旧率5由0变为正数,因而资本的欧拉方程变为:
k(t)=/'
(*(◎)-c(t)-⑺+9+^)k(t)(3)
由于折旧率/由0变为正数,因此持平投资变大,持平投资线向左上移动,如图2-6所示。
这便要求增加储蓄或者投资,从而降低消费。
由于持平投资变大,因此"
会向下移动,如图2-7所示。
图2-7折旧率由0变为正数的影响
I
资本的回报也下降为:
fw■6,从而消费的欧拉方程变为:
在平衡增长路径上,L二o要求f(k)=8+P+00。
与折旧率§
由o变为正数之前相比较,f(k)必须变大,从而&
必须变小。
由于斤必须变小,这便要求。
曲线向左移动,如图2-7所示。
经济最终将收敛到新的均衡点点,此刻%w和匕i曲低于原先的值。
2.8请在折旧率为正的情形下推导类似于(2.39)的表达式。
教材中方程(2.39)中折旧率为0的情形为:
2:
1「(。
+°
9)[p+0g-a(n+^)]j1;
2
当考虑到折旧率§
>
0的情况时,消费和资本的欧拉方程变为:
c(t)-i>
-p-OQ
k{t)=/(/c(t))-c(t)-(n+“+
(2)
对方程
(1)和
(2)分别在c=和上二L处进行一阶泰勒展开,可得:
定^c=c-c4和k=,因为C*和L为常数,所以c=c且〃将(3)
和(4)重写为:
对方程
(1)和
(2)计算偏导数:
de
dkbgp=T~
^\bgp
6_p_ffg
專仏=f(b)-®
+9+6(9)
^\bgp=~1(10)
将方程(7)和(8)代入(5),将方程(9)和(10)代入(6),可得:
C=^-k(11)
k=[f\k"
)_@+g+一C
=[(〃+Q+Og)一("
+9+S)]k-c
=^k-c(12)
方程(12)的第二步用到了/(fet)=(6+P+°
9),第三步用到了定义
0=P0)9。
对方程(11)除以2以求$的增长率,对方程(12)除以&
以求&
的增长率:
(13)
(14)
可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样,也就是说折旧率的存
在对增长率没有影响。
因此,经济在向平衡增长路径移动时的%和*的不变增长率
〃与教材中的结果应该一致。
(15)
_dr
=—,求解可
令卩=;
方程(13)可以推出:
由方程(15),令(13)和(14)相等,可得:
得:
B±
[32-4<(/c*)c70]1/2
M二2
如果卩为正,则经济会偏离稳定点,所以》必为负:
P-[p2-4/'
(k*)c7e]1/2
现在考虑柯布一道格拉斯生产函数代k)=k“,分别求其一阶导和二阶导:
f(/<
J=al^7"
1=r*+8
(16)
(17)
/(Ar*)=a/T一1=a(a_])L一2
/♦°
、221♦2□—2
将方程(16)两边同时平方:
(r+5)=a/c,将其代入(17)式:
茁)少+从"
)(°
-1)(r,+8)2
♦(1ak
G心)
定义平衡增长路径上的储蓄率为"
,则平衡增长路径上的消费为:
(18)
将方程(17)和(18)代入(15):
9(a-1)(厂*+5)2
P2—4——(1一s(/T)
化简为:
—护+岁磐(厂+<
)2(17・)
=2
(19)
在平衡增长路径上,°
意味着厂=P+即:
厂°
+/=q+8g+(5
(20)
(21)
(22)
另外,实际投资等于持平投资:
sJ(L)=(n+g+
4(n+g+ff)k*a(n+g+
_f(/r)_k…'
上步用到了八+5=^k4a~\由(21)可以推岀:
r*+6・a(n+g+/)]_S=
r-+
将方程(20)和(22)代入到(19)中,可得:
fi一++"
0+§
“(n+0+6)]
U=2
上式与教材中的(2.39)极其相似,它表明了消费与资本的调整速度(将
a=1/3,p=4%n=2%=1%,0=1,=3%代入上式,得到
1="
8-8%)要快于不存在折旧时的调整速度。
2.9拉姆塞模型的解析解[来自于史密斯(Smith,2006)。
]考虑生产函数柯布-道格拉斯函数的拉姆塞模型,y(o=1的情形,假设相对风险规避系数°
与资本份额a相等。
(a)平衡增长路径上的£
值(即住*)为多少?
(b)平衡增长路径上的c值(即&
*)为多少?
(c)令呗)表示资本产出比班£
)表示消费资本比请用z、X和模型参数表示z(t)和兀(£
)/兀0)。
(d)暂且猜測才在鞍点路径上是常数,根据这一猜想:
(i)给定初始值%。
),求Z的路径。
(ii)给定初始值做。
),求y的路径。
经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度是否是常数?
(e)上述猜测的解是否满足c与k的运动方程(2.24)与(2.25)?
(a)已知
从正文可知,在c=0时,存在f(k)=P+00。
利用方程
(1)计算得到
(b)与⑹题类似,根据正文可知,在k=0时,存在c*+利用方程
(1)计算得到:
(C)设Z(t)=和XO=c(t)/fc(Oo将方程(!
)代入z(t)的定义得
将方程(4)代入只£
)的定义,得到:
ck-a=xz
(11)
(12)
使用方程(4),考虑z(t)=的时间导数,得到:
z=(1-a*ak(6)
从正文.的方程(2.25)知道,k=ka-c-(n^-方程(6)可表示成:
z=(1-[ka-c-(n+g)k]
为简化上式,将方程(4)和方程(5)代入上式,得到:
Z=(1-)[1-XZ-(71+9)z]
现在,对数化XO=c(tWO,考虑其时间导数,得到:
•••
xck
—=——
根据正文的方程(2.24)和方程(2.25),上式可表示成:
xQk——P_Og-k+c+(?
i+g)k
X=L—+k
将方程(4)和方程(5)代入上式,再利用a=〃得到:
一=兀+72—pja
X
(d)(i)根据%为常量的假设,方程(8)可表示成z=(1-a)[l-(n+g+x*)z]
为确定z的变化路径,考虑方程(12)方程(12)为线性非齐次常微分方程。
该方程的
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- 高级 宏观经济学 第四 中文 课后 答案