应用弹塑性力学习题解答.doc
- 文档编号:1643140
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:83
- 大小:4.63MB
应用弹塑性力学习题解答.doc
《应用弹塑性力学习题解答.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《应用弹塑性力学习题解答.doc(83页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
应用弹塑性力学
习题解答
张宏编写
西北工业大学出版社
目录
第二章习题答案 1
第三章习题答案 5
第四章习题答案 9
第五章习题答案 25
第六章习题答案 36
第七章习题答案 48
第八章习题答案 53
第九章习题答案 56
第十章习题答案 58
第十一章习题答案 61
第二章习题答案
2.6设某点应力张量的分量值已知,求作用在过此点平面上的应力矢量,并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为
而应力矢量的三个分量满足关系
而法向分量满足关系最后结果为
2.7利用上题结果求应力分量为时,过平面处的应力矢量,及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后,可求出及,再利用关系
可求得。
最终的结果为
2.8已知应力分量为,其特征方程为三次多项式,求。
如设法作变换,把该方程变为形式,求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为
式中:
是三个应力不变量,并有公式
代入已知量得
为了使方程变为形式,可令代入,正好项被抵消,并可得关系
代入数据得,,
2.9已知应力分量中,求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为,
,特征方程变为
求出三个根,如记,则三个主应力为
记
2.10已知应力分量
,是材料的屈服极限,求及主应力。
解先求平均应力,再求应力偏张量,,
,,,。
由此求得
然后求得,,解出
然后按大小次序排列得到
,,
2.11已知应力分量中,求三个主应力,以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记,则其解为,
,。
对应于的方向余弦,,应满足下列关系
(a)
(b)
(c)
由(a),(b)式,得,,代入(c)式,得
,由此求得
对,,代入得
对,,代入得
对,,代入得
2.12当时,证明成立。
解
由,移项之得
证得
第三章习题答案
3.5取为弹性常数,,是用应变不变量表示应力不变量。
解:
由,可得,
由,得
3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出,为,,,求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解:
首先求出点的位移梯度张量
将它分解成对称张量和反对称张量之和
转动矢量的分量为
,,
该点处微单元体的转动角度为
3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置,同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图3.1所示,在一点的3个方向分别粘贴应变片,若测得这3个应变片的相对伸长为,,,,求该点的主应变和主方向。
解:
根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变,将,,,,,代入其中,可得
则主应变有
解得主应变,,。
由最大主应变可得
上式只有1个方程式独立的,可解得与轴的夹角为
于是有,同理,可解得与轴的夹角为。
3.8物体内部一点的应变张量为
试求:
在方向上的正应变。
根据式,则方向的正应变为
3.9已知某轴对称问题的应变分量具有的形式,又设材料是不可压缩的,求应具有什么形式?
解:
对轴对称情况应有,这时应变和位移之间的关系为,,。
应变协调方程简化为,由不可压缩条件,可得
可积分求得,是任意函数,再代回,可得。
3.10已知应变分量有如下形式,,,
,,,由应变协调方程,试导出 应满足什么方程。
解:
由方程,得出必须满足双调和方程。
由,得出
由,得出
由此得,其它三个协调方程自动满足,故对没有限制。
第四章习题答案
4.3有一块宽为,高为的矩形薄板,其左边及下边受链杆支承,在右边及上边分别受均布压力和作用,见题图4.1,如不计体力,试求薄板的位移。
题图4-1
解:
1.设置位移函数为
(1)
因为边界上没有不等于零的已知位移,所以式中的、都取为零,显然,不论式
(1)中各系数取何值,它都满足左边及下边的位移边界条件,但不一定能满足应力边界条件,故只能采用瑞兹法求解。
2.计算形变势能。
为简便起见,只取、两个系数。
(2)
(3)
3.确定系数和,求出位移解答。
因为不计体力,且注意到,式4-14简化为
(4)
(5)
对式(4)右端积分时,在薄板的上下边和左边,不是,就是,故积分值为零。
在右边界上有
(6)
同理,式(5)右端的积分只需在薄板的上边界进行,
(7)
将式(3)、式(6)、式(7)分别代入式(4)、式(5)可解出和:
,(8)
(9)
4.分析:
把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量,不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件,即式(8)所示位移为精确解答。
在一般情况下(这是一个特殊情况),在位移表达式中只取少数几个待定系数,是不可能得到精确解答的。
4.4设四边固定的矩形薄板,受有平行于板面的体力作用(),坐标轴如题图4.2所示。
求其应力分量。
题图4-2
解:
1.本题为平面应力问题,可用瑞兹法求解。
由题意知位移分量在边界上等于零,所以,所以式中的、都取为零,且将位移函数设置为如下形式:
(1)
把或代入上式,因为,或,所以,位移边界条件是满足的。
2.把式
(1)代入式(9-16),得薄板的变形势能为
(2)
3.确定系数和。
由于位移分量在边界上为零,所以,方程式4-14简化为
(3)
式
(2)代入式(3),得
(4)
由于,从式(4)的第一式得,由第二式得
当和取偶数时,和都为零,当和取奇数时,和都为2。
因此,当取偶数时,。
当取奇数时,
将和代入式
(1)得位移分量为
4.利用几何方程和物理方程,可求出应力分量(和取奇数);
4.5有一矩形薄板,三边固定,一边上的位移给定为,见题图4.3,设位移分量为,
式中,为正整数,可以满足位移边界条件。
使用瑞兹法求维持上述边界位移而要在处所施加的面力。
题图4-3
解:
1.平面应力问题时的变形势能为式
其中
2.确定待定系数。
按题意三边固定(),一边只存在而面力待求。
所以,
(2)
将式
(1)代入式
(2),得
当体力分量为零时,,得
当时,,,所以,此时有
,而
3.位移和应力解答为
4.求上边界施加的面力(设),在处
4.6用伽辽金法求解上例。
解:
应用瑞兹法求解上例时,形变势能的计算工作量较大。
由于此问题并没有应力边界条件,故可认为上例题意所给的位移函数不但满足位移边界条件,而且也满足应力边界条件,因此,可以用伽辽金法计算。
对于本题,方程可以写成
将上题所给的表达式代入,积分后得
当体力不计时,,此时,而由下式确定:
当时,即,当时,上式成为
由此解出及位移分量如下:
求出的位移和应力分量,以及上边界的面力,都有上例用瑞兹法求得结果相同。
4.7铅直平面内的正方形薄板边上为,四边固定,见题图4.4,只受重力作用。
设,试取位移表达式为
用瑞兹法求解(在的表达式中,布置了因子和,因为按照问题的对称条件,应该是和的奇函数)。
题图4-4
解:
1位移表达式中仅取和项:
(1)
2由得变形势能为
(2)
其中
代入式
(2),得
(3)
3.确定系数和。
因板四周边界上位移为零(,面力未知),板的体力分量为,所以得
将式(3)代入式(4),得
(5)
注意,有以下对称性:
式(5)积分后成为式(6),由此可求得、和位移、应力分量:
(6)
(7)
(8)
(9)
4.8用伽辽金法求解上题。
解:
1位移表达式仍取上题式
(1),其两阶偏导数为
(1)
2.确定和。
因为,所以伽辽金方程简化为
(2)
将以及式
(1)代入
(2),得
由此解出和:
(3)
与瑞兹法求出结果一样,由此可见,用伽辽金法计算较为简单。
4.9悬臂梁自由端作用一集中力,梁的跨度为,见题图4.5,试用端兹法求梁的挠度。
题图4-5
解:
1.设梁的挠度曲线为
(1)
此函数满足固定端的位移边界条件:
,梁的总势能为
由得
,
代入式
(1)得挠度为式
(2),最大挠度为式(3)
(2)
(3)
4.10有一长度为的简支梁,在处受集中力作用,见题图4.6,试用瑞兹法和伽辽金法求梁中点的挠度。
题图4-6
解一:
用瑞兹法求解
设满足梁端部位移边界条件的挠度函数为
(1)
梁的变形能及总势能为
由得
(2)
以上级数的收敛性很好,取很少几项就能得到满意的近似解,如作用于中点()时,跨中挠度为(只取一项)
这个解与材料力学的解()相比,仅相差1.5%。
解二:
用伽辽金法求解
1.当对式
(1)求二阶导数后知,它满足,亦即满足支承处弯矩为零的静力边界条件,因此,可采用伽辽金求解。
将式
(1)代入伽辽金方程,注意到,且作用在处,可得
求出的挠度表达式与
(2)一致。
4.11图4.7所示的简支梁,梁上总荷重为,试用瑞兹法求最大挠度。
题图4-7
解:
设满足此梁两端位移边界条件的挠度为
(1)
则总势能为
,
代入式
(1)得
梁上总荷重为,因此有
4.12一端固定、另一端支承的梁,其跨度为,抗弯刚度为常数,弹簧系数为,承受分布荷载作用,见题图4.8。
试用位移变分方程(或最小势能原理),导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。
题图4-8
解:
用位移变分方程推导
1.梁内总应变能的改变为
2.外力总虚功为
3.由位移变分方程式得
(1)
对上式左端运用分部积分得
代入式
(1),经整理后得
(2)
由于变分的任意性,上述式子成立的条件为
(3)
(4)
(5)
4式(3)就是以挠度表示的平衡微分方程。
下面讨论边界条件
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 应用 塑性 力学 习题 解答