变量的相关性教案1.docx
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变量的相关性教案1
2.3 变量的相关性
自主学习
学习目标
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据,作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
自学导引
1.两个变量间的相互关系
变量与变量之间的关系常见的有两类:
一类是确定性的________关系,另一类是带有随机性的________关系.
2.相关关系的分类
(1)正相关:
如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也____________,这种相关称为正相关.
(2)负相关:
如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值____________,这种相关称为负相关.
3.散点图
在一个统计数表中,为了更清楚地看出x和y是否具有相关关系,常将x的取值作为________,将y的相应取值作为________,在直角坐标中描点____________________,这样的图形叫散点图.
4.回归直线方程
一般地,设x和y是具有相关关系的两个变量,且对应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,若所求的直线方程=+x,则
我们将这个方程叫做y对x的________________,叫做____________,相应的直线叫做回归直线.
5.最小二乘法
设x、y的一组观察值为(xi,yi),i=1,2,…,n,且回归直线方程为=a+bx,当x取值xi(i=1,2,…,n)时,y的观察值为yi,差yi-i(i=1,2,…,n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,通常是用离差的平方和,即Q=________________作为总离差,并使之达到________.这样,回归直线就是所有直线中Q取________的那一条,由于平方又叫二乘方,所以这种使“____________________”的方法,叫最小二乘法.
对点讲练
知识点一 相关关系的判断
例1 根据你的生活经验及掌握的知识,将下列所有你认为正确的结论填入题空中.
①一般的,学生的数学成绩与物理成绩之间是正相关的;
②一般的,学生的数学成绩与英语成绩是负相关的;
③一块农田的水稻产量与施肥量之间是相关关系;
④对于在校儿童,脚的大小与阅读能力有很强的相关关系.
以上正确的结论是________.
变式迁移1 下列两变量中具有相关关系的是( )
A.角度和它的余弦值B.正方形的边长和面积
C.人的年龄与身高D.人的身高和体重
知识点二 散点图的应用
例2 某地农业技术指导站的技术员,经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到如下表所示的一组数据:
(单位:
千克)
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
施化肥量x和水稻产量y是否具有相关关系?
变式迁移2 5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图,并判断它们是否有相关关系.
知识点三 回归直线方程及应用
例3 随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭轿车已不再是一种时尚.车的使用费用,尤其是随着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常关心的问题.某汽车销售公司做了一次抽样调查,并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料:
使用年限x
2
3
4
5
6
总费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料,知y对x呈线性相关关系.试求:
(1)线性回归方程=x+的回归系数、;
(2)估计使用年限为10年时,车的使用总费用是多少?
变式迁移3 某厂某产品的产量x(单位:
千件)与单位成本y(单位:
万元/千件)的对应数据如下:
x
29
28
28.5
29.5
30
31
30
29
y
500
510
504
494
493
485
492
498
(1)对变量y与x作出散点图;
(2)若y与x具有线性相关关系,求回归直线方程;
(3)预测产量x=25千件时的单位成本.
1.相关关系与函数关系
(1)相同点:
两者均是指两个变量的关系.
(2)不同点:
①函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.
②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.
2.用回归直线进行拟合两变量关系的线性相关的一般步骤为:
(1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近;
(2)如果散点在一条直线附近,用公式求出、,并写出线性回归方程.
3.在回归直线方程=x+中的含义容易理解成增加的单位数,而实际上,它代表x每增加一个单位,y平均增加的单位数.一般地说,当回归系数>0时,说明两个变量呈正相关关系,它的意义是:
当x每增加一个单位时y就增加个单位;当<0时,说明两个变量呈负相关关系,它的意义是:
当x每增加一个单位时,y就减少||个单位.
课时作业
一、选择题
1.下列两变量中不属于相关关系的是( )
A.产品的成本与产量B.家庭的收入与支出
C.球的表面积与体积D.吸烟与健康
2.下列有关线性回归的说法,不正确的是( )
A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C.回归直线方程最能代表观测值x、y之间的线性关系
D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
3.设一个回归方程为=3-1.2x,则变量x增加一个单位时( )
A.y平均增加1.2个单位B.y平均增加3个单位
C.y平均减少1.2个单位D.y平均减小3个单位
4.2003年春季,我国部分地区SARS流行,党和政府采取果断措施,防治结合,很快使病情得到控制.下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患治愈者数据及根据这些数据绘制的散点图.
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法:
①根据此散点图,可以判断日期与人数具有线性相关关系;
②根据此散点图,可以判断日期与人数具有一次函数关系;
③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%;
④后三天中每天治愈出院的人数均超过这12天内北京市SARS病患治愈者总人数的10%.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
5.回归方程为=1.5x-15,则( )
A.=1.5-15B.15是回归系数
C.1.5是回归系数D.x=10时,y=0
二、填空题
6.命题:
①路程与时间、速度的关系是相关关系;②同一物体的加速度与作用力是函数关系;③产品的成本与产量之间的关系是函数关系;④圆的周长与面积的关系是相关关系;⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系.
其中正确的命题序号是________.
7.已知回归直线方程为=0.50x-0.81,则x=25时,y的估计值为________.
8.在研究硝酸钠的可溶性程度时,观测它在不同温度的水中的溶解度,得观测结果如下:
温度x(℃)
0
10
20
50
70
溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
则由此得到回归直线的斜率为________.
三、解答题
9.一般来说,一个人的身高越高,他的手就越大,为调查这一问题,对某校10名高一男生的身高与右手长度进行测量得到如下数据(单位:
cm):
身高
168
170
171
172
174
176
178
178
180
181
右手长度
19.0
20.0
21.0
21.5
21.0
22.0
24.0
23.0
22.5
23.0
(1)根据上述数据制作散点图,判断两者有无线性相关关系;
(2)如果具有线性相关关系,求回归方程;
(3)如果一名同学身高为185cm,估计他的右手长.(精确到小数点后一位)
§2.3 变量的相关性
自学导引
1.函数 相关
2.
(1)由小变大
(2)由大变小
3.横坐标 纵坐标 (xi,yi)(i=1,2,…,n)
4. - 回归直线方程 回归系数
5.(yi-a-bxi)2 最小 最小值 离差平方和为最小
对点讲练
例1 ①③④
解析 ①由于数学是自然科学的基础,数学成绩好,往往有利于学好与之相关联的学科,特别是物理,实际统计情况也是如此.所以①是正确的.
②在时间有限的情况下,数学学习投入多,英语学习投入就少,反之亦然.于是就断定二者成绩是负相关的.这种主观臆断是错误的.因为实际情况是:
有不少学生数学成绩与英语成绩都好或者是都不好.所以②是错误的.
③一般情况下,一块农田的水稻产量与施肥量之间是相关的.
④有很强的相关关系.这是因为在校儿童随着年龄的增长阅读能力在变强,而年龄增长了,脚也在长大.脚的大小和阅读能力之间无因果关系,而是通过第三个因素“年龄”沟通起来的.
变式迁移1 D [A、B具有确定性的函数关系.C无相关关系.一般地,身高越高,体重越重,是相关的.]
例2 解 作出散点图进行分析.散点图如下:
从散点图可以看出施化肥量x和水稻产量y的确存在一定相关关系,大体上随着施化肥量的增加,水稻的产量也在增加.可见散点图能直观形象地反映两个变量的相关程度.
变式迁移2 解 以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图如图所示:
由散点图可知,两者之间具有相关关系.
例3 解
(1)列表:
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
x
4
9
16
25
36
=4,=5,=90,iyi=112.3
于是===1.23;
=-=5-1.23×4=0.08.
(2)线性回归直线方程是=1.23x+0.08,
当x=10(年)时,=1.23×10+0.08=12.38(万元),
即估计使用10年时,支出总费用是12.38万元.
变式迁移3 解
(1)散点图如下:
(2)=29.375,=497,
x=6909.5,y=1976494,
xiyi=116744.
∴===-8,
=497-(-8)×29.375=732,
∴=-8x+732.
(3)当x=25时,=-8×25+732=532(万元/千件).
课时作业
1.C [球的表面积与体积是函数关系.]
2.D
3.C
4.B
5.A
6.②⑤
7.11.69
8.0.8809
解析 =30,=93.6,
x=7900,
xiyi=17035,
所以回归直线的斜率
==
≈0.8809.
9.解
(1)散点图如下
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- 变量 相关性 教案