专题02函数与导数文高考题和高考模拟题数学文分项版汇编.docx
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专题02函数与导数文高考题和高考模拟题数学文分项版汇编
2.函数与导数
1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是
A.B.
C.D.
【答案】D
点睛:
有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:
(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;
(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.
2.【2018年天津卷文】已知,则的大小关系为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】分析:
由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解:
由题意可知:
,即,,即,
,即,综上可得:
.本题选择D选项.
点睛:
对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.
3.【2018年新课标I卷文】设函数,则满足的x的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】D
点睛:
该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系,从而求得相关的参数的值的问题,在求解的过程中,需要利用函数解析式画出函数图像,从而得到要出现函数值的大小,绝对不是常函数,从而确定出自变量的所处的位置,结合函数值的大小,确定出自变量的大小,从而得到其等价的不等式组,从而求得结果.
4.【2018年新课标I卷文】设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为
A.B.C.D.
【答案】D
点睛:
该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果.
5.【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为
A.AB.BC.CD.D
【答案】D
【解析】分析:
由特殊值排除即可
详解:
当时,,排除A,B.,当时,,排除C
故正确答案选D.
点睛:
本题考查函数的图像,考查了特殊值排除法,导数与函数图像的关系,属于中档题。
6.【2018年全国卷Ⅲ文】下列函数中,其图像与函数的图像关于直线对称的是
A.B.C.D.
【答案】B
点睛:
本题主要考查函数的对称性和函数的图像,属于中档题。
7.【2018年浙江卷】已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是___________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.
【答案】(1,4)
【解析】分析:
根据分段函数,转化为两个不等式组,分别求解,最后求并集.先讨论一次函数零点的取法,再对应确定二次函数零点的取法,即得参数的取值范围.
详解:
由题意得或,所以或,即,不等式f(x)<0的解集是
当时,,此时,即在上有两个零点;当时,,由在上只能有一个零点得.综上,的取值范围为.
点睛:
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
8.【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:
“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。
凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?
”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为,,,则当时,___________,___________.
【答案】811
点睛:
实际问题数学化,利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质,是解决这类问题的突破口.
9.【2018年天津卷文】已知a∈R,函数若对任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,则a的取值范围是__________.
【答案】[,2]
【解析】分析:
由题意分类讨论和两种情况,结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
详解:
分类讨论:
①当时,即:
,整理可得:
,由恒成立的条件可知:
,结合二次函数的性质可知:
当时,,则;②当时,即:
,整理可得:
,由恒成立的条件可知:
,
结合二次函数的性质可知:
当或时,,则;
综合①②可得的取值范围是.
点睛:
对于恒成立问题,常用到以下两个结论:
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:
①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
10.【2018年天津卷文】已知函数f(x)=exlnx,为f(x)的导函数,则的值为__________.
【答案】e
点睛:
本题主要考查导数的运算法则,基本初等函数的导数公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为________.
【答案】–3
【解析】分析:
先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件,求出参数a,再根据单调性确定函数最值,即得结果.
详解:
由得,因为函数在上有且仅有一个零点且,所以,因此从而函数在上单调递增,在上单调递减,所以,
点睛:
对于函数零点个数问题,可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
12.【2018年江苏卷】函数满足,且在区间上,则的值为________.
【答案】
点睛:
(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
13.【2018年江苏卷】函数的定义域为________.
【答案】[2,+∞)
【解析】分析:
根据偶次根式下被开方数非负列不等式,解对数不等式得函数定义域.
详解:
要使函数有意义,则,解得,即函数的定义域为.
点睛:
求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题.
14.【2018年新课标I卷文】已知函数,若,则________.
【答案】-7
【解析】分析:
首先利用题的条件,将其代入解析式,得到,从而得到,从而求得,得到答案.
详解:
根据题意有,可得,所以,故答案是.
点睛:
该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小,来确定有关参数值的问题,在求解的过程中,需要将自变量代入函数解析式,求解即可得结果,属于基础题目.
15.【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数,,则________.
【答案】
点睛:
本题主要考查函数的性质,由函数解析式,计算发现和关键,属于中档题。
16.【2018年全国卷II文】曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】y=2x–2
【解析】分析:
求导,可得斜率,进而得出切线的点斜式方程.
详解:
由,得
则曲线在点处的切线的斜率为,
则所求切线方程为,即.
点睛:
求曲线在某点处的切线方程的步骤:
①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;②写出切线的点斜式方程;③化简整理.
17.【2018年天津卷文】设函数,其中,且是公差为的等差数列.
(I)若求曲线在点处的切线方程;
(II)若,求的极值;
(III)若曲线与直线有三个互异的公共点,求d的取值范围.
【答案】(Ⅰ)x+y=0;(Ⅱ)极大值为6;极小值为−6;(Ⅲ)
【解析】分析:
(Ⅰ)由题意可得f(x)=x3−x,=3x2−1,结合f(0)=0,=−1,可得切线方程为x+y=0.
详解:
(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x,故=3x2−1,因此f(0)=0,=−1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0),故所求切线方程为x+y=0.
(Ⅱ)由已知可得
f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2.
故=3x2−6t2x+3t22−9.令=0,解得x=t2−,或x=t2+.
当x变化时,,f(x)的变化如下表:
x
(−∞,t2−)
t2−
(t2−,t2+)
t2+
(t2+,+∞)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6;函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6.
(Ⅲ)曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x−t2,可得u3+(1−d2)u+6=0.
设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.
=3x3+(1−d2).
当d2≤1时,≥0,这时在R上单调递增,不合题意.
若即,也就是,此时,且,从而由的单调性,可知函数在区间内各有一个零点,符合题意.
所以,的取值范围是.
点睛:
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
18.【2018年浙江卷】已知函数f(x)=−lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:
f(x1)+f(x2)>8−8ln2;
(Ⅱ)若a≤3−4ln2,证明:
对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】分析:
(Ⅰ)先求导数,根据条件解得x1,x2关系,再化简f(x1)+f(x2)为,利用基本不等式求得取值范围,最后根据函数单调性证明不等式,(Ⅱ)一方面利用零点存在定理证明函数有零点,另一方面,利用导数证明函数在上单调递减,即至多一个零点.两者综合即得结论.
,所以
x
(0,16)
16
(16,+∞)
-
0
+
2-4ln2
所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,故,即.
(Ⅱ)令m=,n=,则f(m)–km–a>|a|+k–k–a≥0,f(n)–kn–a<≤<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得.设h(x)=,则h′(x)=,其中g(x)=.
由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3–4ln2,故–g(x)–1+a≤–g(16)–1+
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