河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试文数试卷.doc
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2019—2020学年度第二学期一调考试
高三年级数学试卷(文科)
命题人:
审核人:
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意,请将正确答案的序号填涂到答题卡上)
1.已知复数z=(其中a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为﹣,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知全集U=R,A={x|x2﹣3x﹣4>0},B={x|﹣2≤x≤2},则如图所示的阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|﹣2≤x<4} B.{x|x≤2或x≥4} C.{x|﹣2≤x≤﹣1} D.{x|﹣1≤x≤2}
3.已知a,b,c∈R,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
4.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子口诀》:
三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.已知正整数n被3除余2,被5除余3,被7除余4,求n的最小值.按此口诀的算法如图,则输出n的结果为( )A.53 B.54 C.158 D.263
5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一,并为中国所特有,图一图二是斗拱实物图,图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体,本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是400cm2,900cm2,高为9cm,长方体形凹槽的体积为4300cm3,斗的密度是0.70g/cm3.那么这个斗的质量是( )注:
台体体积公式是.
A.3990g B.3010g C.7000g D.6300g
6.在△ABC中,,则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形
7.已知双曲线的左、右顶点分别为,为双曲线左支上一点,为等腰三角形且外接圆的半径为,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
8.已知a>1,设函数f(x)=ax+x﹣2的零点为m,g(x)=logax+x﹣2的零点为n,则的取值范围是( )
A.(2,+∞) B. C.(4,+∞) D.
9.已知函数f(x)=x3+x+1+sinx,若f(a﹣1)+f(2a2)≤2,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,AD⊥AB,=3,||=1,则•的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.在三棱锥P﹣ABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=1,Q是棱BC上一个动点,若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.6π B.7π C.8π D.9π
12.已知关于x的方程[f(x)]2﹣kf(x)+1=0恰有四个不同的实数根,则当函数f(x)=x2ex时,实数k的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B.()
C.() D.(2,)
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.)
13.f(x)是定义域为R的偶函数,对∀x∈R,都有f(x+4)=f(﹣x),当0≤x≤2时,,则= .
14.若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中正确的是
(1)ab有最大值
(2)+有最小值
(3)+有最小值4(4)a2+b2有最小值
15.在△ABC中,D是AB的中点,∠ACD与∠CBD互为余角,AD=2,AC=3,则sinA的值为 .
16.如图,曲线y2=x(y≥0)上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形,△OP1Q1,△Q1P2Q2,…,△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an,n∈N*(记Q0为O),Qn(Sn,0).数列{an}的通项公式an= .
三、解答题:
(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(一)必考题
17.(本小题满分12分)
设{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn.
(1)设a1=40,a6=38,求Sn的最大值;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,且对任意的n∈N*,都有
Tn≤20,求d的取值范围.
18.(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.
(1)求证:
AE⊥平面A1BD;
(2)求三棱锥B1﹣ABE的体积.
19.(本小题满分12分)
已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关,现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(°C)的7组观测数据,其散点图如图所示:
根据散点图,结合函数知识,可以发现产卵数y和温度x可用方程y=ebx+a来拟合,令z=lny,结合样本数据可知:
z与温度x可用线性回归方程来拟合.
根据收集到的数据,计算得到如下值:
(xi﹣)2
(zi﹣)2
(xi﹣)(zi﹣)
27
74
3.537
182
11.9
46.418
表中zi=lnyi,.
(1)求z和温度x的回归方程(回归系数结果精确到0.001);
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程;若该地区一段时间内的气温在26°C~36°C之间(包括26°C与36°C),估计该品种一只昆虫的产卵数的范围
(参考数据:
e3.282≈27,e3.792≈44,e5.832≈341,e6.087≈440,e6.342≈548.)
附:
对于一组数据(ω1,v1),(ω2,v2),…,(ωn,vn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
20.(本小题满分12分)
设椭圆,过点A(2,1)的直线AP,AQ分别交C于相异的两点P,Q,直线PQ恒过点B(4,0).
(Ⅰ)证明:
直线AP,AQ的斜率之和为﹣1;
(Ⅱ)设直线AP,AQ分别与x轴交于M,N两点,点G(3,0),求|GM|•|GN|.
21(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x+a﹣1)ex,g(x)=x2+ax,其中a为常数.
(1)若a=2时,求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若对任意x∈[0,+∞),不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
(二)选考题:
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。
做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程选讲
已知曲线C的参数方程为,在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C'的极坐标方程;
(Ⅱ)若过点(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求的值.
23(本题满分10分)选修4-5;不等式选讲
设函数f(x)=k|x|﹣|2x﹣1|.
(1)当k=1时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)+b>0恒成立,求k+b的最小值.
2019—2020学年度高三年级下一调文数答案
1-12ADDACDCACCAB
1314
(1)(3)1516.
14.
在△ADC中,设∠ACD=θ,
则:
∠CBD=,
利用余弦定理:
=.
在△ADC中,利用正弦定理:
,
故:
,所以:
,解得:
cosA=,
在△ACD中,利用余弦定理:
,
所以:
,
整理得:
CD4﹣9CD2+20=0
解得:
.
①当CD=2时,cosA=.
所以:
sinA=
CD=时,cosA=,
所以:
sinA=.
故答案为:
16.解:
由条件可得△P1OQ1为正三角形,且边长为a1,
∴,P1在曲线上,代入y2=x(y≥0)中,得,
∵a1>0,∴a1=,根据题意得点,
代入曲线y2=x(y≥0)并整理,得Sn=.
当n≥2,n∈N*时,an=Sn﹣Sn﹣1=,
即.
∵an+1>an>0,∴an+1﹣an=,
当n=1时,S1=,∴或(舍)
∴a2﹣a1=,故an+1﹣an=
∴数列{an}是首项为,公差为的等差数列,∴an=.
故答案为:
.
三.解答题
17.解:
(1)a1=40,a6=38,可得d==﹣,
可得Sn=40n﹣n(n﹣1)•=﹣(n﹣)2+,
由n为正整数,可得n=100或101时,Sn取得最大值2020;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,
可得an=1+(n﹣1)d,数列{bn}为首项为2,公比为2d的等比数列,
若d=0,可得bn=2;d>0,可得{bn}为递增数列,无最大值;
当d<0时,Tn=<,
对任意的n∈N*,都有Tn≤20,可得20≥,且d<0,
解得d≤log20.9.
18.解:
(1)证明:
∵AB=BC=CA,D是AC的中点,
∴BD⊥AC,
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
∴平面AA1C1C⊥平面ABC,且平面AA1C1C∩平面ABC=AC,
∴BD⊥平面AA1C1C,
∵AE⊂平面AA1C1C,∴BD⊥AE.
又∵在正方形AA1C1C中,D,E分别是AC,CC1的中点,
∴A1D⊥AE,又A1D∩BD=D,∴AE⊥平面A1BD.
(2)解(割补法):
=﹣VB﹣ACE﹣
=S△ABC×AA1﹣×BD
=﹣=.
19.解:
(1)由z和温度x可以用线性回归方程拟合,设,
,
.
∴z关于x的线性回归方程为;
(2)由
(1)可得lny=0.255x﹣3.348,
于是产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.255x﹣3.348.
当x=26时,y=e0.255×26﹣3.348=e3.282≈27;当x=36时,y=e0.255×36﹣3.348=e5.832≈341.
∵函数y=e0.255x﹣3.348单调递增,∴在气温在26°C~36°C之间时,该品种一只昆虫的产卵数的估计范围是[27,341]内的正整数.
20.解:
(Ⅰ)证明:
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k,k1,k2,由得
(1+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣8=0,
△>0,可得:
,,,
=
=;
(Ⅱ)设M(x3,0),N(x4,0),
由y﹣1=k1(x﹣2),令y=0,得x3=2﹣,即M(2﹣,0),
同理,即N(2﹣,0),
设x轴上定点G(3,0),
则
=═.
21解:
(1)a=2时,f(x)=(x+1)ex,
∴f′(x)=(x+2)ex,
∴f′(0)=2,又因为切点(0,1),
所以切线为2x﹣y+1=0;
(2)令h(x)=f(x)﹣g(x),
由题得h(x)min≥0在x∈[0,+∞)恒成立,
h(x)=(x+a﹣1)ex﹣x2﹣ax,所以h′(x)=(x+a)(ex﹣1),
①若a≥0,则x∈[0,+∞)时h′(x)≥0,
所以函数h(x)在[0,+∞)上递增,
所以h(x)min=h(0)=a﹣1,则a﹣1≥0,得a≥1,
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- 河北省 衡水 中学 2019 2020 学年度 三年级 下学 期一调 考试 试卷