勾股定理的证明方法Word格式文档下载.docx
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2
?
a?
b∴AbcD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于.
∴
【证法3】
(赵爽证明)
b?
1
c2
222
2.∴a?
c.page1of9
以a、b为直角边(b>
a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角
1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAh≌RtΔAbe,∴∠hDA=∠eAb.
∵∠hAD+∠hAD=90o,∴∠eAb+∠hAD=90o,
∴AbcD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.∵eF=Fg=gh=he=b―a,∠heF=90o.
a∴eFgh是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.
12
∴2.
∴a?
c.【证法4】
(1876年美国总统garfield证明)
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面
1ab2积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、e、b三点在一条直线上.
∵RtΔeAD≌RtΔcbe,∴∠ADe=∠bec.
∵∠AeD+∠ADe=90o,
∴∠AeD+∠bec=90o.
∴∠Dec=180o―90o=90o.∴ΔDec是一个等腰直角三角形,
12c2它的面积等于.
又∵∠DAe=90o,∠ebc=90o,
∴AD∥bc.
∴AbcD是一个直角梯形,它的面积等于2.1
2?
1ab?
1c2
22.∴2
c.
邮箱:
@page2of9
【证法5】
(辛卜松证明)DD
设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形AbcD.把正方形AbcD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形AbcD的面积为
2ab;
把正方形AbcD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形AbcD的
面积为
2ab?
c,
【证法6】
(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、e、F在一条直线上.过c作Ac的延长线交DF于点p.
∵D、e、F在一条直线上,且RtΔgeF≌RtΔebD,∴∠egF=∠beD,
∵∠egF+∠geF=90°
,
∴∠beD+∠geF=90°
∴∠beg=180o―90o=90o.
又∵Ab=be=eg=gA=c,∴Abeg是一个边长为c的正方形∴∠Abc+∠cbe=90o.∵RtΔAbc≌RtΔebD,∴∠Abc=∠ebD.∴∠ebD+∠cbe=90o.
即∠cbD=90o.A
又∵∠bDe=90o,∠bcp=90o,
bc=bD=a.
∴bDpc是一个边长为a的正方形.同理,hpFg是一个边长为b的正方形.
@page3of9
2=2ab?
设多边形ghcbe的面积为s,则
s?
ab,
21
2,
【证法7】
(项明达证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>
a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使e、A、c三点在一条
直线上.
过点Q作Qp∥bc,交Ac于点p.过点b作bm⊥pQ,垂足为m;
再过点F作Fn⊥pQ,垂足为n.∵∠bcA=90o,Qp∥bc,∴∠mpc=90o,c∵bm⊥pQ,
∴∠bmp=90o,∴bcpm是一个矩形,即∠mbc=90∵∠Qbm+∠mbA=∠QbA=90o,
∠Abc+∠mbA=∠mbc=90o,∴∠Qbm=∠Abc,
又∵∠bmp=90o,∠bcA=90o,bQ=bA=c,∴RtΔbmQ≌RtΔbcA.
同理可证RtΔQnF≌RtΔAeF.从而将问题转化为【证法4】
(梅文鼎证明).【证法8】
(欧几里得证明)
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使h、c、b三点
在一条直线上,连结
bF、cD.过c作cL⊥De,交Ab于点m,交De于点
KL.∵AF=Ac,Ab=AD,∠FAb=∠gAD,∴ΔFAb≌ΔgAD,12
a
∵ΔFAb的面积等于2222
ΔgAD的面积等于矩形ADLm的面积的一半,
page4of9
∴矩形ADLm的面积=a.
同理可证,矩形mLeb的面积=b.
∵正方形ADeb的面积
=矩形ADLm的面积+矩形mLeb的面积222222
∴c?
b,即a?
c.【证法9】
(利用相似三角形性质证明)
如图,在RtΔAbc中,设直角边Ac、bc的长度分别为a、b,斜边Ab的长为c,过点c作cD⊥Ab,垂足是D.
在ΔADc和ΔAcb中,
∵∠ADc=∠Acb=90o,
∠cAD=∠bAc,∴ΔADc∽ΔAcb.
AD∶Ac=Ac∶Ab,
2Ac?
AD?
Ab即.
同理可证,ΔcDb∽ΔAcb,从而有bc?
bD?
Ab.
222222?
Ac?
bc?
Db?
Ab?
Ab∴,即a?
【证法10】
(杨作玫证明)
a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥Ac,AF交gT于F,AF交DT于R.过b作bp⊥AF,垂足为p.过D作De与cb的延长线垂直,垂足为e,De交AF于h.
∵∠bAD=90o,∠pAc=90o,∴∠DAh=∠bAc.
又∵∠DhA=90o,∠bcA=90o,AD=Ab=c,
∴RtΔDhA≌RtΔbcA.∴Dh=bc=a,Ah=Ac=b.
由作法可知,pbcA是一个矩形,
所以RtΔApb≌RtΔbcA.即pb=cA=b,Ap=a,从而ph=b―a.∵RtΔDgT≌RtΔbcA,RtΔDhA≌RtΔbcA.∴RtΔDgT≌RtΔDhA.
∴Dh=Dg=a,∠gDT=∠hDA.又∵∠DgT=90o,∠DhF=90o,
∠gDh=∠gDT+∠TDh=∠hDA+∠TDh=90o,∴DgFh是一个边长为a的正方形.
∴gF=Fh=a.TF⊥AF,TF=gT―gF=b―a.
@page5of9
篇二:
勾股定理的证明
,整理得a?
c?
等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、e、b三点在一条直线上,b、F、c三点在一条直线上,c、g、D三点在一条直线上.
∵∠Aeh+∠Ahe=90o,∴∠Aeh+∠beF=90o.∴∠heF=180o―90o=90o.∴四边形eFgh是一个边长为c的2
正方形.它的面积等于c.
2∴.∴a
c
22
.page1of9
三角形的面积等于2
.把这四个直角三
积等于2
.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、e、b三点在一条直线上.∵RtΔeAD≌RtΔcbe,
∴∠ADe=∠bec.
∵∠AeD+∠ADe=90o,∴∠AeD+∠bec=90o.
∴∠Dec=180o―90o=90o.e∴ΔDec是一个等腰直角三角形,
1c
它的面积等于2.
又∵∠DAe=90o,∠ebc=90o,∴AD∥bc.
∴AbcD是一个直角梯形,它的面积等于2
.
22∴2.
c.【证法5】
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、e、F在一条直线上.过c作Ac的延长线交DF于
点p.
又∵Ab=be=eg=gA=c,∴Abeg是一个边长为c的正方形∴∠Abc+∠cbe=90o.
∵RtΔAbc≌RtΔebD,∴∠Abc=∠ebD.∴∠ebD+∠cbe=90o.
即∠cbD=90o.bA
∴bDpc是一个边长为a的正方形.同理,hpFg是一个边长为b的正方形.设多边形ghcbe的面积为s,则
bc
12ab
b
再过点F作Fn⊥pQ,垂足为n.∵∠bcA=90o,Qp∥bc,∴∠mpc=90o,∵bm⊥pQ,∴∠bmp=90o,∴bcpm是一个矩形,即∠mbc=90∵∠Qbm+∠mbA=∠QbA=90o,
2
(梅文鼎证明).【证法7】
bF、cD.过c作cL⊥De,
交Ab于点m,交De于点
L.∵AF=Ac,Ab=AD,∠FAb=∠gAD,∴ΔFAb≌ΔgAD,1
∵ΔFAb的面积等于2ΔgAD的面积等于矩形ADLm的面积的一半,
∴矩形ADLm的面积=a2同理可证,矩形mLeb的面积=b.∵正方形ADeb的面积
c.【证法8】
AD∶Ac=Ac∶Ab,b2
即Ac?
∴Ac
Ab
,即a
【证法9】
@page4of9
所以RtΔApb≌RtΔbcA.即pb=T
cA=b,Ap=a,从而ph=b―a.∵RtΔDgT≌RtΔbcA,RtΔDhA≌RtΔbcA.eb∴RtΔDgT≌RtΔDhA.
∴TFpb是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底bp=b,高Fp=a+(b―a).用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为
s1?
s2?
s3?
s4?
s5
①
=
∵
s8?
s5?
s9
12ab?
s8
把②代入①,得
9
.②
=b?
s=b?
a.222
(李锐证明)
设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>
a),斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、e、g三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图).
∵∠Tbe=∠Abh=90o,∴∠Tbh=∠Abe.又∵∠bTh=∠beA=90o,
bT=be=b,page5of9
篇三:
勾股定理的十六种证明方法
做8个全等的直角三角形,
设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
ab222
22,整理得a?
以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角
1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、e、b三点
在一条直线上,b、F、c三点在一条直线上,c、g、D三点在一条直线上.
∵RtΔhAe≌RtΔebF,
∴∠Ahe=∠beF.
∴四边形eFgh是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c2.∵RtΔgDh≌RtΔhAe,∴∠hgD=∠ehA.∵∠hgD+∠ghD=90o,∴∠ehA+∠ghD=90o.又∵∠ghe=90o,
(赵爽证明)以a、b为直角边(b>
a),以c为斜
边作四个全等的直角三角形,则每个直角
ab2三角形的面积等于.把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAh≌RtΔAbe,
∴∠hDA=∠eAb.
∵∠hAD+∠hAD=90o,∴∠eAb+∠hAD=90o,2∴AbcD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c.∵eF=Fg=gh=he=b―a,∠heF=90o.
2∴.
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角
形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、e、b三点
在一条直线上.
∵RtΔeAD≌RtΔcbe,
∵∠AeD+∠ADe=90o,∴∠AeD+∠bec=90o.∴∠Dec=180o―90o=90o.∴ΔDec是一个等腰直角三角形,
∴AbcD是一个直角梯形,它的面积等于2.
∴∠beg=180o―90o=90o.又∵Ab=be=eg=gA=c,
∴Abeg是一个边长为c的正方形.∴∠Abc+∠cbe=90o.
∵RtΔAbc≌RtΔebD,
∴∠Abc=∠ebD.∴∠ebD+∠cbe=90o.即∠cbD=90o.又∵∠bDe=90o,∠bcp=90o,
aba2?
2,2
a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使e、A、c三点在一条直线上.过点Q作Qp∥bc,交Ac于点p.
过点b作bm⊥pQ,垂足为m;
再过点
F作Fn⊥pQ,垂足为n.∵∠bcA=90o,Qp∥bc,∴∠mpc=90o,∵bm⊥pQ,∴∠bmp=90o,∴bcpm是一个矩形,即∠mbc=90o.
∵∠Qbm+∠mbA=∠QbA=90o,
(梅文鼎证明).
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使h、c、b三点在一条直线上,连结bF、cD.过c作cL⊥De,
L.
K∵AF=Ac,Ab=AD,∠FAb=∠gAD,∴ΔFAb≌ΔgAD,12a∵ΔFAb的面积等于2,ΔgAD的面积等于矩形ADLm的面积的一半,
a∴矩形ADLm的面积=.同理可证,矩形mLeb的面积=b.
∵正方形ADeb的面积=矩形ADLm的面积+矩形mLeb的面积222222
【证法8】
在ΔADc和ΔAcb中,∵∠ADc=∠Acb=90o,∠cAD=∠bAc,∴ΔADc∽ΔAcb.
Ab.2
222222
∴Ac?
Ab,即a?
∵∠bAD=90o,∠pAc=90o,∴∠DAh=∠bAc.又∵∠DhA=90o,∠bcA=90o,AD=Ab=c,
∴RtΔDhA≌RtΔbcA.
∴Dh=bc=a,Ah=Ac=b.
由作法可知,pbcA是一个矩形,所以RtΔApb≌RtΔbcA.即pb=cA=b,Ap=a,从而ph=b―a.
∵RtΔDgT≌RtΔbcA,
RtΔDhA≌RtΔbcA.∴RtΔDgT≌RtΔDhA.
s5①
1ab22,=
s9,∴
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- 勾股定理 证明 方法