MATLAB数学手册教程第5章优化问题文档格式.docx

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-4;

-6];

A=[1-11;

324;

320];

b=[20;

42;

30];

lb=zeros（3,1）;

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,[],[],lb）

结果为：

x=%最优解

0.0000

15.0000

3.0000

fval=%最优值

-78.0000

exitflag=%收敛

1

output=

iterations:

6%迭代次数

cgiterations:

0

algorithm:

'

lipsol'

%所使用规则

lambda=

ineqlin:

[3x1double]

eqlin:

[0x1double]

upper:

lower:

lambda.ineqlin

ans=

1.5000

0.5000

lambda.lower

1.0000

表明：

不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的

5.2foptions函数

对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义为：

options

（1）-参数显示控制（默认值为0）。

等于1时显示一些结果。

options

（2）-优化点x的精度控制（默认值为1e-4）。

options（3）-优化函数F的精度控制（默认值为1e-4）。

options（4）-违反约束的结束标准（默认值为1e-6）。

options（5）-算法选择，不常用。

options（6）-优化程序方法选择，为0则为BFCG算法，为1则采用DFP算法。

options（7）-线性插值算法选择，为0则为混合插值算法，为1则采用立方插算法。

options（8）-函数值显示（目标—达到问题中的Lambda）

options（9）-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。

options（10）-函数和约束估值的数目。

options（11）-函数梯度估值的个数。

options（12）-约束估值的数目。

options（13）-等约束条件的个数。

options（14）-函数估值的最大次数（默认值是100×

变量个数）

options（15）-用于目标—达到问题中的特殊目标。

options（16）-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。

options（17）-优化过程中变量的最大有限差分梯度值。

options（18）-步长设置（默认为1或更小）。

Foptions已经被optimset和optimget代替，详情请查函数optimset和optimget。

5.3非线性规划问题

5.3.1有约束的一元函数的最小值

单变量函数求最小值的标准形式为

sub.to

在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。

函数fminbnd

格式x=fminbnd（fun,x1,x2）%返回自变量x在区间

上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。

x=fminbnd（fun,x1,x2,options）%options为指定优化参数选项

[x,fval]=fminbnd（…）%fval为目标函数的最小值

[x,fval,exitflag]=fminbnd（…）%xitflag为终止迭代的条件

[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（…）%output为优化信息

说明若参数exitflag>

0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<

0表示函数不收敛于x；

若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。

例5-2计算下面函数在区间（0，1）内的最小值。

[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（'

（x^3+cos（x）+x*log（x））/exp（x）'

0,1）

x=

0.5223

fval=

0.3974

exitflag=

9

funcCount:

goldensectionsearch,parabolicinterpolation'

例5-3在[0，5]上求下面函数的最小值

先自定义函数：

在MATLAB编辑器中建立M文件为：

functionf=myfun（x）

f=（x-3）.^2-1;

保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：

x=fminbnd（@myfun,0,5）

则结果显示为：

3

5.3.2无约束多元函数最小值

多元函数最小值的标准形式为

其中：

x为向量，如

在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。

命令利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值

函数fminsearch

格式x=fminsearch（fun,x0）%x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。

x=fminsearch（fun,x0,options）%options查optimset

[x,fval]=fminsearch（…）%最优点的函数值

[x,fval,exitflag]=fminsearch（…）%exitflag与单变量情形一致

[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（…）%output与单变量情形一致

注意：

fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。

例5-4求

的最小值点

X=fminsearch（'

2*x

（1）^3+4*x

（1）*x

（2）^3-10*x

（1）*x

（2）+x

（2）^2'

[0,0]）

结果为

X=

1.00160.8335

或在MATLAB编辑器中建立函数文件

functionf=myfun（x）

f=2*x

（1）^3+4*x

（1）*x

（2）^3-10*x

（1）*x

（2）+x

（2）^2;

保存为myfun.m，在命令窗口键入

X=fminsearch（'

myfun'

[0,0]）或>

X=fminsearch（@myfun,[0,0]）

命令利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值

函数fminunc

格式x=fminunc（fun,x0）%返回给定初始点x0的最小函数值点

x=fminunc（fun,x0,options）%options为指定优化参数

[x,fval]=fminunc（…）%fval最优点x处的函数值

[x,fval,exitflag]=fminunc（…）%exitflag为终止迭代的条件，与上同。

[x,fval,exitflag,output]=fminunc（…）%output为输出优化信息

[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc（…）%grad为函数在解x处的梯度值

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc（…）%目标函数在解x处的海赛（Hessian）值

当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。

例5-5求

的最小值。

fun='

3*x

（1）^2+2*x

（1）*x

（2）+x

（2）^2'

;

x0=[11];

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc（fun,x0）

1.0e-008*

-0.75910.2665

1.3953e-016

16

stepsize:

1.2353

firstorderopt:

1.6772e-007

medium-scale:

Quasi-Newtonlinesearch'

grad=

1.0e-006*

-0.1677

0.0114

hessian=

6.00002.0000

2.00002.0000

或用下面方法：

fun=inline（'

）

fun=

Inlinefunction:

fun（x）=3*x

（1）^2+2*x

（1）*x

（2）+x

（2）^2

x0=[11]；

x=fminunc（fun,x0）

5.3.3有约束的多元函数最小值

非线性有约束的多元函数的标准形式为：

x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C（x）、Ceq（x）是返回向量的函数，f（x）为目标函数，f（x）、C（x）、Ceq（x）可以是非线性函数。

在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。

函数fmincon

格式x=fmincon（fun,x0,A,b）

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq）

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub）

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon）

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options）

[x,fval]=fmincon（…）

[x,fval,exitflag]=fmincon（…）

[x,fval,exitflag,output]=fmincon（…）

[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon（…）

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon（…）

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon（…）

参数说明：

fun为目标函数，它可用前面的方法定义；

x0为初始值；

A、b满足线性不等式约束

，若没有不等式约束，则取A=[]，b=[]；

Aeq、beq满足等式约束

，若没有，则取Aeq=[]，beq=[]；

lb、ub满足

，若没有界，可设lb=[]，ub=[]；

nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束

和等式约束

分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：

x=fmincon（@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon），先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：

function[C,Ceq]=mycon（x）

C=…%计算x处的非线性不等约束

的函数值。

Ceq=…%计算x处的非线性等式约束

lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。

output输出优化信息；

grad表示目标函数在x处的梯度；

hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。

例5-6求下面问题在初始点（0，1）处的最优解

约束条件的标准形式为

先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：

function[c,ceq]=mycon（x）

c=（x

（1）-1）^2-x

（2）;

ceq=[];

%无等式约束

然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件：

fun='

x

（1）^2+x

（2）^2-x

（1）*x

（2）-2*x

（1）-5*x

（2）'

%目标函数

x0=[01];

A=[-23];

%线性不等式约束

b=6;

Aeq=[];

%无线性等式约束

beq=[];

lb=[];

%x没有下、上界

ub=[];

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]

=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon）

则结果为

34

-13

exitflag=%解收敛

2

SQP,Quasi-Newton,line-search'

[]

[2x1double]%x下界有效情况，通过lambda.lower可查看。

[2x1double]%x上界有效情况，为0表示约束无效。

[0x1double]%线性等式约束有效情况，不为0表示约束有效。

eqnonlin:

[0x1double]%非线性等式约束有效情况。

2.5081e-008%线性不等式约束有效情况。

ineqnonlin:

6.1938e-008%非线性不等式约束有效情况。

grad=%目标函数在最小值点的梯度

-0.1776

hessian=%目标函数在最小值点的Hessian值

1.0000-0.0000

-0.00001.0000

例5-7求下面问题在初始点x=（10,10,10）处的最优解。

Min

Sub.to

fun='

-x

（1）*x

（2）*x（3）'

x0=[10,10,10];

A=[-1-2-2;

122];

b=[0;

72];

[x,fval]=fmincon（fun,x0,A,b）

24.000012.000012.0000

-3456

5.3.4二次规划问题

二次规划问题（quadraticprogramming）的标准形式为：

其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量

其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。

MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。

函数quadprog

格式x=quadprog（H,f,A,b）%其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。

x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq）%Aeq,beq满足等约束条件

。

x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）%lb,ub分别为解x的下界与上界。

x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）%x0为设置的初值

x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）%options为指定的优化参数

[x,fval]=quadprog（…）%fval为目标函数最优值

[x,fval,exitflag]=quadprog（…）%exitflag与线性规划中参数意义相同

[x,fval,exitflag,output]=quadprog（…）%output与线性规划中参数意义相同

[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（…）%lambda与线性规划中参数意义相同

例5-8求解下面二次规划问题

则

，

在MATLAB中实现如下：

H=[1-1;

-12];

f=[-2;

A=[11;

-12;

21];

b=[2;

2;

3];

lb=zeros（2,1）;

[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（H,f,A,b,[],[],lb）

0.6667

1.3333

-8.2222

active-set'

[2x1double]

3.1111

0.4444

说明第1、2个约束条件有效，其余无效。

例5-9求二次规划的最优解

maxf（x1,x2）=x1x2+3

sub.tox1+x2-2=0

化成标准形式：

sub.tox1+x2=2

在Matlab中实现如下：

H=[0,-1;

-1,0];

f=[0;

0];

Aeq=[11];

b=2;

[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（H,f,[],[],Aeq,b）

-1.0000

[1x58char]

5.4“半无限”有约束的多元函数最优解

“半无限”有约束多元函数最优解问题的标准形式为

…

x、b、beq、lb、ub都是向量；

A、Aeq是矩阵；

C（x）、Ceq（x）、

是返回向量的函数，f（x）为目标函数；

f（x）、C（x）、Ceq（x）是非线性函数；

为半无限约束，

通常是长度为2的向量。

在MTALAB5.x中，使用函数seminf解决这类问题。

函数fseminf

格式x=fseminf（fun,x0,ntheta,seminfcon）

x=fseminf（fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b）

x=fseminf（fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq）

x=fseminf（fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub）

x=fseminf（fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options）

[x,fval]=fseminf（…）

[x,fval,exitflag]=fseminf（…）

[x,fval,exitflag,output]=fseminf（…）

[x,fval,exitflag,output,lambda]=fseminf（…）

x0为初始估计值；

fun为目标函数，其定义方式与前面相同；

A、b由线性不等式约束

确定，没有，则A