完整word版大一上学期高数复习要点Word下载.docx
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原函数与不定积分
1基本积分表基本积分表(共24个基本积分公式)
不定积分的性质
最后达到的效果是会三算两证(求极限,求导数,求积分)(极限和中值定理的证明),一定会取得满意的成绩!
高数高频易错点
1.求极限请注意自变量趋向什么。
我们知道:
lim(x趋向0)sinx/x=1,但是当x趋向无穷limsinx/x=0,原因:
无穷小量×
有界函数=无穷小量。
这里:
|sinx|<
=1,1/x是无穷小量。
再次重申:
请注意x趋向什么。
2.关于极限的保号性。
若limf(x)=A,A>
0或(A<
0),则存在δ>
0,当x取x0的δ去心
x->
x0邻域时,f(x)>
0(或f(x)<
0)。
这是最原始结论:
如果结论中不取去心邻域,那么结论是错的。
比如举例分段函数:
当x=0时,f(x)=-1,当x不为0时,f(x)=x^2+1,显然lim(x趋向0)f(x)=1>
0,然而并不满足f(x)>
0(在x=0处)。
介绍这个定理的作用:
解一类题。
请看:
已知f(x)可导,且当x趋向0,limf(x)/|x|=1,判断f(x)是否存在极值点。
因为f(x)可导,那么f(x)必连续,因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1,那么我们得到结论:
lim(x趋向0)f(x)=0,否则不会存在极限的,又因为f(x)连续,那么f(0)=0,令f(x)/|x|=g(x),根据保号性,因为limg(x)=1>
0,那么:
g(x)>
0,那么由于|x|在x趋向0时>
0,所以f(x)>
0,而0=f(0),所以f(x)>
f(0),根据极小值的定义,x=0为f(x)的极小值点。
★综上:
已知limg(x)=a,a的正负已知,可以使用保号性。
3.请注意当题目说:
x趋向无穷时,那么题目包含两个意思:
x趋向正无穷和x趋向负无穷。
在含有e^x,arctanx,等等类的题目时,请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。
补充:
在含有绝对值的题目时,这点尤其重要,如果说x趋向无穷,那么在去||时,必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷,当然题目不一定非要以绝对值出现,有些题会以√(x^2)出现。
4.关于和差化积积化和差公式的记忆。
8字口诀:
同c异s,s异c同。
前者用来记住积化和差,后者用来记住和差化积。
举例:
sinacosb=?
因为它们的三角函数名异名,那么使用s,sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)),★说明:
1,纯粹个人记忆方法,接受不了也正常;
2,这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓,比如所有的积化和差,右边是1/2(()+(或者-)());
3,实在不会,死记硬背吧,或者请教别的大神。
5.关于极值点的3种判别法:
■法一:
定义法;
■法二:
若f(x)可导,f'
(xo)=0,且f’’(x)不为0,则f(x)在xo处取得极值,若二阶导<
0,取得极大;
>0,极小。
法三:
(n阶判别法):
若f'
(xo)=二阶导(xo)=…=n-1阶导(xo)=0,且n阶导不为0,若n为偶数,且n阶导>
0,极小,反之,极大;
若n为奇数,n阶导不等于0,则(xo,f(xo)为拐点,xo不是极值点。
证明:
略
6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚),我们说一般地,y'
'
表示对x的二阶导数,不是对参数t的二阶导数。
y'
=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx,对于求dy/dx,我们采用求关于t的y’(t),和关于t的x'
(t),因为dy/dx=(dy/dt)×
(dt/dx)=y'
(t)/x‘(t)。
已知y=cost,x=t^2,那么求dy/dx,d^2y/dx^2。
标准解答:
1:
(t)=-sint,x'
(t)=2t,所以dy/dx=-sint/2t;
2:
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx={d[(-sint)/2t]}/dt*(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3)………★综上:
二阶导是一个整体记号,不是简单的除法。
7.等价无穷小只能使用于乘除(题外:
其实它可以使用于加减的,这里不说,以防混淆)。
比如:
初学者可能会认为这个极限为0,lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x^3=0[计算思路:
(x-x)/x^3=0],事实上它等于1/2.原因:
提取tanx后等价无穷小。
等价无穷小必须自己去背的,没有人可以帮你。
8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。
错误一:
把变量当做常量。
y=x^x,标准解答lny=xlnx,两边对x求导,y'
/y=1+lnx,所以y'
=(x^x)(1+lnx)。
错误做法:
y=x^x,y'
=x(x^(x-1))=x^x。
(但愿你们找到了错误在哪),错误二:
搞不清楚对x求导是什么意思。
当然:
y=x^2求导大家都会吧,y'
=2x,当出现对y^2=x^2,很多同学就迷茫了,我们说y是x的函数,所以最后必须乘y'
,对y^2=x^2求导,得到:
2yy'
=2x.再则:
对隐函数求导我们把其中一个看成常量,比如y=yx+x^2,那么求导:
=y+y'
x+2x。
★综上:
对隐函数求导,若是单独y,求导为y'
,一切关于y的函数(比如y^2,lny,a^y等),先对这个函数求导再乘y'
.
9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题,与它的邻域无关,也就是说点可导,在中心点的去心邻域内的点未必可导。
比如函数f(x)=0当x是有理数。
f(x)=x^2当x是无理数。
只在x=0处点连续,并可导。
按定义可验证在x=0处导数为0.
10.无穷小×
有界=无穷小,但是:
无穷大×
有界未必等于无穷大。
正确结论:
有界=未知,比如:
当x趋向正无穷,x,x^2始终为无穷大,而1/x,1/x^2为有界量。
注意到:
x*(1/x^2)=1/x就是一个无穷小,而x^2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。
11.可导与连续是完全不一样的。
有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续,特别开心,他说易得:
左导=右导=f(xo),你太天真了。
其实:
连续是说左极限=右极限=f(xo),可导是:
lim(x->
xo)f(x)=f(xo),且左导=右导。
请搞清楚你要处理的问题。
不要学了一个学期都是云里雾里,当然一学期没上过一节课的同学,除外。
在一元函数微分学中,可导必然连续,连续未必可导(这个显然嘛,y=|x|在x=0处连续但是不可导)。
12.很多初学者认为:
∫(a到x)f(t)dt中,变量是t,这是错的,你忽略了变限积分的来历,自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。
记住:
这里x是变量,它求导=f(x)。
13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0,他说比如0/0不是以0为分母,他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0,它表示极限0,由于极限等于0,我们习惯称为0/0形式。
也就是说:
若没有lim这个符号,0/0没有意义。
事实上:
再比如:
货真价实的数字1,1^无穷=1,若是(极限1)^无穷,则结果待定。
★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如:
0/0,1^无穷,无穷/无穷,等等7类运算。
为此,产生了7种特殊的式子:
不定式。
由于结果不确定,所以称之为不定式。
…………◆综上:
我们现在学的是高等数学,几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论,但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论,并且注意区分。
14.求数列极限不可直接使用洛必达,数列是整标函数,每个孤立点不连续,不可导,故不符合洛必达的条件1,为此:
正确做法:
先令n为x,再使用洛必达,最后换为n.
15.无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大[但是请注意:
这里的无穷小除去了0。
16.x趋向0,limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明,原因:
(sinx)‘=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1,所以犯了循环论证的错误~
17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0,无穷/无穷那么简单。
洛必达的3个条件:
⑴x→a时,limf(x)=0,limF(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
⑶x→a时,lim(f'
(x)/F'
(x))存在或为无穷大
则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'
(x)),◆◆◆请注意:
1,第三点很容易被忽略,一般地:
含有lim(x趋向无穷)sinx,或者cosx,是不会采用洛必达的;
2,在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点,在求最后一步导时我们使用的是导数定义,也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来,因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件,所以每次做含有抽象函数的题使用洛必达+最后一步使用导数定义!
3,单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。
(如果你不注意以上这些,虽然在平常考试时有些老师不在意,但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)
18.一般地:
我们有以下结论:
lim(x趋向xo)f(x)=a,则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。
★若a不为0,上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的],若a=0,上述结论逆命题仍然成立!
19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。
在使用极坐标时,应该同时注意到:
θ和ρ的任意性。
(x,y)趋向(0,0),求lim(xy)/(xy),容易证明该极限不存在(一条路径:
y=x,另一条:
y=x^2-x),倘若使用极坐标,则得:
limρ(cosθsinθ)/(cosθ+sinθ),此时有分母出现0的可能(取θ=45度),因此不确定该极限是否存在,本法失效,或者说:
你无法证明(cosθsinθ)/(cosθ+sinθ)有界。
综上:
倘若使用极坐标,须同时考虑θ,ρ的任意性,不可盲目使用。
20.注意仅当y=f(x)时有:
=f'
(x)。
若y=f(■),■不等于x时,y'
不等于f'
(■)。
y=f(x^2),y'
(x^2)2x,而不是等于f'
(x^2)。
下面说明f'
(■)和[f(■)]’的区别:
f'
(■)表示已知f'
(x)的表达式,并且把■当做x代入,这个过程是代值过程;
而[f(■)]‘的意思是求导,至于对谁求导,则根据■确定。
仅当■=x时,f'
(■)=[f(■)]’,即:
(x)=[f(x)]’,其他情况没有这个式子。
[f(■)]’=f’(■)■’。
21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导,“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。
……………………………………ps:
f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续,反之不然。
22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式:
asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u),其中u=arctan(b/a),强制要求a>
0;
asinx+bcosx=√(a^2+b^2)cos(x+u),其中u=arctan(-a/b),强制要求b>
0。
………………………………………………………………■ps:
为什么要强制要求?
[以第一个为例,第二个同理]原因在于:
我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值,好处在于u在[-派/2,派/2]上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调),事实上,u的范围就是[-派/2,派/2],由此我们再来看给出的公式:
asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u),将右边展开得:
√(a^2+b^2)cosusinx+√(a^2+b^2)sinucosx,根据待定系数原则可得:
cosu=a/√(a^2+b^2),倘若我们不控制a>
0,比如取a<
0的话,那么cosu<
0,显然u的范围已经落在二三象限中去了,而我们规定u在[-派/2,派/2],即一四象限,由此出现矛盾,所以a必须大于0,u的范围才吻合公式左右。
23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限?
其实,原因很简单。
在于:
dφ,dθ,dρ,dx,dy,dz,dr都是正数。
24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。
我相信不止一个人考虑过这个问题。
求定积分I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx,当然可以用面积来做,这里为了说明疑问,不用面积做,而用三角换元做。
……………★书上对定积分换元法的说明是这样的:
设f(x)在[a,b]上连续,【当t从α变到β时,x=φ(t)要从φ(α)=a(单调地)变到φ(β)=b,这里不必要求φ(t)单调,即不必要求x=φ(t)有反函数存在】,但不允许x=φ(t)的取值变到区间[a,b]之外。
此外,还要求φ(t)在[α,β]上具有连续的导数φ’(t),这时,定积分的换元公式才成立。
…………………………■:
简单说就是满足两个条件,单值加连续导数。
…………■下面来做本题:
令x=asint,则dx=acostdt,【当x=0时,t取0,x=a时,t取:
派/2】,对于这个【】里面的过程有些同学无法接受,[问题1]凭什么x=0,t要取0,为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t?
[问题2]凭什么一定要上限>
下限。
解答问题1:
首先为了满足单值,不可以取一个形如[派,5派/2]的区间去对应原来的[0,a]尽管相对于x
尽管相对x=asint来说不存在任何问题,但是你忽略了定积分换元的条件[单值],在此区间[派,5派/2]内x=asint不是单值的[意思是:
令x=k,解得t不唯一]。
所以不能取一个区间不满足单值的。
你取一个[0,派/2]这样的就是合适的,当然你取[派,派/2]这个也是对的,为什么请看证明?
我们无疑地知道I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面积显然],下面通过计算来说明为什么取t属于[派,派/2]也是正确的。
I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到(派/2)]a|cost|costdt。
[说明:
这里开根号注意是绝对值],由于此时t的范围是[派,派/2],所以cost<
0,去绝对值时请注意这点,下面再用降幂公式易证答案正确。
……………ps:
你取任何一个单值区间满足题意都是正确的。
只不过计算过程的问题。
……………………………解答问题2:
事实[问题1]证明在换元时可以上限<
■:
三角换元可以取你想取的值,但是请注意使用条件以及计算的简便化。
末了附注:
本题中a>
25.收敛级数加括号仍然收敛,发散级数加括号未知;
正项级数敛散形不受加括号的影响。
求极限的计算方法总结(转)
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