25简单的幂函数教案 秋学期高中数学北师大版必修一Word文件下载.docx
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3.这两个问题中的函数关系式与y=x,y=x-1,y=x2有什么共同特点.
【提示】 从形式上看,它们只是指数不同.
1.幂函数的定义
如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数称为幂函数.
2.简单的幂函数的图像和性质
函数y=x,y=x2,y=x3,y=x
,y=x-1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示.
从图中可以观察得到:
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义
域
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
单调
性
增函数
在(-∞,0]
上是减函数;
在[0,+∞)
上是增函数
增函
数
在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数
定点
函数图像均过点(1,1)
函数的奇偶性
画出函数y=x,y=x2,y=
的图像.
1.它们的图像具有怎样的对称性?
【提示】 y=x,y=
的图像关于原点对称,y=x2关于y轴对称.
2.在函数y=x2中,x取-1时和取1时的函数值相同吗?
在函数y=
中呢?
【提示】 在函数y=x2中相同,在y=
中互为相反数.
1.奇函数的定义
一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数.在奇函数f(x)中,f(x)和f(-x)的绝对值相等,符号相反,即f(-x)=-f(x).反之,满足f(-x)=-f(x)的函数y=f(x)一定是奇函数.
2.偶函数的定义
一般地,图像关于y轴对称,像这样的函数叫作偶函数.在偶函数f(x)中,f(x)和f(-x)的值相等,即f(x)=f(-x);
反之,满足f(x)=f(-x)的函数y=f(x)一定是偶函数.
3.奇偶性
当一个函数是奇函数或偶函数时,称该函数具有奇偶性.
(见学生用书第30页)
幂函数的概念
下列函数是幂函数的为( )
①y=
;
②y=2x2;
③y=x2+x;
④y=(x-2)3;
⑤y=1.
A.①⑤ B.② C.① D.①②④
【思路探究】 紧扣幂函数的概念,y=xα的形式是解题的关键.
【自主解答】 函数y=
可写成y=x-2的形式,是幂函数;
y=2x2的系数不是1,y=x2+x等式右边是两个幂和的形式,y=(x-2)3底数不是自变量x,y=1与y=x0(x≠0)不是同一函数,所以它们都不是幂函数.
【答案】 C
若一个函数是幂函数,则该函数一定是形如y=xα(α为常数)的形式,即函数解析式的右边是一个幂的形式,其中指数为常数,底数为自变量,系数为1,这是我们解决某些问题的一个隐性条件.
若函数y=(a2-3a-3)x2为幂函数,则a的值为________.
【解析】 根据幂函数的定义,若函数y=(a2-3a-3)·
x2为幂函数,则x2的系数必为1,即a2-3a-3=1,所以a2-3a-4=0,解得a=-1或a=4.
【答案】 -1或4
判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+2x;
(2)f(x)=x2-|x|+1;
(3)f(x)=
(4)f(x)=0.
【思路探究】 首先判断定义域是否关于原点对称,若关于原点对称,再看是否满足f(-x)=±
f(x)即可.
【自主解答】
(1)函数的定义域是R,
又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-(x3+2x)
=-f(x).
所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R,
且f(-x)=(-x)2-|-x|+1
=x2-|x|+1=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(3)由于x-1≠0,所以x≠1,即函数的定义域是{x|x≠1},不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(4)由于f(x)=0的定义域为R,且f(-x)=f(x)=-f(x),所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.
1.判断函数的奇偶性时,首先考虑函数的定义域,并判断其是否关于原点对称.
2.若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系.
(1)f(x)=x2,x∈(-1,2);
(2)f(x)=x3+x,x∈[0,1];
,x∈(-1,1).
【解】
(1)由于定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)因为定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)由于x∈(-1,1),且关于原点对称,所以f(x)=x,
且f(-x)=-x=-f(x),
因此,f(x)为奇函数.
函数奇偶性的应用
图2-5-1
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>
0时,f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)在图2-5-1中画出函数f(x)的图像.
【思路点拨】 根据题中条件,当x>
0时的解析式已知,需求x≤0时的解析式,故需借助奇函数的性质求解,根据对称性即可画出图像.
【自主解答】
(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0;
②当x<
0时,-x>
0,∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,
综上:
f(x)=
(2)图像如图:
1.奇、偶函数的图像有以下特征:
若f(x)为奇函数,则它的图像关于原点对称,反之也成立;
若f(x)为偶函数,则它的图像关于y轴对称,反之也成立.这个结论提供了结合图像处理函数奇偶性问题的依据,也是数形结合思想的体现.
2.已知函数f(x)在区间[a,b]上的表达式,求函数f(x)在区间[-b,-a]上的表达式的一般方法:
设-b≤x≤-a,则a≤-x≤b;
根据已知条件f(x)在区间[a,b]上的表达式可求得f(-x)的表达式;
然后根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(-x)之间的相互转化(若函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x);
若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)).特别值得一提的是:
设-b≤x≤-a,转化为a≤-x≤b是解决问题的关键.
(1)已知函数是定义在R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=-x+1,则f(x)的解析式为________.
(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f
(2)=0,则使得f(x)>
0的x的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】 设x<
0,则-x>
0.
∵当x≥0时,f(x)=-x+1,∴f(-x)=-(-x)+1=x+1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴当x<
0时,f(x)=x+1.∴f(x)的解析式为f(x)=
(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以它的图像关于y轴对称.又它在(-∞,0]上是减函数,所以可知该函数在(0,+∞)上为增函数.根据这些特征及f
(2)=0,可作出它的图像(如下图).
观察图像可得,使f(x)>
0成立的x的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
【答案】
(1)f(x)=
(2)D
(见学生用书第31页)
判断函数的奇偶性时忽视定义域致误
判断f(x)=(1-x)
的奇偶性.
【错解】 易知1-x>
0,
∴f(x)=
=
,
显然满足f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
【错因分析】 忽视了定义域对函数奇偶性的影响,函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称
【防范措施】 判断函数的奇偶性,要遵照定义域优先的原则,先分析定义域是否关于原点对称,再根据奇偶性的特点来下结论.
【正解】 由
≥0,得-1≤x<
1,
∴f(x)的定义域是[-1,1),其不关于原点对称,
故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
1.判断一个函数是否是幂函数应严格按其定义判断.
2.幂函数性质可以通过其图像研究,只需掌握α=1,2,3,
,-1这几种情况即可,其它的不做研究.
3.判断函数的奇偶性的方法:
(1)定义法;
(2)图像法:
若函数的图像关于原点对称,函数是奇函数;
若函数的图像关于y轴对称,函数是偶函数.
1.下列函数中是幂函数的是( )
①y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);
②y=x
+x2;
③y=x9;
④y=(x-1)3
A.①③④ B.③ C.③④ D.全不是
【解析】 由幂函数的定义知③为幂函数.
【答案】 B
2.下列函数为奇函数的是( )
A.y=|x|B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+4
【解析】 对A、D,可验证为偶函数,B为非奇非偶函数.
3.(2013·
宁阳高一检测)f(x)=ax2+1在[3-a,5]上是偶函数,则a=________.
【解析】 ∵f(x)是偶函数,∴3-a=-5,a=8.
【答案】 8
4.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<
0时,f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式.
【解】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
当x>
0时,-x<
∴f(x)=-f(-x)=x(1+x).
当x=0时,f(-0)=-f(0),
即f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
∴函数f(x)的解析式为
(见学生用书第99页)
一、选择题
1.下列函数在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y=x
B.y=x2 C.y=x3 D.y=x-2
【解析】 对于函数y=x
和y=x-2的单调性我们不太熟悉,但对于y=x2的图像和性质我们记忆深刻,知道y=x2在(-∞,0)上为减函数.故选B.
2.(2013·
郑州高一检测)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f
(1)=( )
A.-3B.-1C.1D.3
【解析】 ∵f(x)是奇函数,
∴f
(1)=-f(-1)=-3.
【答案】 A
3.已知偶函数y=f(x)在[0,4]上是增函数,则f(-3)与f(π)的大小关系是( )
A.f(-3)>
f(π)B.f(-3)<
f(π)
C.f(-3)≥f(π)D.f(-3)≤f(π)
【解析】 ∵函数为偶函数,∴f(-3)=f(3).
又∵f(x)在[0,4]上为增函数,
∴f(3)<
f(π)即f(-3)<
f(π).
4.若函数f(x)=
为奇函数,则a=( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】 由已知得f(x)=
定义域关于原点对称,其定义域为:
{x|x≠-
且x≠a},知a=
,故选A.
图2-5-2
5.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且f(-2)=0,如图2-5-2所示,则使得f(x)<
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
【解析】 由图可得在(-∞,0)上,f(x)<
0的解集为(-2,0].因为f(x)为偶函数,所以x的取值范围为(-2,2).
【答案】 D
二、填空题
6.幂函数f(x)的图像过点(2,4),则f(x)=________.
【解析】 将点(2,4)代入y=xα得,4=2α,即22=2α,
∴α=2.
因此,f(x)=x2.
【答案】 f(x)=x2
7.(2012·
重庆高考)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.
【解析】 由f(x)=(x+a)(x-4)得f(x)=x2+(a-4)x-4a,
若f(x)为偶函数,则a-4=0,即a=4.
【答案】 4
8.已知定义在R上的偶函数f(x),当x>
0时,f(x)=-x3+1,则f(-2)·
f(3)的值为________.
【解析】 ∵x>
0,f(x)=-x3+1,
∴f(3)=-33+1=-26,
f(-2)=f
(2)=-23+1=-7,
∴f(-2)·
f(3)=(-26)×
(-7)=182.
【答案】 182
三、解答题
9.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x
(1-4t-t2)(t∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,求函数的解析式.
【解】 ∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1,
解得t=-1或t=0或t=1.
∴当t=0时,f(x)=x
是非奇非偶函数,不满足条件;
当t=1时,f(x)=x-2是偶函数,但在(0,+∞)上为减函数,不满足条件;
当t=-1时,f(x)=x2,满足题设.
综上所述,实数t的值为-1,所求解析式为f(x)=x2.
10.已知f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,试证明f(x)在(-∞,0)上也是增函数.
【证明】 设x1<
x2<
0,则-x1>
-x2>
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>
f(-x2),
又∵f(x)是奇函数,
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).
∴-f(x1)>
-f(x2),∴f(x1)<
f(x2),
所以函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数.
11.(2013·
黄石高一检测)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>
0时,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)的解析式.
(2)画出f(x)的图像,并指出f(x)的单调区间.
【解】
(1)设x<
0,所以
f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2,
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=x2+2x-2,
又f(0)=0,∴f(x)=
(2)先画出y=f(x)(x>
0)的图像,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<
0)的图像,其图像如图所示.
由图可知,其增区间为[-1,0)和(0,1],
减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).
1
图中的曲线是四个幂函数在第一象限的图像,记曲线C1,C2,C3,C4对应幂函数的幂指数分别为a,b,c,d,则a,b,c,d的大小顺序正确的一组是( )
A.a>
b>
c>
d B.c>
d>
a>
b
C.a>
cD.c>
a
【思路探究】 利用幂函数在第一象限内的图像特征进行判断.
【自主解答】 因为在第一象限内,曲线C1,C2的函数值随x的增大而增大,所以a>
0,b>
0;
又因为C1的图像是下凸的,C2的图像是上凸的,所以a>
1,0<
b<
1.因为曲线C3,C4的函数值随x的增大而减小,所以c<
0,d<
又因为当指数为负时,过(1,1)点后,|a|越大,图像下落的越快,所以d<
c.故a,b,c,d的大小顺序为a>
d.
幂函数的图像和性质可类比五个常见幂函数的图像和性质记忆:
(1)当α<
0时,函数图像与坐标轴没有交点,类似于y=x-1的图像;
(2)当0<
α<
1时,函数图像向x轴弯曲,类似于y=x
的图像;
(3)当α>
1时,函数图像向y轴弯曲,类似于y=x3的图像,而且逆时针方向幂指数在增大.再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图像及性质.
已知幂函数y=(m2-m-1)xm2-2m-3,当x∈(0,+∞)时为减函数,则m的值为( )
A.m=2 B.m=-1
C.m=-1,或m=2D.m≠
【解析】 因为函数y=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,所以,根据幂函数的定义可得,m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.又因为当x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,所以,根据幂函数的性质可知,m2-2m-3<
0,把m=-1,2依次代入不等式,经检验m=-1不符合不等式,故只有m=2.此时幂函数解析式为y=x-3.
2
设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
【思路探究】 f(m)+f(m-1)>0→f(1-m)<f(m)→列不等式组→解得m的范围
【自主解答】 由f(m)+f(m-1)>0,
得f(m)>-f(m-1),即f(1-m)<f(m).
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数,
∴f(x)在[-2,2]上为减函数,
∴
即
解得-1≤m<
.
即m的取值范围是{m|-1≤m<
}.
1.解答本题要熟练掌握函数奇偶性和单调性的性质,奇函数在对称区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反.
2.解抽象函数的不等式,要充分利用条件“脱去f”转化为整式不等式来求解.
已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:
①f(x)是奇函数,②f(x)在[0,1)上单调递减,
③f(1-a)+f(2-a)<
0,求实数a的取值范围.
【解】 ∵f(x)是奇函数且在[0,1)上单调递减,
∴f(x)在(-1,1)上是减函数,
又∵f(x)是奇函数,∴-f(2-a)=f(a-2),
∴f(1-a)+f(2-a)<
0⇒f(1-a)<
f(a-2),
又∵f(x)在(-1,1)上是减函数,
解得1<
a<
∴实数a的取值范围是{a|1<
}.
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