北京市海淀区届高三上学期期末考试数学文试题+Word版含答案.docx
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北京市海淀区届高三上学期期末考试数学文试题+Word版含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学(文科)2018.1
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知i是虚数单位,若,则实数的值为
A.1B.0C.-1D.-2
(2)已知,若,则
A.B.C.D.
(3)执行如图所示的程序框图,输出的k值为
A.4
B.5
C.6
D.7
(4)下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次
数学测试中的选择题的成绩(单位:
分,每道题5分,共8道题):
已知两组数据的平均数相等,则的值分别为
A.0,0B.0,5C.5,0D.5,5
(5)已知直线与圆相交于A,B两点,且△AOB为正三角形,则实数m的值为
A.B.C.或D.或
(6)设,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,
(7)在△ABC中,AB=AC=1,D是AC的中点,则的取值范围是
A.B.C.D.
(8)已知正方体的棱长为2,点M,N分别是棱的中点,点P在平面内,点Q在线段上,若,则PQ长度的最小值为
A.B.C.D.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)已知双曲线的一条渐近线方程为y=x,则实数k的值为.
(10)若变量满足约束条件,则的最大值是.
(11)在△ABC中,,且△ABC的面积为,则c=.
(12)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中最大的值是.
(13)函数的最大值为;若函数的图像与直线有且只有一个公共点,则实数的取值范围是.
(14)某次高三英语听力考试中有5道选择题,每题1分,每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分:
1
2
3
4
5
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
则甲同学答错的题目的题号是,其正确的选项是.
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
已知等差数列的前项和,且,.
(Ⅰ)数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列前项和.
(16)(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)求函数的值域.
(17)(本小题14分)
据中国日报网报道:
2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。
为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
测试1
测试2
测试3
测试4
测试5
测试6
测试7
测试8
测试9
测试10
测试11
测试12
品牌A
3
6
9
10
4
1
12
17
4
6
6
14
品牌B
2
8
5
4
2
5
8
15
5
12
10
21
设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记.
(Ⅰ)求数据的众数;
(Ⅱ)从满足的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
(18)(本小题13分)
如图,三棱柱侧面⊥底面ABC,AC⊥AB,,
,E,F分别为棱的中点.
(Ⅰ)求证:
AC⊥AE;
(Ⅱ)求三棱柱的体积;
(Ⅲ)在直线上是否存在一点P,使得CP∥平面AEF?
若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.
(19)(本小题14分)
已知椭圆C:
,直线l:
x+y-2=0与椭圆C相交于两点P,Q,与x轴交于点B,点P,Q与点B不重合.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)当时,求椭圆C的方程;
(Ⅲ)过原点O作直线l的垂线,垂足为N.若,求的值.
(20)(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证:
“”是“函数有且只有一个零点”的充分必要条件.
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数学(文科)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
D
B
B
D
C
A
C
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.(有两空的小题第一空3分)
9.110.211.2或
12.13.1;14.5;A
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15(本题共13分)
解:
(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为
,解得,------------------------3分
由,则------------------------5分
因此,通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:
,则
------------------------7分
因为,------------------------8分
所以是首项为8,公比为的等比数列.------------------------9分
记的前项和为,则
------------------------10分
------------------------12分
---------------------13分
16(本题共13分)
解:
(Ⅰ),------------------------2分
解得:
,------------------------3分
所以,函数的定义域为------------------------4分
(Ⅱ)
------------------------6分
------------------------8分
------------------------9分
因为,所以,
所以,------------------------11分
所以,函数的值域为.------------------------13分
17.(本题共13分)
解:
(Ⅰ)
1
2
4
6
2
4
4
2
1
6
4
7
所以等于1有2次,=2有3次,=4有4次,=6有2次,=7有1次,
则数据的众数为4------------------------5分
(Ⅱ)设事件D=“品牌的测试结果恰有一次大于品牌的测试结果”.
满足的测试共有4次,其中品牌的测试结果大于品牌的测试结果有2次即测试3和测试7,不妨用M,N表示.品牌的测试结果小于品牌的测试结果有2次即测试6和测试11,不妨用P,Q表示.从中随机抽取两次,共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况,其中事件D发生,指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.
故.------------------------10分
(Ⅲ)本题为开放问题,答案不唯一,在此给出评价标准,并给出可能出现的答案情况,阅卷时按照标准酌情给分.
给出明确结论,1分,结合已有数据,能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由,2分.
标准1:
分别比较两种不同测试的结果,根据数据进行阐述
标准2:
会用测试结果的平均数进行阐述
------------------------13分
可能出现的作答情况举例,及对应评分标准如下:
结论一:
,品牌处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些,品牌处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。
理由如下:
从前6次测试(打开含有文字与表格的文件)来看,对于含有文字与表格的相同文件,品牌的测试有两次打开速度比品牌快(数值小),品牌有四次比品牌快,从后6次测试(打开含有文字与图片的文件)来看,对于含有文字与图片的相同文件,品牌有四次打开速度比品牌快(数值小).
结论二:
从测试结果看,这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论:
品牌打开文件速度快一些
理由如下:
品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为,品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为,所以品牌打开文件速度快一些.(且品牌方差较小)
其他答案情况,比照以上情况酌情给分.
18.(本题共14分)
(Ⅰ)证明:
三棱柱中,
侧面底面,,
又因为侧面底面,底面,
所以平面,-----------------------3分
又因为平面,
所以;------------------------4分
(Ⅱ)解:
连接,因为三棱柱中,所以.
因为,所以.又因为,且.
所以△是边长为2的正三角形.因为是棱的中点,所以,
又因为,,所以.
因为,底面,
所以底面.------------------------6分
所以三棱柱的体积为
;…………………………8分
(Ⅲ)在直线上存在点,使得平面.------------------------9分
证明如下:
连接并延长,与的延长线相交,设交点为.连接.
因为,所以,故----------------------10分
由于为棱的中点,所以,故有----------------------11分
又为棱的中点,
故为的中位线,所以.------------------------12分
又平面,平面,
所以平面.------------------------13分
故在直线上存在点,使得平面.
此时,.-------------------------14分
19.(本题共14分)
解:
(Ⅰ),,,------------------------2分
,故.------------------------4分
(Ⅱ)设,
,得到,
依题意,由得.
且有,------------------------6分
,------------------------7分
原点到直线的距离------------------------8分
所以------------------------9分
解得>1,
故椭圆方程为.------------------------10分
(Ⅲ)直线的垂线为,------------------------11分
由解得交点,------------------------12分
因为,又
所以=,故的值为1.------------------------14分
20.(本题共13分)
解:
(Ⅰ)依题意,-----------------------------1分
所以切线的斜率
又因为,-----------------------------
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