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(2017•新课标Ⅰ改编)已知f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(0<
a<
1),在0到正无穷寻找x0,使得f(x0)>
【例6】已知f(x)=lnx-ax+1(a>
0),寻找x0,使得f(x0)<
【例7】取一个x0使得f(x)=aex-lnx-ax3(a>
0).
【例8】判断函数f(x)=lnx-a(x-1)的零点个数.
【例9】
(2018•新课标II)已知函数f(x)=1x3-a(x2+x+1).
3
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:
f(x)只有一个零点.
【例10】
(2020•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
【例11】
(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:
当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
【例12】
(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
【例13】
(2016•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.
【例14】
(2021•安徽六校)已知函数f(x)=xex-1kx2-kx(k∈R).
2
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
【例15】
(2021•广东模拟)已知f(x)=1lnx-ax(a≥0).
(1)若函数f(x)在x=e处的切线平行于x轴,求f(x)的单调区间;
(2)设函数F(x)=
f(x),若F(x)在(0,e)上有两个零点,求实数a的取值范围;
【例16】
(2021•广州模拟)已知函数f(x)=lnx-(a+1)x,a∈R.
(2)设g(x)=f(x)+x+1,函数g(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
【例17】
(2021•浙江月考)已知a>
1,函数f(x)=ex-1x2-ax-1,其中e=2.71828⋯为自然对数的底数.
(1)证明:
函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点;
(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:
a.(参考数值:
ln4.6≈1.53)
【例18】
(2020•清华诊断)已知函数f(x)=(x+1)lnx
(1)求y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)已知实数k>
2时,求证:
函数y=f(x)的图像与直线
l:
y=k(x-1)有3个交点.
1.(2020•九师联考)已知函数
g(x)=ex-ax2-ax(a∈R),h(x)=ex-2x-lnx
(1)若
f(x)=h(x)-g(x)①讨论函数f(x)的单调性;
②若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的值.
(2)已知a>
0函数g(x)恰有两个不同的极值点x1,x2证明:
x1+x2<
ln(4a2)
2.(2020•湖北联考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=2ax3+2(1-a)x2-8x+8a+7.
(1)当a=0时,求y=f(x)+g(x)的单调区间;
⎨
(2)定义min{a,b}=⎧a,a≤b当a<
0时,记函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>
0),若函数h(x)至少有三个零
⎩b,a>
b
点,求实数a的取值范围.
3.(2016•新课标Ⅲ)设函数f(x)=lnx-x+1.
(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<
x-1<
x;
lnx
(3)设c>
1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>
cx.
4.(2015•北京)设函数f(x)=x
-
klnx,k>
(1)求f(x)的单调区间和极值;
若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e)上仅有一个零点.
0
5.(2020•全国模拟)已知函数f(x)=⎨4e2
⎩
⎪2x
x≥0
x<
0
,g(x)=ln(x+a).
(1)若f(x),g(x)有公共点M,且在点M处有相同的切线,求点M的坐标;
(2)判定函数h(x)=f(x)-g(x)在[0,+∞)上的零点个数.
6.(2020•扬州模拟)已知函数f(x)=a(x-1)(a∈R),g(x)=lnx.
(1)当a=l时,解不等式f(x)-g(x)≤0;
(2)设u(x)=xf(x)-g(x).
①当a<
0时,若存在m,n∈(0,+∞)(m≠n),使得u(m)+u(n)=0,证明:
mn<
1;
②当a>
0时,讨论u(x)的零点个数.
7.(2020•新乡二模)已知函数f(x)=ax-ex(a∈R).
(2)讨论f(x)在(0,+∞)上的零点个数.
8.(2020•河南模拟)已知函数f(x)=x2+(2-a)-alnx(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的图像在x=1处的切线方程;
(2)当a>
3时,求证:
f(x)在[1,+∞)上有唯一零点.
9.(2020•赣州模拟)已知函数f(x)=asinx-lnx(a∈R),其导函数为f'
(x).
(1)若不等式f'
(x)≥1-1在区间(0π上恒成立,求实数a的取值范围;
,]
x3
(2)当a=2时,证明:
f'
(x)在区间(0
π上有且只有两个零点.
,)2
10.(2020•银川模拟)已知函数f(x)=ax2-x-lnx,其中a∈R.
(1)若函数f(x)在(0,1)内单调递减,求实数a的取值范围;
(2)试讨论函数f(x)的零点个数.
11.(2020•绵阳模拟)已知函数f(x)=ax-(a+2)lnx-2+2,其中a∈R.
(1)当a=4时,求函数f(x)的极值;
(2)试讨论函数f(x)在(1,e)上的零点个数.
12.(2020•烟台一模)已知函数f(x)=1+lnx-a(a∈R).
(1)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围,并证明:
对任意的n∈N*,
都有1+1+1+⋯+1>
ln(n+1);
23n
(2)设g(x)=(x-1)2ex讨论方程f(x)=g(x)实数根的个数.
13.(2020•长春二模)已知函数f(x)=1x3+x2+mx+m.
(1)若x1为f(x)的极值点,且f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求2x1+x2的值;
(2)求证:
当m>
0时,f(x)有唯一的零点.
14.(2020•吴兴模拟)已知f(x)=x-1(lnx)2-klnx-1(k∈R).
22
(1)当k=0时,求证函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)当k>
1时,讨论函数f(x)的零点的个数.
15.(2020•全国模拟)已知函数f(x)=-x+lnx,f(x)的最大值为a.
(1)求a的值;
(2)试推断方程|2x(x+alnx)|=2lnx+x是否有实数解?
若有实数解,请求出它的解集.
16.(2020•衡阳一模)若方程
f(x)=x有实数根x0,则称x0为函数
f(x)的一个不动点.已知函数
f(x)=ex-lnx+(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)a∈R.
(1)当a≥0时f(x)是否存在不动点?
并证明你的结论;
(2)若a=-e,求证f(x)有唯一不动点.
17.(2020•密云一模)已知函数f(x)=ex(ax+1),a∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点M(0,f(0)),处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)判断函数f(x)的零点个数.
18.(2020•河北模拟)已知函数f(x)=lnx-aex+1(a∈R).
(1)当a=1时,讨论f(x)极值点的个数;
(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.
19.(2020•榆林模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+a,其中a>
(1)若f(x)≤0,求a的值;
20.(2020•西城一模)设函数f(x)=alnx+x2-(a+2)x,其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在(2,f
(2))处切线的倾斜角为π,求a的值;
4
(2)已知导函数f'
(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:
当时,f(x)>
-e2.
21.(2020•顺庆月考)已知函数f(x)=lnx+1a(x-1)2
(1)当a=-1时,求f(x)的单调增区间;
(2)若a>
4,且f(x)在(0,1)上有唯一的零点x0,求证:
e-2<
e-1
22.(2020•天山月考)已知函数f(x)=(ex-e)ex+ax2,a∈R.
23.(2020•麒麟月考)函数f(x)=x2-ax-a2lnx.
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点T(1,f
(1))处的切线的方程;
(2)若函数f(x)有零点,求a的取值范围.
24.(2020•临汾模拟)已知函数f(x)=ax4-1x2(a>
0),x∈(0,+∞).
(1)若函数y=f'
(x)在区间A上单调递减,试探究函数y=f(x),x>
x0在区间A上的单调性;
方程f(x)=f'
(x)在(0,+∞)上有且仅有两解.
(2020•佛山二模)已知函数f(x)=
(1)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
sinx(x≥a).
(2a<
-1
f(x)
(0π
xf(x)>
1
-x
)若,证明:
在,)有唯一极值点0,且
π-2x0
(2020•佛山二模)已知函数f(x)=αx3+x,其中a∈R.
(1)当a≠0时,求证:
过原点O且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有一条;
(2)当x∈[0
π时,不等式f(x)≤tanx恒成立,求实数a的取值范围.
【例3】
(2020•深圳调研)已知函数f(x)=2cos2x+ax2.
(1)当a=1时,求函数f(x)的导函数f'
(x)在[-ππ上的零点个数;
(2)若关于x的不等式2cos(2sinx)+a2x2≤af(x)在(-∞,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
【例4】
(2020•深圳调研)已知函数f(x)=cosx+ax2-a.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(2)当a≥1时,求证:
对任意的x∈[0,2],f(x)≤0
(2020•开福月考)已知函数f(x)=eaxsinx.
(1)若f(x)在[0
π上单调递增,求实数a的取值花围;
,]4
(2)设a≥1,若∀x∈[0
π,恒有f(x)≤bx成立,求b-e2a的最小值.
,]2
【例6】
(2019•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f'
(x)为f(x)的导数.
(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
【例7】
(2019•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f'
(x)为f(x)的导数.证明:
(1)f'
(x)在区间(-1
π存在唯一极大值点;
(2)f(x)有且仅有2个零点.
【例8】
(2013•辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e
-2x
,g(x)=ax+x
+1+2xcosx,当x∈[0,1]时,
(1)求证:
1-x≤f(x)≤
1;
1+x
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
(2008•全国卷Ⅱ)设函数f(x)=
(1)求f(x)的单调区间;
sinx.
2+cosx
(2)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
(2006•湖南)已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:
0<
a1<
1,an+1=f(an),n=1,2,3...证明:
(1)0<
an+1<
an<
(2)a
13.
n+1<
6an
(2020•滨州期末)已知函数f(x)=ex(1+mlnx),其中m>
0,f'
(x)为f(x)的导函数.设h(x)=
且h(x)≥5恒成立.
(1)求m的取值范围;
(2)设函数f(x)的零点为x0,函数f'
(x)的极小值点为x1,求证:
x0>
x1.
(2020•茂名一模)设函数g(x)=lnx+aex,h(x)=axex,0<
1,
e
f'
(x),
(1)求g(x)在x=1处的切线的一般式方程;
(2)请判断g(x)与h(x)的图像有几个交点?
(3)设x0为函数g(x)-h(x)的极值点,x1为g(x)与h(x)的图像一个交点的横坐标,且x1>
x0,证明:
3x0-x1>
2.
(2019•湖北期末)已知函数f(x)=alnx-(x-1)ex,其中a为非零常数.
(1)讨论f(x)的极值点个数,并说明理由;
(2)若a>
e,(i)证明:
f(x)在区间(1,+∞)内有且仅有1个零点;
(ii)设x0为f(x)的极值点,x1为f(x)
的零点且x1>
1,求证:
x0+2lnx0>
(2020•永州二模)已知函数f(x)=e1-x(x2+x-1)+1+x,g(x)=(2-x)ex-1-(3-x)ln(3-x).证明:
(1)存在唯一x0∈(0,1),使f(x0)=0;
(2)存在唯一x1∈(1,2),使g(x1)=0,且对
(1)中的x0,有x0+x1<
(2014•辽宁)函数f(x)=(cosx-x)(π+2x)-8(sinx+1),g(x)=3(x-π)cosx-4(1+sinx)ln(3-2x)
3π
证明:
(1)存在唯一x∈(0π,使f(x)=0;
0,)0
(2)存在唯一x∈(π,π),使g(x)=0,且对(Ⅰ)中的x,有x
+x<
π.
121
001
(2020•衡水月考)已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x,若x1是函数f(x)的零点,x2是函数g(x)
的零点.
(1)比较x1与x2的大小;
(2)证明:
f(x2)+g(x1)<
0.
1.(2020•武汉模拟)
(1)证明函数y=ex-2sinx-2xcosx在区间(-π,-π
上单调递增;
(2)证明函数f(x)=e
-2sinx在(-π,0)上有且仅有一个极大值点x0,且0<
f(x0)<
2.(2020•淮北一模)已知函数f(x)=sinx-aln(x+1),a∈R,f'
(x)是f(x)的导函数.
(1)若a=2,求f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若f(x)在ππ上可单调递增,求a的取值范围;
[,]
42
(3)求证:
当0<
(1+π2时f'
(x)在区间(-1π内存在唯一极大值点.
),)
3.(2020•开封一模)已知函数f(x)=a
sinx,a∈R,e为自然对数的底数.
(1)当a=1时,证明:
∀x∈(-∞,0],f(x)≥1;
(2)若函数f(x)在(-π,0)上存在极值点,求实数a的取值范围.
4.(2020•开封一模)已知函数f(x)=a
+sinx,a∈R,e为自然对数的底数.
5.(2019•荔湾月考)已知函数f(x)=sinx,g(x)=x⋅cosx-sinx.
(1)判断函数g(x)在区间(0,3π)上零点的个数;
(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上的极值点从小到大分别为x1,x2,x3,x4,xn,证明:
(i)f(x1)+f(x2)<
0;
(ii)对一切n∈N*,f(x1)+f(x2)+f(x3)++f(xn)<
0成立.
6.(2019•沙坪坝月考)已知函数f(x)=ex(1+alnx),设f'
(x)为f(x)的导函数.
(1)设g(x)=e-xf(x)+x2-x在区间[1,2]上单调递增,求a
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