初二奥数之整式的乘除.docx
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初二奥数之整式的乘除
专题01整式的乘除
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础,有以下5个公式:
,,,,,.
学习指数运算律应注意:
1.运算律成立的条件;
2.运算律中字母的意义:
既可以表示一个数,也可以表示一个单项式或者多项式;
3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,方法与多位数除以多位数的演算方法相似,基本步骤是:
1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位;
2.确定商式,竖式演算式,同类项上下对齐;
3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止.
例题与求解
【例1】
(1)若为不等式的解,则的最小正整数的值为.
(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)
(2)已知,那么.(“华杯赛”试题)
(3)把展开后得,则.(“祖冲之杯”邀请赛试题)
(4)若则
.(创新杯训练试题)
解题思路:
对于
(1),从幂的乘方逆用入手;对于
(2),目前无法求值,可考虑高次多项式用低次多项式表示;对于(3),它是一个恒等式,即在允许取值范围内取任何一个值代入计算,故可考虑赋值法;对于(4),可考虑比较系数法.
【例2】已知,,则等于()
A.2B.1C.D.(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:
为指数,我们无法求出的值,而,所以只需求出的值或它们的关系,于是自然想到指数运算律.
【例3】设都是正整数,并且,求的值.(江苏省竞赛试题)
解题思路:
设,这样可用的式子表示,可用的式子表示,通过减少字母个数降低问题的难度.
【例4】已知多项式,求的值.
解题思路:
等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应系数对应相等,从而可考虑用比较系数法.
【例5】是否存在常数使得能被整除?
如果存在,求出的值,否则请说明理由.
解题思路:
由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数),根据“被除式=除式×商式”,运用待定系数法求出的值,所谓是否存在,其实就是关于待定系数的方程组是否有解.
【例6】已知多项式能被整除,求的值.(北京市竞赛试题)
解题思路:
本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用.本题关键是能够通过分析得出当和时,原多项式的值均为0,从而求出的值.当然本题也有其他解法.
能力训练
A级
1.
(1).(福州市中考试题)
(2)若,则.(广东省竞赛试题)
2.若,则.
3.满足的的最小正整数为.(武汉市选拔赛试题)
4.都是正数,且,则中,最大的一个是.
(“英才杯”竞赛试题)
5.探索规律:
,个位数是3;,个位数是9;,个位数是7;,个位数是1;,个位数是3;,个位数是9;…那么的个位数字是,的个位数字是.(长沙市中考试题)
6.已知,则的大小关系是()
A.B.C.D.
7.已知,那么从小到大的顺序是()
A.B.C.D.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
8.若,其中为整数,则与的数量关系为()
A.B.C.D.
(江苏省竞赛试题)
9.已知则的关系是()
A.B.C.D.
(河北省竞赛试题)
10.化简得()
A.B.C.D.
11.已知,
试求的值.
12.已知.试确定的值.
13.已知除以,其余数较被除所得的余数少2,求的值.
(香港中学竞赛试题)
B级
1.已知则=.
2.
(1)计算:
=.(第16届“希望杯”邀请竞赛试题)
(2)如果,那么.
(青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题)
3.
(1)与的大小关系是(填“>”“<”“=”).
(2)与的大小关系是:
(填“>”“<”“=”).
4.如果则=.(“希望杯”邀请赛试题)
5.已知,则.
(“五羊杯”竞赛试题)
6.已知均为不等于1的正数,且则的值为()
A.3B.2C.1D.
(“CASIO杯”武汉市竞赛试题)
7.若,则的值是()
A.1B.0C.—1D.2
8.如果有两个因式和,则()
A.7B.8C.15D.21
(奥赛培训试题)
9.已知均为正数,又,,则与的大小关系是()
A.B.C.D.关系不确定
10.满足的整数有()个
A.1B.2C.3D.4
11.设满足求的值.
12.若为整数,且,,求的值.
(美国犹他州竞赛试题)
13.已知为有理数,且多项式能够被整除.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)若为整数,且.试比较的大小.
(四川省竞赛试题)
专题01整式的乘除
例1
(1)(n2)100>(63)100,n2>216,n的最小值为15.
(2)原式=x2(x2+x)+x(x2+x)-2(x2+x)+2005=x2+x-2+2005=2004
(3)令x=1时,a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=1,①
令x=-1时,a12–a11+al0-…+n2-al+a0=729②
由①+②得:
2(a12+al0+a8+…+a2+a0)=730.
∴a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=365.
(4)所有式子的值为x3项的系数,故其值为7.
例2B提示:
25xy=2000y,①
80xy=2000x,②
①×②,得:
(25×80)xy=2000x+y,得:
x+y=xy.
例3设a=m4,b=m5,c=n2,d=n3,由c-a=19得,n2-m4=19,即(n+m2)(n-m2)=19,因19是质数,n+m2,n-m2是自然数,且n+m2>n-m2,得,解得n=10,m=3,所以d-b=103-35=757
例4-提示:
由题意知:
2x2+3xy-2y2-x+8y-6=2x2+3xy-2y2+(2m+n)x+(2n-m)y+mn.
∴,解得,∴=-
倒5提示:
假设存在满足题设条件的p,q值,设(x4+px2+q)=(x2+2x+5)(x2+mx+n),即
x4+px2+q=x4+(m+2)x3+(5+n+2m)x2+(2n+5m)x+5n,得,解得,
故存在常数p,q且p=6,q=25,使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除.
例6解法1∵x2+x-2=(x+2)(x-1),
∴2x4-3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x-1)整除,设商是A.
则2x4-3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x-l),
则x=-2和x=1时,右边都等于0,所以左边也等于0.
当x=-2时,2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0,①
当x=1时,2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0.②
①-②,得3a+36=0,∴a=-12,
∴b=-6-a=6.
∴==-2
解法2列竖式演算,根据整除的意义解
∵2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除,
∴,即,∴=-2
A级
1.
(1)-5
(2)532.83.74.65.796.A7.D提示:
a=(25)11,b-(34)11,c=(53)11,d=(62)118.A9.B10.C11.480012.a=4.b=4,c=1
13.提示:
令x3+kx2+3=(x+3)(x2+ax+6)+r1,x3+kx2+3=(x+1)(x2+cx+d)+r2,令x=-3,得r1=9k-24.令x=-1,得r2=k+2,由9k-24+2=k+2,得k=3.
B级
1.
2.
(1)提示:
原式=×=×=
(2)12
3.
(1)<1516<1615=264,3313>3213=265>264.
(2)>提示:
设32000=x.
4.45.512提示:
令x=±2.6.C提示:
由条件得a=c-3,b=c2,abc=c-3·c2·c=17.C8.D
9.C提示:
设a2+a3+…a1996=x,则M=(a1+x)(x+a1997)=a1x+x2+a1a1997+a1997x.
N=(a1+x+a1997)x=alx+x2+a1997x.M=N=a1a1997>0.
10.D
11.由ax2+by2=7,得(ax2+by2)(x+y)=7(x+y),
即ax3-ax2y+bxy2+by3=7(x+y),(ax3+by3)-xy(ax+by)-7(x+y).
∴16+3xy=7(x+y).①
由ax3+by3=16,得(ax3+by3)(x+y)=16(x+y),
即ax4+ax3y+bxy3+by4=16(x+y),(ax4+by4)+xy(a+b)=16(x+y).
∴42+7xy=16(x+y).②
由①②可得,x+y=-14,xy=-38.
由a+b=42,得(a+b)(x+y)=42×(-14),
(a+b)+xy(a+b)=-588,
+16×(-38)=-588.
故=20.
12.两边同乘以8得+++=165.
∵x>y>z>w且为整数,
∴x+3>y+3>z+3>w+3,且为整数.
∵165是奇数,∴w+3=0,∴w=-3.
∴++=164.
∴++=41,∴z+1=0,∴z=-1.
∴+=40.
两边都除以8得:
+=5.
∴y-2=0,∴y=2.∴=4.
∴x-2=2,∴x=4.
∴==1.
13.
(1)∵(x-1)(x+4)=+3x-4,
令x-1=0,得x=1;令x+4=0,得x=-4.
当x=1时,得1+a+b+c=0;①
当x=-4时,得-64+16a-4b+c=0.②
②-①,得15a-5b=65,即3a-b=13.③
①+③,得4a+c=12.
(2)③-①,得2a-2b-c=14.
(3)∵c≥a>1,4a+c=12,a,b,c为整数,
∴1<a≤,则a=2,c=4.
又a+b+c=-1,∴b=-7,.∴c>a>b.
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- 初二 整式 乘除