《现代控制理论基础》考试题B卷及答案.doc
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试题:
现代控制理论基础(B卷答案)班号:
姓名:
一.(本题满分10分)
请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。
其中状态变量的设置如图所示,系统的输出变量为流经电感的电流强度。
【解答】根据基尔霍夫定律得:
改写为,输出方程为
写成矩阵形式为
二.(本题满分10分)
单输入单输出离散时间系统的差分方程为
回答下列问题:
(1)求系统的脉冲传递函数;
(2)分析系统的稳定性;
(3)取状态变量为,,求系统的状态空间表达式;
(4)分析系统的状态能观性。
【解答】
(1)在零初始条件下进行z变换有:
系统的脉冲传递函数:
(2)系统的特征方程为
特征根为,,,所以离散系统不稳定。
(3)由,,可以得到
由已知得
于是有:
又因为
所以状态空间表达式为
(4)系统矩阵为
,输出矩阵为,
能观性矩阵为,,系统完全能观。
三.(本题满分10分)
回答下列问题:
(1)简述线性系统的对偶原理;
(2)简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系;
(3)输入输出阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统?
【解答】
(1)若线性系统1与线性系统2互为对偶,则系统1的能控性等价于系统2的能观性,系统1的能观性等价于系统2的能控性。
(2)若线性定常系统的状态稳定,则输出必稳定,反之,若线性定常系统的输出稳定,则状态未必稳定。
当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时,其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。
(3)输入输出阶线性解耦系统等效于个独立的单输入单输出系统。
四.(本题满分10分)
设有一个2阶非线性系统,其状态方程为,判断该系统在坐标原点处的稳定性,并证明你的判断。
【解】此系统在坐标原点处不稳定。
【证明】
取李雅普诺夫函数,显然是正定函数,此外,沿着状态轨线的导数为:
显然是正定的,所以该系统在坐标原点处不稳定。
五.(本题满分10分)
设某控制系统的模拟结构图如下,
试判断系统的能控性、能观性和稳定性。
【解答】
根据模拟结构图可得状态空间表达式
写成矩阵形式为
,,。
系统的特征方程为
显然系统渐近稳定。
系统的能控性矩阵为,显然,满秩,所以系统状态完全能控。
系统的能观性矩阵为,显然,满秩,所以系统状态完全能观。
六.(本题满分10分)
某系统的状态空间表达式为
设计一个全维状态观测器,使观测器的两个极点均为。
【解答】
设全维观测器方程为
观测器特征多项式为
观测器期望特征多项式为
根据多项式恒等的条件得
解得,全维状态观测器方程为
七.(本题满分10分)
证明对于状态空间表达式的线性变换,其特征方程保持不变。
【证明】设原线性系统为
其特征方程为
设线性变换为,变换后的线性系统为
该系统的特征方程为
写成
显然,其特征方程保持不变。
证毕
八.(本题满分10分)
开环系统的结构如图所示:
试用状态反馈的方法,使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间秒(),超调量为,其中一个闭环特征值为。
求状态反馈控制律的数学表达式。
【解答】将上述方块图该画成模拟结构图,如下:
写成状态空间表达式为,即
闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间秒(),可得:
,,
超调量为,解得,所以。
期望闭环特征多项式为
设状态反馈控制律为,代入可得闭环系统的状态方程
闭环特征多项式为
根据多项式恒等条件可得:
解得:
,状态反馈控制律为
。
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