东北大学期末考核《离散数学X》期末考试备战高分题集Word文件下载.docx
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二、1.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可)。
(1).(P∧(P→Q))→Q
(2).P→(P∨Q)
(3).(P∧Q)→Q(4).(P∨Q)→P
解:
(1),
(2),(3)为永真式。
2.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限)。
证明(3).(P∧Q)→Q
设前件(P∧Q)为真,则得Q为真。
所以(P∧Q)→Q是永真式。
3.上面哪个不是永真式(找出一个即可),请说明它为什么不是永真式。
(4).(P∨Q)→P不是永真式。
因为如果前件P∨Q为真,后件P不一定为真。
所以(P∨Q)→P不是永真式。
三、用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
要求按照推理的格式书写推理过程。
x(B(x)C(x)),xA(x),x(A(x)C(x))xB(x)
⑴xA(x)P
⑵A(a)ES⑴
⑶x(A(x)C(x))P
⑷A(a)C(a)US⑶
⑸C(a)T⑵⑷I
⑹x(B(x)C(x))P
⑺B(a)C(a)US⑹
⑻B(a)T⑸⑺I
⑼xB((x)EG⑻
四、令全集E={1,2},A={1},P(A)表示集合A的幂集。
(注意:
要求有计算过程,不能直接写出计算结果!
)
1.指出P(E)和P(A)各有多少个元素。
即求|P(E)|和|P(A)|。
因为P(E)={Φ,{1},{2},{1,2}}所以P(E)有4个元素。
即|P(E)|=4。
P(A)={Φ,{1}}所以P(A)有2个元素。
即|P(A)|=2。
2.计算P(E)-P(A)
P(E)-P(A)={Φ,{1},{2},{1,2}-{Φ,{1}}
={{2},{1,2}}
3.计算~AE
因为~A=E-A={1,2}-{1}={2}
~AE={2}{1,2}=({2}{1,2})-({2}{1,2})={1,2}-{2}={1}
五、给定集合A={1,2,3},定义A上的关系如下:
R=A×
A(完全关系(全域关系))
S={<
1,2>
<
2,3>
3,1>
}
T={<
1,1>
2,1>
2,2>
3,3>
M={<
1,3>
1.写出关系S的矩阵;
再画出上述各个关系的有向图。
关系S的矩阵如下:
下面是几个关系的有向图:
2.判断各个关系性质。
用“√”表示“是”,用“×
”表示“否”,填下表:
自反的
反自反的
对称的
反对称的
传递的
R
S
M
√
×
3.上述四个关系中,哪些是等价关系?
哪些是偏序关系?
对等价关系,写出此等价关系的各个等价类。
T和R是等价关系。
M是偏序关系。
A/T={{1,2},{3}}A/R={{1,2,3}}
4.求复合关系SoT
SoT={<
3,2>
六、写出命题公式(Q→P)→Q的主合取范式。
(要求有解题过程)
方法1:
等价变换
(QP)Q
(Q∨P)∨Q(去)
(Q∧P)∨Q(摩根定律)
Q(吸收律)
(P∧P)∨Q(互补、同一律)
(P∨Q)∧(P∨Q)(分配律)
方法2:
真值表法
先列(QP)Q的真值表如下:
P
QP
(QP)Q
从真值表看出,该命题公式的主合取范式含有大项M0和M2,即(P∨Q)和
(P∨Q)。
于是此命题公式的主合取范式为:
(QP)Q(P∨Q)∧(P∨Q)
七、用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
xC(x),x(A(x)B(x)),x(B(x)C(x))xA(x)
⑴x(A(x)B(x))P
⑵A(a)B(a)ES⑴
⑶xC(x)P
⑷C(a)US⑶
⑸x(B(x)→C(x))P
⑹B(a)→C(a)US⑸
⑺B(a)T⑷⑹I
⑻A(a)T⑵⑺I
⑼xA(x))EG⑻
八、令集合A={1,{1}},B={1},P(A)表示A的幂集。
要求要有计算过程,不能直接写出计算结果!
(1)A×
P(B)
(2)A⊕B
(3)P(A)-P(B)
A={1,{1}},B={1},
⑴A×
P(B)={1,{1}}×
{Φ,{1}}
={<
1,Φ>
1,{1}>
{1},Φ>
{1},{1}>
⑵A⊕B=(AB)-(AB)
=({1,{1}}{1})-({1,{1}}{1})={1,{1}}-{1}={{1}}。
⑶P(A)-P(B)={Φ,{1},{{1}},{1,{1}}-{Φ,{1}}
={{{1}},{1,{1}}}
九、R是实数集合,给出R上的运算:
+、-、×
、max、min、|x-y|,分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y的绝对值运算。
1.判断各个运算性质。
+
-
max
min
|x-y|
有交换性
有结合性
有幂等性
有幺元
有零元
2.分别指出R对上面哪些运算是半群、独异点和群。
3.如果有群,请说明它为什么是群。
1.
2.构成半群的有:
<
R,+>
,<
R,×
>
R,max>
<
R,min>
.
构成独异点的有:
<
。
构成群的有:
3.<
是群的理由:
(1)+在实数集合内满足封闭性。
即
任何a,b∈R,有a+b∈R。
(2)+是可结合的。
(3)0是+运算的幺元。
任何a∈R,有0+a=a=a+0.
(4)任何实数a,都有逆元-a∈R,使得(-a)+a=0=a+(-a).
所以<
是群。
十、有三个小题
1.指出下面各个图中哪些是彼此同构的.
a、h、i同构;
b、d同构;
c、g同构;
e、f同构。
2.完全二叉树中,设边数为e,叶结点数为t,求证e=2(t-1)。
由完全m叉树公式(m-1)i=t-1这里m=2,得(2-1)i=t-1,
∴i=t-1,
∴T中总的结点数v为:
v=i+t=(t-1)+t=2t-1,
于是T的边数e:
e=v-1=2t-1-1=2t-2=2(t-1)
3.根据给定一组权值:
1,6,2,5,3,4,1,6,2画出一棵最优完全二叉树。
要求有画图的过程。
解权值排序并画图:
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