浙江专用版高考数学大一轮复习第十章计数原理101分类加法计数原理与分步乘法计数原理文档格式.docx

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解析　由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数（可用重复数字）的个数为9×

10×

10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×

9×

8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.

2．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（　　）

A．14B．13C．12D．10

解析　当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对（0，－1），（0,0），（0,1），（0,2）均满足要求；

当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（－1,2），（1，－1），（1,0），（1,1），（2，－1），（2,0）．综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.

3．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24B．18C．12D．6

解析　分两类情况讨论：

第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×

2×

2＝12（个）奇数；

第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×

1＝6（个）奇数．根据分类加法计数原理，知共有12＋6＝18（个）奇数．

4．（教材改编）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．

答案　32

解析　每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，知总的报名方法共2×

2＝32（种）．

题型一　分类加法计数原理的应用

例1　高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；

高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；

高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人．

（1）从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？

（2）从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？

解　

（1）完成这件事有三类方法：

第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；

第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；

第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法．

根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法．

（2）完成这件事有三类方法：

第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；

第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；

第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．

根据分类加法计数原理，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法．

思维升华　分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；

其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．

　（2016·

全国丙卷）定义“规范01数列”{an}如下：

{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（　　）

A．18个B．16个C．14个D．12个

答案　C

解析　第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；

只有2个1相邻时，共A

个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；

三个1都不在一起时有C

个，共2＋8＋4＝14（个）．

题型二　分步乘法计数原理的应用

例2　

（1）（2016·

全国甲卷）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A．24B．18C．12D．9

（2）有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．

答案　

（1）B　

（2）120

解析　

（1）从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×

3＝18（种），故选B.

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×

5×

4＝120（种）．

引申探究

1．本例

（2）中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？

解　每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729（种）．

2．本例

（2）中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？

解　每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216（种）．

思维升华　

（1）利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：

完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

（2）分步必须满足两个条件：

一是步骤互相独立，互不干扰；

二是步与步确保连续，逐步完成．

（1）（教材改编）已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是（　　）

A．12B．8C．6D．4

（2）（2016·

石家庄模拟）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有________种．

答案　

（1）C　

（2）45　54

解析　

（1）分两步：

第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×

2＝6个，故选C.

（2）五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．

题型三　两个计数原理的综合应用

例3　

（1）如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．

（2）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．

答案　

（1）260　

（2）36

解析　

（1）区域A有5处涂色方法；

区域B有4种涂色方法；

区域C的涂色方法可分2类：

若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；

若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×

4×

4＋5×

3×

3＝260（种）涂色方法．

（2）第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×

12＝24（个）；

第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36（个）．

思维升华　利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

（1）弄清完成一件事是做什么．

（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类．

（3）弄清分步、分类的标准是什么．

（4）利用两个计数原理求解．

济南质检）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________．

答案　96

解析　按区域1与3是否同色分类：

（1）区域1与3同色：

先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5（还有3种颜色）有A

种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A

＝24（种）方法．

（2）区域1与3不同色：

先涂区域1与3有A

种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A

×

1×

3＝72（种）方法．

故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.

12．利用两个基本原理解决计数问题

典例　

（1）把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（　　）

A．24种B．4种C．43种D．34种

（2）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有________种．

错解展示

解析　

（1）因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，

所以共有3×

3＝34（种）投法．

（2）乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，

共有3×

4＝12（种）方法．

答案　

（1）D　

（2）12

现场纠错

解析　

（1）第1封信投到信箱中有4种投法；

第2封信投到信箱中也有4种投法；

第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．

（2）因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有4＋3＝7（种）．

答案　

（1）C　

（2）7

纠错心得　

（1）应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步．

（2）把握完成一件事情的标准，如典例

（1）没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误．

1．（2016·

镇海中学模拟）有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有（　　）

A．8种B．9种

C．10种D．11种

解析　设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9（种）不同的监考方法．

2．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有（　　）

A．4种B．5种C．6种D．9种

解析　记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；

有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法，故选B.

3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有（　　）

A．12种B．10种

C．9种D．8种

答案　A

解析　第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C

＝2（种）选派方法；

第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C

＝6（种）选派方法．

由分步乘法计数原理，不同的选派方案共有2×

6＝12（种）．

4．（2015·

四川）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（　　）

A．144个B．120个C．96个D．72个

解析　由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×

A

＝72（个）；

若万位是4，则有2×

＝48（个），故比40000大的偶数共有72＋48＝120（个）．故选B.

5．将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有（　　）

A．1种B．3种

C．6种D．9种

解析　因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×

1＝6（种）涂色方案．

6．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）

A．12种B．18种

C．24种D．36种

解析　先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A

种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有一种排法．因此共有A

·

2·

1＝12（种）不同的排列方法．

7．（2016·

大连模拟）将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种．

答案　9

解析　编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；

编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；

编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法．于是由分类加法计数原理，得共有3＋3＋3＝9（种）不同的填法．

8．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．

答案　13

解析　四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：

1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共3种可能．故不通的情况有24－3＝13（种）可能．

9．（2016·

日照模拟）从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为________．

答案　17

解析　当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A

＝20（个）对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，综上可知，共有20＋1－4＝17（个）不同的对数值．

10．（2016·

天津模拟）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：

11,22,33，…，99.3位回文数有90个：

101,111,121，…，191,202，…，999.则

（1）4位回文数有________个；

（2）2n＋1（n∈N*）位回文数有________个．

答案　

（1）90　

（2）9×

10n

解析　

（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×

10＝90（种）填法，即4位回文数有90个．

（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×

10n种填法．

11．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加．

（1）若只需一人参加，有多少种不同选法？

（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？

（3）若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？

解　

（1）只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17.

（2）分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14（种）选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×

14＝42.

（3）教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种．由分步乘法计数原理知总方法数为3×

6×

8＝144（种）．

12．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．

解　方法一　设想染色按S－A－B－C－D的顺序进行，对S，A，B染色，有5×

3＝60（种）染色方法．

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C），S不同色，有3种选择；

C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择．从而对C、D染色有1×

3＋2×

2＝7（种）染色方法．

由分步乘法计数原理，不同的染色方法种数为60×

7＝420.

方法二　根据所用颜色种数分类，可分三类．

第一类：

用3种颜色，此时A与C，B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点，共A

＝60（种）涂法；

第二类：

用4种颜色，此时A与C，B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A

＝240（种）；

第三类：

用5种颜色，涂法种数共A

＝120（种）．

综上可知，满足题意的染色方法种数为60＋240＋120＝420.

*13.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：

（1）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？

其中偶函数有多少个？

（2）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？

解　

（1）a的取值有5种情况，b的取值6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×

6＝180（个）不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，故有5×

6＝30（个）．

（2）y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×

6＝72（个）图象开口向上的二次函数．