高中数学新人教A版选修11 导数的几何意义Word文档下载推荐.docx
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(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同( )
(2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点( )
(3)函数f(x)=0没有导函数( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
2.曲线y=x2在点P(1,1)处的切线方程为( )
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=2x+1D.y=-2x
B
3.已知曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f′
(1)=( )
A.4 B.-4 C.-2 D.2
D
4.已知f(x)=-,则f′(x)=________.
求曲线的切线方程
[典例] 已知曲线C:
y=x3+,求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程.
[解] 将x=2代入曲线C的方程得y=4,
∴切点P(2,4).
y′|x=2=li=li
=li[4+2·
Δx+(Δx)2]=4.∴k=y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
1.过曲线上一点求切线方程的三个步骤
2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0,y0);
(2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0);
(3)利用Q在曲线上和f′(x0)=kPQ,解出x0,y0及f′(x0);
(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
[活学活用]
1.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线.
解:
∵曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率k=y′=li(3Δx+2)=2,
∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2,
由直线的点斜式,得y-2=2(x+1),
即2x-y+4=0,
∴所求直线的方程为2x-y+4=0.
2.求抛物线f(x)=x2过点的切线方程.
由于点不在抛物线上,所以可设切点为(x0,x),
因为f′(x0)=li
=li=li(2x0+Δx)=2x0,
所以该切线的斜率为2x0,
又因为此切线过点和点(x0,x),
所以=2x0,即x-5x0+6=0,
解得x0=2或x0=3,因此切点为(2,4)或(3,9),
所以切线方程分别为y-4=4(x-2),y-9=6(x-3),即y=4x-4,y=6x-9.
求切点坐标
[典例] 已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切点的坐标.
(1)切线的倾斜角为45°
.
(2)切线平行于直线4x-y-2=0.
(3)切线垂直于直线x+8y-3=0.
[解] 设切点坐标为(x0,y0),则
Δy=2(x0+Δx)2+1-2x-1=4x0·
Δx+2(Δx)2,
∴=4x0+2Δx,
当Δx→0时,→4x0,即f′(x0)=4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°
,
∴斜率为tan45°
=1.
即f′(x0)=4x0=1,得x0=,
∴切点的坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,
∴k=4,即f′(x0)=4x0=4,得x0=1,
∴切点坐标为(1,3).
(3)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,
则k·
=-1,即k=8,
故f′(x0)=4x0=8,得x0=2,∴切点坐标为(2,9).
求切点坐标的四个步骤
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
已知曲线y=x3+3x在点P处的切线与直线y=15x+3平行,则点P为( )
A.(2,14) B.(-2,-14)
C.(2,14)或(-2,-14)D.以上都不对
解析:
选C 设P(x0,y0),由题意可得
y′=li=3x+3,
又由题意得3x+3=15,所以x0=±
2.
当x0=2时,y0=23+6=14,
当x0=-2时,y0=(-2)3-6=-14.
所以点P的坐标为(2,14)或(-2,-14).
层级一 学业水平达标
1.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为2x-y+1=0,则( )
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0D.f′(x0)不存在
选A 因为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数就是切线的斜率,又切线2x-y+1=0的斜率为2,所以f′(x0)>0.
2.曲线f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为( )
A.y=-2x+4 B.y=-2x-4
C.y=2x-4D.y=2x+4
选C ==,所以当Δx→0时,f′
(1)=2,即k=2.所以直线方程为y+2=2(x-1).即y=2x-4.故选C.
3.曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( )
A.1 B. C. D.-
选B ∵y′=li
=li=x2,
∴切线的斜率k=y′|x=1=1.
∴切线的倾斜角为,故应选B.
4.曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( )
A.1B.C.-D.-1
选A ∵y′|x=1=li=
li=li(2a+aΔx)=2a,
∴2a=2,∴a=1.
5.过正弦曲线y=sinx上的点的切线与y=sinx的图象的交点个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.无数个
选D 由题意,y=f(x)=sinx,
则f′=li
=li.
当Δx→0时,cosΔx→1,∴f′=0.
∴曲线y=sinx的切线方程为y=1,且与y=sinx的图象有无数个交点.
6.已知f(x)=x2+ax,f′
(1)=4,曲线f(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为-1,则实数a的值为________.
由导数的几何意义,得切线的斜率为k=f′
(1)=4.又切线在y轴上的截距为-1,所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=4x-1.从而切点坐标为(1,3),所以f
(1)=1+a=3,即a=2.
2
7.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.
因为Δy=-(-1)=+1
=,所以==,
所以f′(-1)=li=li=2,
故曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
y=2x+1
8.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________.
设f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),
f′(x0)=li
=li=2x0-3=1,故x0=2,
y0=x-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).
(2,-2)
9.求过曲线f(x)=-上的点P的切线方程.
因为f′(4)=li
=li
=li=-,
所以切线的斜率为-.
所以所求的切线方程为5x+16y+8=0.
10.已知曲线y=2x2-7,求曲线过点P(3,9)的切线方程.
由题意得f′(x0)=li
=li(4x0+2Δx)=4x0.
由于2×
32-7=11≠9,故点P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,
故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0),
将P(3,9)及y0=2x-7代入上式得
9-(2x-7)=4x0(3-x0).
解得x0=2或x0=4.
所以切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.
层级二 应试能力达标
1.已知y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>
f′(xB)
B.f′(xA)<
C.f′(xA)=f′(xB)
D.不能确定
选B 由图可知,曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知f′(xA)<
f′(xB),选B.
2.曲线f(x)=2x-在x=1处的切线的斜率为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
选D 因为Δy=f(1+Δx)-f
(1)
=2(1+Δx)--
=2Δx+1-=2Δx+,
所以==2+,
所以li=li=2+1=3.
3.设f(x)存在导函数,且满足li=-1,则曲线y=f(x)上点(1,f
(1))处的切线斜率为( )
A.2B.-1C.1D.-2
选B li
=li=f′
(1)=-1.
4.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为( )
A.B.C.-D.-
选D 由导数的定义可得y′=3x2,
∴y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=y′|x=1=3,
由条件知,3×
=-1,∴=-.
5.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则
li=______.
由导数的概念和几何意义知,
li=f′
(1)=kAB==-2.
-2
6.已知曲线f(x)=,g(x)=过两曲线交点作两条曲线的切线,则曲线f(x)在交点处的切线方程为__________________.
由,得∴两曲线的交点坐标为(1,1).
由f(x)=,得f′
(1)=li
=li=,
∴y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=(x-1).
即x-2y+1=0,
x-2y+1=0
7.求曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
联立两曲线方程解得
即交点坐标为(1,1).
曲线y=在点(1,1)的切线斜率为
f′
(1)=li=li=-1,
所以曲线y=在点(1,1)处的一条切线方程为
y-1=-(x-1),即y=-x+2.
同理,曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为
g′
(1)=li=li
=li(2+Δx)=2.
所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
两条切线y=-x+2和y=2x-1与x轴所围成的图形如图所示,
所以S=×
1×
=,故三角形的面积为.
8.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?
若存在,求出实数a的取值范围;
若不存在,请说明理由.
∵==2x+Δx,
∴y′=li=li(2x+Δx)=2x.
设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y′|x=x0=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).
又∵切线过点(1,a),且y0=x+1,
∴a-(x+1)=2x0(1-x0),
即x-2x0+a-1=0.∵切线有两条,
∴Δ=(-2)2-4(a-1)>
0,解得a<
故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).
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