数学奥林匹克专题讲座 第16讲 枚举归纳与猜想Word下载.docx
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数学奥林匹克专题讲座 第16讲 枚举归纳与猜想Word下载.docx
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(1,99),(2,98),(3,97),…,(49,51)。
每一对币值中有一个可用若干枚贰分和伍分硬币构成,则另一个也可以,显然50分和100分的币值是可以构成的,因此只需要讨论币值为1分、2分、3分……49分这49种情况。
1分和3分的币值显然不能构成。
2分、4分、6分……48分这24种偶数币值都可以用若干枚贰分硬币构成,因为贰分硬币的总数为30个。
5分、7分、9分……49分这23种奇数币值,只需分别在4分、6分、8分……48分币值的构成方法上,用1枚伍分硬币换去两枚贰分硬币即可,比如37分币值,由于36分币值可用18枚贰分硬币构成,用1枚伍分硬币换下2枚贰分硬币,所得的硬币值即为37分。
综合以上分析,不能用若干枚贰分和伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种,即1分、3分、97分、99分。
例4一个两位数被7除余1,如果交换它的十位数字与个位数字的位置,所得到的两位数被7除也余1,那么这样的两位数有多少个?
都是几?
两式相减,得9(a-b)=7(n-m)。
于是7|9(a-b)。
因为(7,9)=1,所以7|a-b,得到a-b=0,或a-b=7。
(1)当a-b=0,即a=b时,在两位数11,22,33,44,55,66,77,88,99中逐一检验,只有22,99符合被7除余1的条件。
(2)当a-b=7,即a=b+7时,b=1,或b=2。
在81,92这二个数中,只有92符合被7除余1的条件。
因为a,b交换位置也是解,所以符合条件的两位数共有四个,它们是22,29,92及99。
这里我们把题中限定的条件放宽,分成两类,枚举出每一类的两位数,逐一检验排除不符合条件的两位数,确定符合条件的两位数,从而找到问题的答案。
此题也可以枚举出被7除余1的所有两位数:
15,22,29,36,43,50,57,64,71,78,85,92,99,
再根据题意逐一筛选。
例5把1,2,3,4,5,6分别填入左下图所示的表格内,使得每行相邻的两个数左边的小于右边的,每列的两数上面的小于下面的。
有几种填法?
如右上图,由已知可得a最小,f最大,即a=1,f=6。
根据b与d的大小,可分两种情况讨论。
当b<d时,有b=2,c=3或4或5,可得下列3种填法:
当b>d时,有b=3,d=2,c=4或5,可得下列2种填法:
综上所述,一共有5种填法。
例6今有101枚硬币,其中有100枚同样的真币和1枚伪币,伪币与真币的重量不同,现需弄清楚伪币比真币轻,还是比真币重,但只有一架没有砝码的天平。
试问,怎样利用这架天平称两次,来达到目的?
在天平两端各放50枚硬币。
如果天平平衡,那么所剩一枚为伪币,于是取一枚伪币和一枚真币分放在天平两端,即可判明真币与伪币谁轻谁重。
如果天平不平衡,那么取下重端的50枚硬币,并将轻端的50枚硬币分放两端各25枚,若此时天平平衡,则说明伪币在取下的50枚硬币中,即伪币比真币重;
若此时天平仍不平衡,则说明伪币在较轻的50枚硬币中,即伪币比真币轻。
在上述解答过程中,我们面临着“平衡”或“不平衡”两种可能的状态,对这两种状态,逐一检验,即得到问题的结论。
由上述例题可以看出运用枚举法的关键在于:
(1)如何将整体分解成各个特殊情况,也就是要注意分类的方法,分类必须适合于一一列举和研究,同时分类必须不重也不漏。
(2)善于对列举的结果进行综合考察(包括筛选),并导出结论。
二、归纳与猜想
“猜想”是一种重要的思维方法,对于确定证明方向,发现新定理,都有重大意义。
最著名的例子就是哥德巴赫猜想,1742年曾任中学教师的哥德巴赫和大数学家欧拉通过观察实例:
6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,
14=3+11,16=3+13,18=7+11,…
提出如下猜想:
“任何大于或等于6的偶数,都可以表示成两个奇素数之和。
”这就是闻名于世的哥德巴赫猜想,至今还没有给以逻辑证明,所以仍是一个猜想。
二百多年以来,她像一颗璀璨夺目的明珠,吸引了无数数学家和数学爱好者为之奋斗。
通过观察若干具体实例,发现存在于它们之中的某种似乎带规律性的东西,我们相信它具有普遍意义,对更多更一般的实例同样适用,从而把它当做一般规律或结论,这种发现规律或结论的方法就是归纳法。
当然,归纳出来的规律或结论一般来说还只是一种猜想,它是否正确,还有待于进一步证明。
例如,我们可能碰巧看到
1+8+27+64=100,
改变一下形式:
13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2。
这个形式很规则,这是偶然的,还是确有这样的规律?
不妨再试验一下:
13+23=9=32=(1+2)2,
13+23+33=36=62=(1+2+3)2。
再多一些数试验一下:
13+23+33+43+53=225=152=(1+2+3+4+5)2。
于是猜想:
又如,求凸n边形内角和。
观察分析:
三角形内角和为180°
;
四边形可分为2个三角形,故内角和为2×
180°
五边形可分为3个三角形,故内角和为3×
归纳猜想:
凸n边形的内角和为(n-2)×
。
例7下面各列数都依照一定规律排列,在括号里填上适当的数:
(1)1,5,9,13,17,();
(4)32,31,16,26,(),(),4,16,2,11。
分析与解:
要在括号里填上适当的数,必须正确地判断出每列数所依照的规律,为此必须进行仔细的观察和揣摩。
(1)考察相邻两数的差:
5-1=4, 9-5=4,
13-9=4,17-13=4。
可见,相邻两数之差都是4。
按此规律,括号里的数减去17等于4,所以应填入括号里的数是17+4=21。
(2)像
(1)那样考虑难以发现规律,改变一下角度,把各数改写为
可以发现:
(3)为探究规律,作适当变形:
这样一来,分子部分呈现规律:
自3起,依次递增2,故括号内的数的分子为13。
再看分母部分:
4,8,14,22,32。
相邻两数之差得4,6,8,10。
可见括号内的数的分母应为32+12=44。
(4)分成两列数:
奇数位的数为
32,16,(),4,2。
可见前面括号中应填入8;
偶数位的数为
31,26,(),16,11。
括号中的数应填入21。
所以,两括号内依次填入8,21。
从上面例子可以看到,观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变,而要注意根据问题特点不断调整自己观察的角度,以利于观察出有一定隐蔽性的内在规律。
例8下面是七个分数:
先约分,请你再划去一个与众不同的数,然后按照一定的规律将余下的六个数排列起来,并按你的规律接下去写出第七个数。
分析:
约分是容易的,除其中一个数外,另外六个数必有联系。
已给分数经约分后是
这个题目里给出了解题的操作指示,即化简、按规律分类、排序、添加新数,做起来感觉很顺利、轻松。
做完题后体会一下命题者的用意,他是想让学生了解和学会怎样归纳和猜测。
在许多问题中,各元素从表面上看没什么联系,也看不出什么规律,这就需要我们像做约分那样透过表面看本质,扒掉“披在元素身上花花绿绿的外衣”,从而发现彼此间的共性和联系。
这个题的命题者给出了一个做归纳和猜测的示范,应引起读者重视。
例9 将正方形纸片如下图所示由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作。
按上述规则完成五次操作以后,剪去所得小正方形的左下角。
当展开这张正方形纸片后,一共有多少个小洞孔?
一次操作后,层数由1变为4,若剪去所得小正方形左下角,展开后只有1个小洞孔,恰是大正方形的中心。
连续两次操作后,折纸层数为42,剪去所得小正方形左下角,展开后大正方形留有42-1=41=4(个)小洞孔。
连续三次操作后,折纸层数为43,剪去所得小正方形左下角,展开后大正方形上留有43-1=42=16(个)小洞孔。
……
按上述规律不难断定:
连续五次操作后,折纸层数为45,剪去所得小正方形左下角,展开后大正方形纸片上共留有小洞孔
45-1=44=256(个)。
例10将自然数排成如下的螺旋状:
第一个拐弯处的数是2,第二个拐弯处的数是3,第20个及第25个拐弯处的数各是多少?
由图可知,前几个拐弯处的数依次是
2,3,5,7,10,13,17,21,26,…
这是一个数列,题目要求找出它的第20项和第25项各是多少,因此要找出这个数列的规律。
把数列的后一项减去前一项,得一新数列:
1,2,2,3,3,4,4,5,5,…
把原数列的第一项2添在新数列的前面,得到
2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…
于是,原数列的第n项an就等于上面数列的前n项和,即
a1=2=1+1=2,
a2=2+1=1+(1+1)=3,
a3=2+1+2=1+(1+1+2)=5,
a4=2+1+2+2=1+(1+1+2+2)=7,
……
所以,第20个拐弯处的数是:
a20=1+(1+1+2+2+3+3+4+4+…+10+10)
=1+2×
(1+2+…+10)=111。
第25个拐弯处的数是:
a25=1+(1+1+2+2+…+12+12+13)
=111+2×
(11+12)+13=170。
(1)这个数列的一般项可以写成第2n(偶数)项为
a2n=1+2×
(1+2+…+n)=1+n+n2;
第(2n+1)(奇数)项为
a2n+1=1+2×
(1+2+…+n)+(n+1)=2+2n+n2。
(2)寻找数列排列的规律,常用两种方法:
一是考察数列的“项”与它所在的位置即“项数”之间的关系,一般的数列写作
a1,a2,a3,…,an,…
这里an是数列的“项”,n是“项数”。
若能找到“项”与“项数”的关系,则知道了项数n,也就知道了项an。
另一方法是研究相邻两项或几项的关系,这样,知道了最初的几项后,后面的项就可利用关系顺次写出来。
例11给出一个“三角形”的数表如下:
此表构成的规则是:
第一行是0,1,2,…,999,以后下一行的数是上一行相邻两数的和。
第四行的数中能被999整除的数是什么?
首先找出第四行数的构成规律。
通过观察、分析,可以看出:
第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从下表看出:
如果用an表示第四行的第n个数,那么an=8n+4。
现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数。
注意到第四行中最大的数是7980<999×
8,所以k=4。
由此求出第四行中能被999整除的数是999×
4=3996,它是第四行的第(3996-4)÷
8=499(项),即a499=3996。
本题通过观察、归纳找出第四行的构成规律,即第n个数的通项公式。
当然通项公式也可以直接通过观察第四行各数的排列规律来发现,即把第四行的前后几个数算出来:
12,20,28,36,…,7980。
观察分析发现:
后一个数都比前一个数多8,从而归纳出通项公式为:
an=8n+4。
例12在平面上有n条直线,任何两条都不平行,并且任何三条都不交于同一点,这些直线能把平面分成几部分?
设n条直线分平面为Sn部分,先实验观察特例有如下结果:
n与Sn之间的关系不太明显,但Sn-Sn-1有如下关系:
观察上表发现,当n≥2时,有
Sn-Sn-1=n。
因为在(n-1)条直线后添加第n条直线被原(n-1)条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二,相应地增加n部分,所以Sn=Sn-1+n,即Sn-Sn-1=n。
从而
S2-S1=2,S3-S2=3,S4-S3=4,…,Sn-Sn-1=n。
将上面各式相加,得到
Sn-S1=2+3+…+n,
Sn=S1+2+3+…+n
=2+2+3+…+n
=1+(1+2+…+n)
Sn也可由如下观察发现。
由上表知:
S1=1+1,S2=1+1+2,S3=1+1+2+3,
S4=1+1+2+3+4,
依此类推,便可猜想到
练习16
1.用数字1,3,4,5,7,8,9组成没有重复数字的四位数,得到的数从小到大排成一列。
第119个数是几?
2.同时满足下列条件的分数共有多少个?
(2)分子和分母都是质数;
(3)分母是两位数。
请列举出所有满足条件的分数。
3.用一个三位数乘945,使所得的乘积为平方数,这样的数共有几个?
最大的与最小的各是多少?
4.A,B,C三人中,一部分是总说真话的老实人,另一部分是总说假话的骗子。
A说:
“若C是老实人,则B是骗子。
”
C说:
“A和我不都是老实人,也不全是骗子。
问:
A,B,C三人中,谁是老实人?
谁是骗子?
5.现有如下一系列图形:
当时n=1时,长方形ABCD分为2个直角三角形,这些三角形共有5条边(重复的只算一条,下同)。
当n=2时,长方形ABCD分为8个直角三角形,这些三角形共有16条边。
当n=3时,长方形ABCD分为18个直角三角形,这些三角形共有33条边。
按如上规律请你回答:
当n=100时,长方形ABCD应分为多少个直角三角形?
这些三角形共有多少条边?
6.
(1)下面的(a)(b)(c)(d)为四个平面图。
数一数,每个平面图各有多少顶点?
多少条边?
它们分别围成了多少个区域?
请将结果填入下表(按填好的样子做)。
(2)观察上表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系。
(3)现已知某个平面图有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个图有多少条边。
7.有一列数1,3,4,7,11,18,…(从第三个数开始,每个数恰好是它前面相邻两个数的和)。
(1)第999个数被6除余几?
(2)把以上数列按下述方法分组:
(1),(3,4),(7,11,18),…(第n组含有n个数)第999组的各数之和被6除余数是几?
8.把1~999这999个自然数按顺时针的方向依次排列在一个圆圈上(如下图)。
从1开始按顺时针的方向,保留1,擦去2;
保留3,擦去4……这样每隔一个数擦去一个数,转圈擦下去。
最后剩下一个数时,剩下的是哪个数?
1.1985。
按从小到大无重复数字的四位数顺序,
前两位数是13的有20个;
前两位数是14的有20个;
前两位数是19的有20个。
即为1987,那么第119个数就是1985。
提示:
由
(1)知分子是大于1,且小于20(因为分母是两位数)的质数。
然后就分子为2,3,5,7,11,13,17,19逐一枚举,推出共有13个分数满足要求。
3.945,105。
因为945=33×
5×
7,要使它乘上一个数后成为平方数,必须使乘积中各质因数的个数成为偶数,所以,所乘的数必须是3×
7=105与另一平方数的乘积。
因为
105×
12=105,105×
22=620,105×
32=945,
所以,与945相乘得到平方数的三位数共有3个,最大的是945,最小的是105。
4.B,C是老实人,A是骗子。
假设C是骗子,那么,从C的说法断定A与C一样是骗子。
这样,不管B是不是骗子,A的说法没错,应是老实人,产生矛盾。
因此C是老实人。
由C的说法断定A与C不一样,是骗子。
再由A的说法,断定B不是骗子,是老实人。
5.20000个,30200条。
n=1时,直角三角形有2×
12个,
边数=2×
1×
(1+1)+12=5;
n=2时,直角三角形有2×
22个,
2×
(2+1)22=16;
n=3时,直角三角形有2×
32个,
3×
(3+1)+32=33。
对一般的n,共分为2×
n2个直角三角形,
边数=2n(n+1)+n2。
所以n=100时,共分为2×
1002=20000(个)直角三角形,共有2×
100×
(100+1)+1002=30200(条)边。
6.
(1)填表如下:
(2)由该表可以看出,所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系:
4+3-6=1,8+5-12=1,
6+4-9=1,10+6-15=1。
所以,我们可以推断:
任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系:
顶点数+区域数-边数=1。
(3)由上面所给的关系,可知所求平面图的边数。
边数=顶点数+区域数-1
=999+999-1=1997。
注:
任何平面图的顶点数、区域数及边数都能满足我们所推断的关系。
当然,平面图有许许多多,且千变万化,然而不管怎么变化,顶点数加区域数再减边数,最后的结果永远都等于1,这是不变的。
因此,
顶点数+区域数-边数
就称为平面图的不变量(有时也称为平面图的欧拉数——以数学家欧拉的名字命名)。
7.
(1)2;
(2)4。
设an表示数列中的第n个数。
(1)由an=an-1+an-2(n≥3)容易列出下表:
观察上表可知,a1与a25,a2与a26除以6的余数分别相等,推知数列中的数被6除所得的余数,每隔24个数重复出现。
因为999=24×
41+15,所以a999与a15除以6的余数相同,即数列中第999个数被6除余数是2。
(2)按规定分组后,前998组共有
1+2+3+…+998=498501(个)
数。
第999组的各数为
(a498501+1,a4985501+2,…,a4985501+999)。
据上表可知,数列中连续的24个数之和被6除的余数就等于24个数分别被6除所得余数之和被6除所得的余数。
容易求出,数列中连续的24个数之和除以6的余数为0。
由999=24×
41+15知,第999组中各数之和除以6的余数,等于第999组数中前15个或后15个数之和除以6的余数。
因为第一个数是a498502,498502=24×
20700+22,所以前15个数之和除以6的余数等于(a22+a23+a24+a1+a2+…+a12)除以6的余数,等于4。
8.975。
如果有2n个数,那么转一圈擦去一半,剩下2n-1个数,起始数还是1;
再转一圈擦去剩下的一半,又剩下2n-2个数,起始数还是1……转了n圈后,就剩下一个数是1。
如果有2n+d(d<2n)个数,那么当擦去d个数时,剩下2n个数,此时的第一个数是最后将剩下的数。
因为擦去的第d个数是2d,所以2d+1就是最后剩下的整数。
999=29+487,最后剩下的一个数是487×
2+1=975。
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