高中数学选修21 第二章 圆锥曲线B卷Word格式文档下载.docx
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D.
【考点】椭圆的定义,椭圆的方程
【解析】=×
8b=12,∴b=3,又∵c=4,∴a2=b2+c2=25,
∴椭圆的标准方程为.
4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.-9<m<25
B.8<m<25
C.16<m<25
D.m>8
【考点】椭圆的方程
【解析】依题意有解得8<m<25,即实数m的取值范围是8<m<25,
故选B.
5.椭圆与双曲线有相同的焦点,则a的值是( )
B.1或-2
C.1或
D.1
【答案】D
【考点】双曲线的方程
【解析】由于a>0,0<a2<4,且4-a2=a+2,所以可解得a=1,故选D.
6.设点A是抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),点M是线段AB中点.若|AB|=3,则点M到直线x=-1的距离为( )
A.5
C.2
【考点】抛物线的定义,抛物线的方程,抛物线的性质
【解析】如下图,过A、M、B分别作l:
x=-1的垂线,垂足分别为P,N,Q,则MN=(AP+BQ)=×
(3+2)=.故选D.
7.抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是( )
B.(1,1)
D.(2,4)
【考点】抛物线的方程
【解析】设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,则P到直线2x-y=4的距离
d===.
∴当x=1时,d有最小值,此时,P(1,1).
8.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系为( )
A.相切B.相交C.相离D.不确定
【考点】直线与椭圆位置关系
【解析】直线y=kx-k+1恒过定点(1,1).又∵<
1,∴点(1,1)在椭圆内部.
∴直线y=kx-k+1与椭圆相交.故选B.
9.已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则实数m的取值范围是( )
C.∪
D.∪
【考点】椭圆的性质
【解析】椭圆标准方程为.
当m>
1时,e2=1-∈,解得m>
;
当0<
m<
1时,e2==1-m∈,解得0<
,故实数m的取值范围是∪.
10.已知双曲线方程为过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l的条数为( )
A.4
B.3
【考点】直线与双曲线的位置关系
【解析】数形结合知,过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切,有两条直线与渐近线平行,这三条直线与双曲线只有一个公共点.
11.已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2
【答案】A
【解析】直线l2:
x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:
4x-3y+6=0的距离,即dmin==2,故选择A.
12.已知椭圆(a>
b>
0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,若,则椭圆的离心率e为( )
【解析】设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0),则,,依题意有.又因为点P,M,N在椭圆上,所以,,两式相减,得,即,所以,即,解得.
13.椭圆的焦距是2,则m的值是( )
B.3或8
C.3或5
D.20
【考点】椭圆的方程,椭圆的性质
【解析】2c=2,c=1,故有m-4=12或4-m=12,∴m=5或m=3且同时都大于0,故答案为C.
14.直线y=x+1被椭圆所截得的弦的中点坐标是( )
【解析】把y=x+1代入椭圆方程,整理得3x2+4x-2=0,
所以弦的中点坐标(x0,y0)满足x0==-,
y0=x0+1=-+1=.
15.等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,=,则的实轴长为()
C.4
D.8
【解析】由题设知抛物线的准线为:
,设等轴双曲线方程为:
,将代入等轴双曲线方程解得,∵=,∴,解得a=2,
∴的实轴长为4,故选C.
16.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()
A.3
B.2
【考点】定点、定值与探索问题
【解析】椭圆的长轴为2a,双曲线的长轴为,由M,O,N将椭圆长轴四等分,则,即,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为c,则双曲线的离心率为,,.故选B.
二、解答题(共6题;
共52分)
17.已知F1,F2为椭圆(0<
b<
10)的左、右焦点,P是椭圆上一点.
(1).|PF1|·
|PF2|的最大值()
A.10
B.40
C.100
D.400
【考点】椭圆的定义
【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=20,则|PF1|·
|PF2|≤=100,当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立,故(|PF1|·
|PF2|)max=100.
(2).若∠F1PF2=60°
且△F1PF2的面积为,则b的值为()
B.8
C.16
【解析】∵=|PF1|·
|PF2|sin60°
=,
∴|PF1|·
|PF2|=. ①
又
②
由①②得c=6,则b==8.
18.已知双曲线的两焦点为F1、F2.
(1).若点M在双曲线上,且则M点到x轴的距离()
C.3
D.2
【考点】双曲线的定义
【解析】不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,
则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线定义知,m-n=2a=8,①
又m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得m·
n=8,∴mn=4=|F1F2|·
h,∴h=.
(2).若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(,2),则双曲线C的方程()
【解析】设所求双曲线C的方程为=1(-4<λ<16),由于双曲线C过点(,2),
所以,解得λ=4或λ=-14(舍去).
∴所求双曲线C的方程为
19.如下图,已知椭圆(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1).若∠F1AB=90°
,则椭圆的离心率()
【解析】由∠F1AB=90°
及椭圆的对称性知b=c,则e===.
(2).若椭圆的焦距为2,且=2,则椭圆的方程()
【解析】由已知a2-b2=1,设B(x,y),A(0,b),则=(1,-b),=(x-1,y),由=2,即(1,-b)=2(x-1,y),解得x=,y=-,则,得a2=3,因此b2=2,方程为.
20.如下图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
(1).则该抛物线的方程()
A.y2=x
B.y2=4x
C.y2=8x
D.y2=16x
【解析】由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>
0).
∵点P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×
1,解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x.
(2).当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,则y1+y2的值为()
A.-2
B.-4
C.-8
【解析】设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则,,
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴
由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
∴,∴y1+2=-(y2+2).
∴y1+y2=-4.
21.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.
(1).若|AF|=4,点A的坐标()
A.(3,2)
B.(3,-2)
C.(3,2)或(3,-2)
D.(2,2)或(2,-2)
【考点】抛物线的定义,抛物线的方程
【解析】由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由抛物线的定义可知,从而x1=4-1=3.
代入y2=4x,解得y1=±
2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3,-2).
(2).线段AB的长的最小值()
B.4
C.6
【考点】抛物线的定义,抛物线的方程,抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系
【解析】当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y=k(x-1).
与抛物线方程联立,得消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∵直线与抛物线相交于A、B两点,则k≠0,并设其两根为x1,x2,
∴x1+x2=2+.
由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+>
4.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,-2),
此时|AB|=4,
∴|AB|≥4,即线段AB的长的最小值为4.
22.椭圆C:
(a>
0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1).椭圆C的方程()
C.+y2=1
【解析】由已知得e==,+=1,又c2=a2-b2,
所以a2=4,b2=1.
故椭圆C的方程为:
+y2=1.
(2).点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),则m的取值范围()
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-3,3)
【解析】方法一 如下图,由题意知
=即==,整理得:
m=(|PF1|-2).
又a-c<
|PF1|<
a+c,即2-<
2+.∴-<
.
故m的取值范围为m∈.
方法二 由题意知:
=,即=.
设其中≠4,将向量坐标化得:
m(4-16)=3-12x0.
所以m=x0,而x0∈(-2,2),
所以m∈.
(3).在
(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,若k≠0,则+的值为()
【考点】椭圆的方程,直线与椭圆位置关系
【解析】设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).
联立
整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(-2kx0y0+k2-1)=0.
所以Δ=64(ky0-k2x0)2-16(1+4k2)(-2kx0y0+k2-1)=0.
即(4-)k2+2x0y0k+1-=0.
又+=1,所以16k2+8x0y0k+=0.
故k=-,又+=+=.
所以==·
=-8.
所以为定值,这个定值为-8.
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