一元二次方程综合练习普通用卷文档格式.docx
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二、填空题(本大题共5小题)
11.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+3x-1=0有实数根,则k的取值范围是______.
12.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是______.
13.若a为方程(x-
)2=100的一根,b为方程(y-4)2=17的一根,且a、b都是正数,则a-b=______.
14.已知x1,x2是方程x2-(2k-1)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根,且x12+x22=39,则k的值为______.
15.已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+
=0,则第三边长为______.
三、计算题(本大题共6小题)
16.已知关于x的一元二次方程x2-3x+1-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k为负整数,求此时方程的根.
17.为丰富学生的学习生活,某校九年级1班组织学生参加春游活动,所联系的旅行社收费标准如下:
如果人数超过25人,每增加1人,人均活动费用降低2元,但人均活动费用不得低于75元.如果人数不超过25人,人均活动费用为100元.
春游活动结束后,该班共支付给该旅行社活动费用2800元,请问该班共有多少人参加这次春游活动?
18.如图,在△ABC中,∠B=90°
,点P从点A开始,沿AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC
以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发:
(1)几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米;
(2)若用S表示四边形APQC的面积,在经过多长时间S取得最小值?
并求出最小值.
19.某书店老板去批发市场购买某种图书.第一次购书用100元,按该书定价2.8元出售,并很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本的批发价已比第一次高0.5元,用去了150元,所购数量比第一次多10本.当这批书售出
时,出现滞销,便以定价5折售完剩余图书.问该店老板第二次售书是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其他因素)?
赔(或赚)多少钱?
20.设a、b是关于x的方程kx2+2(k-3)x+(k-3)=0的两个不相等的实根(k是非负整数),一次函数y=(k-2)x+m与反比例函数
的图象都经过点(a,b).
(1)求k的值;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
21.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两个实数根的和是11,求k的值.
四、解答题(本大题共11小题)
22.百货商店服装柜在销售中发现:
某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经市场调查发现:
如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.
(1)现在每件童装降价5元,那么每天可售出多少件,每天可盈利多少元?
(2)要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
23.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1•x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.
24.若a,b为实数,且a2+3a+1=0,b2+3b+1=0,求
的值.
25.某商业街有店面房共195间,2014年平均每间店面房的年租金为10万元,由于物价上涨,到2016年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元,据预测,当每间的年租金定为12.1万元时,可全部租出;
若每间的年租金每增加1万元,就要少租出10间.该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用1.1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.
(1)求2014年至2016年平均每间店面房年租金的平均增长率;
(2)当每间店面房的年租金上涨多少万元时,该商业街的年收益(收益=租金-各种费用)为2305万元?
26.随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动汽车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2014年底拥有家庭电动汽车150辆,2016年底家庭电动汽车的拥有量达到216辆.
(1)若该小区2014年底到2016年底家庭电动汽车拥有量的年平均增长率相同,则年平均增长率是多少?
(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资30万元(全部用完)建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位10000元/个,露天车位2000元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?
试写出所有可能的方案.
27.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4,则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c=______;
(2)若(x-2)(mx-n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代数式4m2-5mn+n2的值;
(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”,求a,b,c之间的关系.
28.阅读下列材料:
问题:
已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:
设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=
,把x=
,代入已知方程,得(
)2+
-1=0.化简,得y2+2y-4=0,故所求方程为y2+2y-4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:
把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+2x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为______;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
29.某商店经销一种小商品,进价为每个4元,第一个周以每个7元的价格售出200个,为了减少库存,决定第二个周进行降价销售,根据市场调查,售价每降低1元,每周可多售出50个,如果这两个周共获得1100元,那么第二个周这种小商品每个的售价为多少元?
30.某水果商场经销一种高档水果,原价每千克50元,连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同,
(1)求每次下降的百分率.
(2)若每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,但商场规定每千克涨价不能超过8元,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,那么每千克应涨价多少元?
31.为了迎接“清明”小长假的购物高峰,某运动品牌服装店准备购进甲、乙两种服装,已知每件甲服装进价比每件乙服装进价多20元,售价在进价的基础上加价50%,通过初步预算,若以4800元购进的甲服装比以4200元购进乙服装的件数少10件.
(1)求甲、乙两种服装的销售单价;
(2)现老板计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件,若购进这100件服装的费用不超过7500元,则甲种服装最多购进多少件?
(3)在
(2)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠a(0<a<20)元的价格进行促销活动,乙种服装价格不变,那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润?
32.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0中.(a-m)2+(b-m-1)2=0
(1)若a=4,求b的值;
(2)若方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根,求方程的根.
答案和解析
【答案】
1.B2.D3.B4.B5.A6.D7.D
8.D9.D10.D
11.k≥-
且k≠1
12.k≤5且k≠1
13.6
14.-3
15.
16.解:
(1)由题可得:
(-3)2-4(1-k)>0,
解得k>-
;
(2)若k为负整数,则k=-1,
此时原方程为x2-3x+2=0,
解得x1=1,x2=2.
17.解:
∵25人的费用为2500元<2800元,
∴参加这次春游活动的人数超过25人,
设该班参加这次春游活动的人数为x名.
根据题意,得[100-2(x-25)]x=2800,
整理,得x2-75x+1400=0,
解得:
x1=40,x2=35,
x1=40时,100-2(x-25)=70<75,不合题意,舍去;
x2=35时,100-2(x-25)=80>75,
答:
该班共有35人参加这次春游活动.
18.解:
(1)设经过x秒钟,可使得四边形APQC的面积是31平方厘米,
根据题意得:
BP•BQ=
AB•BC-31,
即
(6-x)•2x=
×
6×
12-31,
整理得(x-1)(x-5)=0,
x1=1,x2=5.
经过1或5秒钟,可使得四边形APQC的面积是31平方厘米;
(2)依题意得,S四边形APQC=S△ABC-S△BPQ,
即S=
AB•BC-
12-
(6-x)•2x=(x-3)2+27(0<x<6),
当x-3=0,即x=3时,S最小=27.
经过3秒时,S取得最小值27平方厘米.
19.解:
设第二次购书x本,则第一次购书(x-10)本,依题意得:
,
化简整理后,得x2-110x+3000=0,
解之得x1=50,x2=60,
经检验,x1=50,x2=60都是所列方程的根,
当x=50时,每本书的批发价为150÷
50=3(元),高于书的定价,不合题意舍去,
当x=60时,符合题意,故第二次购书60本.
(60×
2.8+60×
2.8×
)-150=151.2-150=1.2(元)
该店老板第二次售书赚钱了,赚了1.2元.
20.解:
(1)∵方程kx2+2(k-3)x+(k-3)=0的两个不相等的实根,
∴
k<3且k≠0,
又∵k为非负整数,
∴k=1,k=2,
又∵y=(k-2)x+m为一次函数,
∴k≠2,故k=1;
(2)当k=1时,方程kx2+2(k-3)x+(k-3)=0即为:
x2-4x-2=0,
∵a,b是方程x2-4x-2=0的两个不相等的根,
∴a+b=4,ab=-2.
∵一次函数y=(k-2)x+m与反比例函数
的图象都经过点(a,b),
∴点(a,b)满足函数解析式,∴
解得
∴一次函数为:
y=-x+4,反比例函数为y=-
.
21.解:
根据题意得△=(2k+1)2-4(k2-2)≥0,解得k≥-
设方程两根分别为a,b,则a+b=-(2k+1),ab=k2-2,
∵a2+b2=13,
∴(a+b)2-2ab=11,
(2k+1)2-2(k2-2)=11,
整理得k2+2k-3=0,解得k1=-3,k2=1,
而k≥-
∴k的值为1.
22.解:
(1)∵每件童装降价1元,平均每天就可多售出2件,
∴每件童装降价5元,每天可售出20+5×
2=30件;
∴每天可盈利:
(40-5)×
30=1050(元);
(2)设每件应降价x元,由题意,得
(40-x)(20+2x)=1200,
x1=10,x2=20,
∴为增大销量,减少库存,
∴每件童装应降价20元.
23.解:
(1)∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,
∴△=(-6)2-4(m+4)=20-4m≥0,
m≤5,
∴m的取值范围为m≤5.
(2)∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,
∴x1+x2=6①,x1•x2=m+4②.
∵3x1=|x2|+2,
当x2≥0时,有3x1=x2+2③,
联立①③解得:
x1=2,x2=4,
∴8=m+4,m=4;
当x2<0时,有3x1=-x2+2④,
联立①④解得:
x1=-2,x2=8(不合题意,舍去).
∴符合条件的m的值为4.
24.解:
当a和b相等时,原式=2;
当a和b不相等时,依题意得:
a、b是关于x的方程x2+3x+1=0的两个实数根,
则a+b=-3,ab=1,
所以
=
=7.
=7.
25.解:
(1)设2014年至2016年平均每间店面房年租金的平均增长率为x,根据题意得出:
10(1+x)2=12.1,
x1=10%,x2=-2.1(不合题意舍去),
2014年至2016年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%;
(2)当每间店面房的年租金上涨x万元时,该商业街的年收益(收益=租金-各种费用)为2305万元,
故根据题意得出:
(12.1+x-1.1)(195-10x)-0.5×
10x=2305,
整理得出:
x2-8x+16=0,
x1=x2=4.
当每间店面房的年租金上涨4万元时,该商业街的年收益(收益=租金-各种费用)为2305万元.
26.解:
(1)设家庭电动汽车拥有量的年平均增长率为x,
则150(1+x)2=216,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去)
该小区家庭电动汽车拥有量年平均增长率为20%;
(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,
则
由①得b=150-5a,
代入②得20≤a≤
∵a是正整数,
∴a=20或21,
当a=20时b=50,当a=21时b=45.
∴方案一:
建室内车位20个,露天车位50个;
方案二:
室内车位21个,露天车位45个.
27.2
28.y2-2y-1=0
29.解:
设第二个周这种小商品每个降价x元,
(7-4)×
200+(7-x-4)(200+50x)=1100,
x1=1,x2=-2(不合题意,舍去),
7-1=6,
第二个周这种小商品每个的售价为6元.
30.解:
(1)设每次下降的百分率为a,根据题意,得:
50(1-a)2=32,
a=1.8(舍)或a=0.2,
每次下降的百分率为20%;
(2)设每千克应涨价x元,由题意,得
(10+x)(500-20x)=6000,
整理,得x2-15x+50=0,
x=5或x=10(舍),
该商场要保证每天盈利6000元,那么每千克应涨价5元.
31.解:
(1)设甲服装进价为x元/件,则乙服装进价为(x-20)元/件,
根据题意,得:
-10,
整理,得:
x2+40x-9600=0,
x1=-120(舍),x2=80,
经检验x=80是原分式方程的解,
∴甲服装的销售单件为80×
(1+50%)=120元/件,
乙服装的销售单价为(80-20)×
(1+50%)=90元/件;
甲服装的销售单件为120元/件,乙服装的销售单价为90元/件.
(2)设购进甲种服装m件,则可购进乙种服装(100-m)件,
65≤m≤75,
甲种服装最多购进75件.
(3)设总利润为W元,
W=(120-80-a)x+(90-60)(100-x)
即w=(10-a)x+3000.
①当0<a<10时,10-a>0,W随x增大而增大,
∴当x=75时,W有最大值,即此时购进甲种服装75件,乙种服装25件;
②当a=10时,所以按哪种方案进货都可以;
③当10<a<20时,10-a<0,W随x增大而减小.
当x=65时,W有最大值,即此时购进甲种服装65件,乙种服装35件.
32.解:
(1)∵(a-m)2+(b-m-1)2=0
∴a-m=0,b-m-1=0,
∴a=m,b=m+1.
∵a=4,
∴m=4,
∴b=5;
(2)∵方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根,
∴b2-4a=0.
∵a=m,b=m+1,
∴(m+1)2-4m=0
m1=m2=1,
∴a=1,b=2,
∴原方程为x2+2x+1=0,
x1=x2=-1.
【解析】
1.解:
设方程的两根为x1,x2,
根据题意得x1+x2=0,
所以a2-2a=0,解得a=0或a=2,
当a=2时,方程化为x2+1=0,△=-4<0,故a=2舍去,
所以a的值为0.
故选B.
设方程的两根为x1,x2,根据根与系数的关系得a2-2a=0,解得a=0或a=2,然后利用判别式的意义确定a的取值.
本题考查了根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-
,x1x2=
.也考查了根的判别式.
2.解:
∵x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,
∴x1+x2=2m,x1•x2=m2-m-1.
∵x1+x2=1-x1x2,
∴2m=1-(m2-m-1),即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0,
m1=-2,m2=1.
∵方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根,
∴△=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,
m≥-1.
∴m=1.
故选D.
根据根与系数的关系结合x1+x2=1-x1x2,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,再根据方程有实数根结合根的判别式,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,从而可确定m的值.
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,根据根与系数的关系以及x1+x2=1-x1x2,找出关于m的一元二次方程是解题的关键.
3.解:
A、解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3,所以A选项的说法正确;
B、解方程得x1=3,x2=-
,当-
=3×
3,则9m+n=0;
当-
3,则m+n=0,所以B选项的说法错误;
C、解方程得x1=3,x2=-
,而m+n=0,则x2=1,所以C选项的说法正确;
D、解方程得x1=-m,x2=n,而3m+n=0,即n=-3m,所以x2=3x1,所以D选项的说法正确.
通过解一元方程可对A进行判断;
先解方程得到x1=3,x2=-
,然后通过分类讨论得到m和n的关系,则可对B进行判断;
先解方程,则利用m+n=0可判断两根的关系,则可对C进行判断;
先解方程,则利用3m+n=0可判断两根的关系,则可对D进行判断.
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
.也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程.
4.解:
方程x(x-4)=2-8x可变形为x2+4x-2=0.
①∵α、β是方程x2+4x-2=0的两个根,
∴αβ=-2,
∴有一个根为正数,一个根为负数,①正确;
②∵αβ=-2,
∴有一个根为正数,一个根为负数,②错误;
③∵α、β是方程x2+4x-2=0的两个根,
∴α+β=-4,αβ=-2,
∵-2>-4,
∴两根的积大于两根的和,③正确;
④∵原方程可变形为x2+4x-2=0,△=42-4×
1×
(-2)=24,
∴本题解方程最好的方法是求根分式法,④错误;
⑤∵原方程可变形为x2+4x-2=0,
∴它的二次项系数为1,一次项为4,常数项为-2,⑤正确.
综上可知正确的结论有:
①③⑤.
原方程可整理为x2+4x-2=0.①②由两根之积为-2,即可得出①正确②错误;
③根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积,作比较后即可得出③正确;
④由方程根的判别式△=24,即可得出解方程的最好的办法是利用公式法来求,④错误;
⑤根据整理后的方程,即可得出⑤正确.综上即可得出结论.
本题考查了根与系数的关系,解题的关键是牢记两根之和与两根之积与方程各项系数的关系.
5.解:
设y=x2+x+1=y,
则(x2+x+1)2+2(x2+x+1)-3=0,可化为:
y2+2y-3=0,
分解因式得:
(y+3)(y-1)=0,
y1=-3,y2=1,
当x2+x+1=-3时,经△=12-4×
4<0检验,可知x不是实数,
当x2+x+1=1时,经检验,符合题意.
故选A.
首先利用换元思想,把x2+x+1看做一个整体换为y,化为含y一元二次方程,解这个方程,再检验即可.
此题考查了用换元法解一元二次方程,考察了学生的整体思想.解题的关键是找到哪个是换元的整体.
6.解:
①两个整数根且乘积为正,两个根同号,由韦达定理有,x1•x2=2n>0,y1•y2=2m>0,
y1+y2=-2n<0,
x1+x2=-2m<0,
这两个方程的根都为负根,①正确;
②由根判别式有:
△=b2-4ac=4m2-8n≥0,△=b2-4ac=4n2-8m≥
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