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②平均速率:
质点在某段时间内的路程与时间的比值,是标量.其大小一般与平均速度的大小不等,只有在单向直线运动中,两者才大小相等.
7.加速度
(1)定义:
是描述速度变化快慢和变化方向的物理量,是矢量.它在数值上等于速度的改变跟发生这一改变所用时间的比值,即
,加速度的方向始终和速度变化的方向相同.
(2)速度与加速度:
加速度既不表示物体速度的大小,也不表示物体速度变化的大小,而是表示速度变化的快慢,所以加速度也叫速度的变化率.速度与加速度无直接的关系,速度大,加速度不一定大;
反之加速度大,速度也不一定大.速度和加速度,一个量增大、减小、为零,另一个量不一定增大、减小、为零.在直线运动中,若两种方向相同,则物体做加速运动;
若两者方向相反,则物体做减速运动.
二、匀速直线运动
1.定义:
物体沿直线运动,若在任意相等时间内物体的位移相等,这种直线运动叫匀速直线运动.
2.基本特点:
①速度恒定,即速度大小、方向不变.
②加速度等于零.
3.位移和时间的关系:
s=vt
例1.下面关于质点的一些说法,其中正确的有(B)
A.研究和观察日食时,可以把太阳看作质点
B.研究地球的公转时,可把地球看作质点
C.研究地球的自转时,可把地球看作质点
D.原子核很小,可把它看作质点
例2.下列所描述的运动中,可能的有(ACD)
A.速度变化大,加速度很小
B.速度变化方向为正,加速度方向为负
C.速度越来越大,而加速度越来越小
D.速度变化越来越大,而加速度越来越小
E.速度变化越来越快,而加速度越来越小
例3.质点做加速度不断减小的变加速直线运动时,则(AD)
A.速度继续增大,直到加速度为零时为止
B.速度不断减小,直到加速度为零时为止
C.位移不断减小,最后停止
D.位移随时间不断增大
例4.作变速直线运动的物体,在前一半时间内的平均速度为v1,后一半时间的平均速度为v2,则全部时间的平均速度为
.若物体前一半位移内的平均速度为vⅠ,后一半位移内的平均速度为v2,则全程的平均速度为
.
练习1.一列士兵队伍正以某一速度v0做匀速直线运动,因有紧急情况通知排头兵,一通讯员以不变的速率跑步从队尾赶到排头,又从排头返回队尾,在此过程中通讯员的平均速度
,则(A)
A.
B.
C.
D.无法确定
分析与解:
设队伍的长度为l通讯员相对于地面的速度为v,以行进的队伍为参照物,则通讯员从队尾赶到排头,又从排头返回队尾所用的时间为:
以地面为参照物,通讯员从队尾赶到排头,又从排头返回队尾相对于地面的位移为:
则此过程中通讯员的平均速度为:
,答案A正确.(以队尾为参考系更简捷)
练习2.百货大楼一、二楼内有一部正以恒定速度向上运动的自动扶梯.某人相对扶梯以速度v沿梯从一楼向上跑至二楼,数得梯子有N1级;
到二楼后他又反过来相对扶梯以速度v沿梯向下跑至一楼,数得梯子有N2级,求自动扶梯的梯子实际为多少级?
分析:
人在运动的扶梯上跑动时同时参与了两个分运动:
一个是人相对扶梯的运动,另一个是扶梯相对地面的运动,人相对地面的运动是这两个分运动的合运动.人在扶梯上数得的梯子数由人相对扶梯运动的位移大小决定,上跑和下跑时人相对扶梯运动的位移大小不等,所以数得的梯子数不同,但上跑和下跑时人相对地面运动的位移大小相等,都等于扶梯的长度.人沿梯上跑时相对地面的位移方向向上,大小等于人相对扶梯的位移与扶梯相对地面位移之和;
人沿梯下跑时相对地面的位移方向向下,大小等于人相对扶梯的位移与扶梯相对地面位移之差.
解:
设扶梯相对地面运动的速度为v/,从一楼到二楼的实际梯子数有N级,扶梯相邻两级沿扶梯运动方向的距离为S0
人沿梯上跑时,人相对扶梯的位移为N1S0,人相对地面的位移为NS0,设扶梯相对地面上移的位移为S,由位移关系得:
NS0=N1S0+S
则:
S=(N-N1)S0┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄①
由两个分运动的等时性得:
┄┄┄┄┄┄②
人沿梯下跑时,人相对扶梯的位移为N2S0,人相对地面的位移为NS0,设扶梯相对地面上移的位移为S/,由位移关系得:
NS0=N2S0-S/
S/=(N2-N)S0┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄③
┄┄┄┄┄┄④
由②式÷
④式得:
自动扶梯的梯子实际为
级
练习3.(2001年上海高考题)图(a)是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图,测速仪发出并接收超声波脉冲信号,根据发出和接收到的信号间的时间差,测出被测物体的速度.图(b)中P1、P2是测速仪发出的超声波信号,n1、n2分别是P1、P2由汽车反射回来的信号.设测速仪匀速扫描,P1、P2之间的时间间隔△t=1.0s,超声波在空气中传播的速度是
=340m/s,若汽车是匀速行驶的,则根据图(b)可知汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是多少?
汽车的速度是多大?
本题的物理情景是超声波和汽车同时做相向运动,两者相遇时超声波被汽车反向反射回测速仪,而汽车继续匀速靠近测速仪。
因为超声波从发出到反射回测速仪的时间内做了一次往返运动,因此汽车接收到超声波时距测速仪的距离是超声波往返一次运动路程的一半.由于汽车在逐渐向测速仪靠近,所以每个超声波信号往返一次所用的时间不同.
解法1:
过程分析法:
设汽车接收到P1、P2两个信号的时刻,汽车与测速仪的距离分别为s1和s2(如图所示)。
由题意可知,图(b)中相邻两个刻度所表示的时间间隔为:
由图(b)可知,信号P1和P2从发出到被汽车反射回测速仪所用的时间分别为:
、
由超声波的往返运动可知:
则汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离为:
汽车接收到P1、P2两个信号的时刻分别是图(b)中P1至n1、P2至n2的中间时刻,所以汽车接收到P1、P2两个信号之间的时间间隔为:
由此可得汽车的速度为:
≈17.9m/s
解法2:
比较法(与假定汽车静止时的情况进行比较):
由图(b)可知,测速仪收到从汽车反射回来的两个信号n1和n2的时间间隔为:
它比发出两个信号P1、P2的时间间隔减少的时间为
这时由于汽车在逐渐向测速仪靠近的缘故,所以汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离为
由于汽车在逐渐靠近测速仪,所以汽车接收到两个信号P1、P2的时间间隔t比发出时的时间间隔
要短些,且
因此由
和
两式得汽车的速度为:
≈17.9m/s
第二讲:
匀变速直线运动
一、匀变速直线运动
在相等的时间内速度变化相等的直线运动叫做匀变速直线运动.
2.特点:
加速度a=恒量,即速度均匀变化.
3.基本公式
(1)
(2)
(3)
(4)
①以上四个公式中共有五个物理量:
s、t、a、v0、vt,这五个物理量中只有三个是独立的,可以任意选定.只要其中三个物理量确定之后,另外两个就唯一确定了.每个公式中只有其中的四个物理量,当已知某三个而要求另一个时,往往选定一个公式就可以了.如果两个匀变速直线运动有三个物理量对应相等,那么另外的两个物理量也一定对应相等.
②符号:
以上五个物理量中,除时间t外,s、v0、vt、a均为矢量.一般以v0的方向为正方向,以t=0时刻的位移为零.对已知量代入公式时要带上正负号,与v0方向相同的量为正值,反之为负.对未知量一般假设为正,若计算结果为正,则表示与v0方向相同,反之则表示与v0方向相反.
另外,在规定v0方向为正的前提下,若a为正值,表示物体做加速运动,若a为负值,则表示物体做减速运动;
若v为正,表示物体沿正方向运动,;
若v为负,表示物体沿反方向运动;
若s为正值,表示物体位于出发点的前方,若s为负值,表示物体位于出发点之后.
③以上各式仅适用于匀变速直线运动,包括有往返的情况,对于匀变速曲线运动和变加速运动均不成立.
二、匀变速直线运动的几个重要推论
1.Δs=aT2,即任意相邻相等时间内的位移之差相等.可以推广到sm-sn=(m-n)aT2
2.
,某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。
,某段位移的中间位置的即时速度公式(不等于该段位移内的平均速度).
可以证明,无论匀加速还是匀减速,都有
3.初速度为零(或末速度为零)的匀变速直线运动
做匀变速直线运动的物体,如果初速度为零,或者末速度为零,那么公式都可简化为:
,
,
以上各式都是单项式,因此可以方便地找到各物理量间的比例关系.
4.自由落体和竖直上抛运动都是加速度a=g的匀变速直线运动.
自由落体的规律:
,
竖直上抛的规律:
5.初速为零的匀变速直线运动
①前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶……
②第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶……
③前1米、前2米、前3米……所用的时间之比为1∶
∶
∶……
④第1米、第2米、第3米……所用的时间之比为1∶
∶(
)∶……
对末速为零的匀变速直线运动,可以相应的运用这些规律.
6.一种典型的运动
经常会遇到这样的问题:
物体由静止开始先做匀加速直线运动,紧接着又做匀减速直线运动到静止。
用右图描述该过程,可以得出以下结论:
①
②
例1.两木块自左向右运动,现用高速摄影机在同一底片上多次曝光,记录下木块每次曝光时的位置,如图所示,连续两次曝光的时间间隔是相等的,由图可知
A.在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同
B.在时刻t1两木块速度相同
C.在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同
D.在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同
首先由图看出:
上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量,可以判定其做匀变速直线运动;
下边那个物体明显地是做匀速运动.由于t2及t5时刻两物体位置相同,说明这段时间内它们的位移相等,因此其中间时刻的即时速度相等,这个中间时刻显然在t3、t4之间,因此本题选C.
例2.有一个做匀变速直线运动的质点,它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24m和64m,连续相等的时间为4s,求质点的初速度和加速度大小.(1m/s,2.5m/s2)
例3.在与x轴平行的匀强电场中,一带电量q=1.0×
10-8C、质量m=2.5×
10-3kg的物体在光滑水平面上沿着x轴作直线运动,其位移与时间的关系是x=0.16t-0.02t2,式中x以m为单位,t以s为单位。
从开始运动到5s末物体所经过的路程为m,克服电场力所做的功为J.
须注意:
本题第一问要求的是路程;
第二问求功,要用到的是位移.
将x=0.16t-0.02t2和
对照,可知该物体的初速度v0=0.16m/s,加速度大小a=0.04m/s2,方向跟速度方向相反。
由v0=at可知在4s末物体速度减小到零,然后反向做匀加速运动,末速度大小v5=0.04m/s。
前4s内位移大小
,第5s内位移大小
,因此从开始运动到5s末物体所经过的路程为0.34m,而位移大小为0.30m,克服电场力做的功W=mas5=3×
10-5J.
例4.物体在恒力F1作用下,从A点由静止开始运动,经时间t到达B点.这时突然撤去F1,改为恒力F2作用,又经过时间2t物体回到A点.求F1、F2大小之比.
解:
设物体到B点和返回A点时的速率分别为vA、vB,利用平均速度公式可以得到vA和vB的关系.再利用加速度定义式,可以得到加速度大小之比,从而得到F1、F2大小之比.
画出示意图如右.设加速度大小分别为a1、a2,有:
∴a1∶a2=4∶5,∴F1∶F2=4∶5
特别要注意速度的方向性.平均速度公式和加速度定义式中的速度都是矢量,要考虑方向.本题中以返回A点时的速度方向为正,因此AB段的末速度为负.
例5.水滴从屋檐自由落下,经过高度△h=1.8m的窗户历时△t=0.2s.若不计空气阻力,取g=10m/s2,则屋檐距窗台有多高?
(5m)
例6.在某市区内,一辆小汽车在平直公路上以速度vA向东匀速行驶,一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路,汽车司机发现前方有危险(游客正在D处向北走)经0.7s作出反应,从A点开始紧急刹车,但仍将正步行至B处的游客撞伤,该汽车最终在C处停下.为了清晰了解事故现场,现以下图示之:
为了判断汽车司机是否超速行驶,并
测出肇事汽车速度vA,警方派一车胎磨损
情况与肇事车相当的车以法定最高速度vm=
14.0m/s行驶在同一马路的同一地段,在肇事
汽车的出事点B急刹车,恰好也在C点停下来.在事故现场测得AB=17.5m、BC=14.0m、BD=2.6m,问:
(1)该肇事汽车的初速度vA是多大?
(2)游客横过马路的速度是多大?
(1)以警车为研究对象,则:
将v0=14.0m/s,s=14.0m,v=0代入得警车刹车加速度大小为:
a=7.0m/s2,因为警车行驶条件与肇事汽车相同,则肇事汽车的加速度a/=a=μg=7.0m/s2.
所以肇事汽车的初速度vA=
(2)肇事汽车在出事点B的速度:
肇事汽车通过sAB段的平均速度:
肇事汽车通过sAB段的时间:
所以游客横过马路的速度:
总结:
用匀变速直线运动公式和推论解题时的注意事项:
①反映匀变速直线运动规律的公式较多,对同一个问题,往往有许多不同的解法,不同解法的繁简程度不一样,所以,应注意每个公式的特点,它反应了哪些物理量之间的关系,与哪些物理量无直接关系.例如公式:
不涉及时间;
不涉及加速度;
Δs=aT2不涉及速度等.应根据题目所给条件,恰当地、灵活地选用相关的公式,尽可能简化解题过程.
②若所研究的问题涉及多个过程,要分清物体在各阶段的运动情况,在分析物体由一段运动转变为另一段时,要注意各阶段运动之间物理量的联系.
③在读题审题时,要养成画物体运动过程示意图的习惯.画好运动过程示意图可以使问题形象化、直观化、简单化,从而有助于把握物理过程,有助于解决物理问题,这是学好物理应当掌握的基本技能之一.
④某些问题按常规方法解决相当繁琐,而采用逆向思维法,再巧妙地运用推论则及其简捷,应注意提高多方位展开思维的能力.
练习1.一列车由等长的车箱连接而成.车厢之间的间隙忽略不计,一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐.当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时,测量第一节车厢通过他的时间为2s,则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?
(4s)
练习2.一物体由静止开始做直线运动,先以加速度a1做匀加速直线运动,接着又以大小为a2的加速度做匀减速直线运动直到停止.已知通过全程所经历的时间为t,求该物体的位移.(
)
练习3.火车以54km/h的速度前进,现在需要在车站暂停.如果停留时间是1分钟,刹车引起的加速度是-30cm/s2,启动时发动机产生的加速度是50cm/s2.如果火车暂停后仍要以原速前进,求火车由于暂停所延迟的时间.(100s)
练习4.竖直悬挂一根长15m的杆,在杆的正下方距杆下端5m处有一观察点A,当杆自由下落时,杆全部通过A点需多长时间?
(g取10m/s2)(1s)
练习5.从斜面上某一位置,每隔0.1s释放一颗小球,在连续释放几颗后,对在斜面上滑动的小球拍下照片,如图所示,测得sAB=15cm,sBC=20cm,
试求:
(1)小球的加速度;
(2)拍摄时球的速度vB;
(3)拍摄
时sCD=?
;
(4)A球上面滚动的小球还有几颗?
(5m/s2;
1.75m/s;
2个)
第三讲:
直线运动的图象
一、位移图象(s―t图象)
1.它表示的是运动物体的位移随时间的变化关系,位移图象不是物体的运动轨迹.
2.位移图象的斜率表示速度的大小和方向.凡是直线表示物体速度不变,向上倾斜的直线表示沿正方向的匀速直线运动,向下倾斜的直线表示沿负方向的匀速直线运动.
3.根据位移-时间图象的形状,可以判断物体的运动性质:
图象与时间
轴平行表示物体静止;
若位移图象是倾斜的直线,表示物体做匀速直线运
动;
若位移图象是曲线,表示物体做变速运动.
4.图象与位移轴的交点表示物体的初位置,两条图象的交点表示位移
相等(两物体相遇).
例1.如图所示为甲、乙两物体相对同一参考系的位移图象,下列说法正确的是(ABCEF)
A.甲、乙两物体的出发点相距s0
B.甲、乙两物体都做匀速直线运动
C.甲物体比乙物体早出发的时间为t1
D.甲、乙两物体向同方向运动
E.甲、乙两物体在t2时刻相遇
F.乙比甲运动快
例2.甲、乙、丙三个物体同时同地出发做直线运动,它们的
位移—时间图象如图所示,在20s内它们的平均速度大小关系如
何?
平均速率大小关系如何?
(平均速度大小相等,平均速率
二、速度图象(v―t图象)
1.它反映了速度随时间的变化关系.
2.根据速度的正负判断运动的方向,速度为正,表示物体沿正方向运动;
速度为负,表示物体沿负方向运动.
3.判断物体运动的性质:
在v-t图象中,平行于时间轴的直线表示匀速直线运动;
和时间轴重合的直线表示静止;
倾斜的直线表示匀变速直线运动;
曲线表示
非匀变速直线运动.
4.速度图象的斜率表示加速度的大小和方向.
5.速度图象和时间轴所围成的面积表示位移的大小,且t轴上方
为正,下方为负,总位移为其代数和.
6.图象与v轴的交点表示初速度,图象交点表示速度相等.
例3.如图为一物体作匀变速直线运动的速度图象,根据图象作出以下几个判定,正确的是(BCD)
A.物体始终沿正方向运动
B.物体先沿负方向运动,在t=2s后开始沿正方向运动
C.t=2s物体离出发点最远
D.t=4s物体回到出发点
例4.两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示).现有两只相同小球a和a/同时从管口由静止滑下,问谁先从下端的出口掉出?
(假设通过拐角处时无机械能损失).
首先由机械能守恒可以确定拐角处v1>
v2,而两小球到达出口时的速率v相等。
又由题薏可知两球经历的总路程s相等。
由牛顿第二定律,小球的加速度大小a=gsinα,小球a第一阶段的加速度跟小球a/第二阶段的加速度大小相同(设为a1);
小球a第二阶段的加速度跟小球a/第一阶段的加速度大小相同(设为a2),根据图中管的倾斜程度,显然有a1>
a2。
根据这些物理量大小的分析,在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同,且末状态速度大小也相同(纵坐标相同)。
开始时a球曲线的斜率大。
由于两球两阶段加速度对应相等,如果同时到达(经历时间为t1)则必然有s1>
s2,显然不合理。
考虑到两球末速度大小相等(图中vm),球a/的速度图象只能如蓝线所示。
因此有t1<
t2,即a球先到.
练习1.一物体的运动图象如下图所示:
(1)若图中x表示位移,则物体所做的运动形式为(AD)
(2)若图中x表示速度,则物体所做的运动形式为(A)
A.做往复直线运动
B.做匀速直线运动
C.朝一个方向做直线运动
D.做加速度不变的运动
练习2.两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停止时,后车以前车刹车的加速度刹车.已知前车在刹车过程中所滑行的距离为s.若要保证两车在上述过程中不相撞,则车在匀速行驶时保持的距离至少为(B)
A.sB.2sC.3sD.4s
提示:
用速度图象分析较为简捷.
练习3.质点做直线运动的v-t图象如图所示,初速度为v0,末速度为vt,则时间t0内质点的平均速度
为(B)
B.
C.
练习4.一个固定在水平面上的光滑物块,其左侧面是斜面AB,右侧面是曲面AC.已知AB和AC的长度相同.两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑,比较它们到达水平面所用的时间,则正确的说法是(B)
A.p小球先到B.q小球先到C.两小球同时到D.无法确定
可以利用v-t图象(这里的v是速率,曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较.在同一个v-t图象中做出p、q的速率图线,显然开始时q的加速度较大,斜率较大;
由于机械能守恒,末速率相同,即曲线末端在同一水平图线上.为使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同),显然q用的时间较少.
练习5.有两个光滑固定斜面AB和CD,A和C两点在同一水平面上,斜面BC比斜面AB长(如图所示).一个滑块自A点以速度vA上滑,到达B点时速度减小为零,紧接着沿BC滑下.设滑块从A点到C点的总时间是tC,那么下图四个图象中,正确表示滑块速度的大小v随时间t变化规律的是(B)
第四讲:
追及和相遇问题
一、基本规律:
追和被追的两物体的速度相等(同向运动时)是能否追上、两者有最大或最小距离的临界条件.
1.初速度较大的匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时:
当两者速度相等时,若未能追上,则永远追不上,此时两者间有最小距离.当两者速度相等时,若恰能追上,这就是两者避免碰撞的临界条件.
2.从静止开始匀加速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时:
加速运动的物体总可追上匀速运动的物体,当两者速度相等时有最大距离.
3.匀速运动的物体追赶同方向的初速为零的匀加速运动的物体时:
当两者速度相等时,若未能追上,则永远追不上,此时两者间有最小距离.
二、注意事项:
分析追及与相遇问题时,一定要分析清楚研究对象所满足的几个基本关系:
速度关系、时间关系、和位移关系,运
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