建筑力学弯曲变形及答案概要Word格式.docx
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对发生组合变形的杆件计算应力和变形时,可将荷载进行简化或分解,使简化或分解后得到的静力等效的荷载,每类荷载各自只引起一种基本变形,分别计算,再进行叠加,就得到由原来的荷载所引起的组合变形的应力和变形,这就是组合变形的分析方法和组合变形计算的叠加原理。
这里需要强调的是:
叠加原理是在满足小变形和力与位移成线性关系的条件下才适用。
本章将主要讨论斜弯曲、拉压与弯曲、偏心拉伸(压缩)组合变形的强度计算问题。
第二节拉伸(压缩)与弯曲组合变形
若外力不沿梁的横向(斜交于轴线),但力仍作用在纵向对称平面内,这时梁将发生拉伸(压缩)与弯曲变形。
如图7-2a所示矩形截面悬臂梁,外力F斜交于轴线,与y轴夹角为
。
若将力沿x、y轴方向正交分解,则分力Fx沿梁的轴线作用,使梁发生轴向拉伸变形;
分力Fy沿垂直于轴线作用,使梁发生平面弯曲变形。
因此,悬臂梁的变形为轴向拉伸(压缩)与弯曲的组合变形,简称为拉(压)弯曲组合变形。
下面以图7-2a为例,说明拉(压)弯曲组合变形时的正应力及强度计算。
图7-2
杆件发生拉(压)弯曲组合变形时,截面上的弯曲切应力较小,可略去不计,杆件截面上既有轴向拉(压)时均匀分布的拉应力,又有线性分布的弯曲正应力,如图7-2c、d所示。
截面各点处同时作用的正应力可以叠加,如图7-2e所示。
可见截面上边缘有最大的拉应力,其值为
由上式可知,拉(压)与弯曲组合变形时最大应力发生在弯矩最大的截面上。
其强度设计准则为
(7-1)
式(7-1)表明,发生拉(压)与弯曲组合变形时,危险截面上危险点的应力不得超过材料的许用应力。
在进行组合变形强度计算时,需要先分析杆件的危险截面和危险点,然后用该强度准则进行计算校核。
例7-1图7-2a所示为矩形截面悬臂木梁,已知作用外力
kN,与y轴夹角为
,梁跨
,矩形截面尺寸
=200×
300mm2,
=12MPa,试校核梁的强度。
解1)求最大内力。
由前述分析可知,梁发生拉弯组合变形,其危险截面是左端固端截面,截面内力为
2)强度计算。
危险点是固定端截面上边缘的点,即
所以,梁的强度满足要求。
例7-2图7-3所示为简易起重机,其最大起吊重量
kN,横梁AB为工字钢,许用应力[
]=170MPa,若梁的自重不计,试按正应力强度准则选择工字钢的型号。
解1) 横梁的变形分析。
横梁AB可简化为简支梁,由于起重机电葫芦可在AB之间移动,由前述可知当简支梁跨中点作用集中力时,梁跨中点截面有最大弯矩,所以当电葫芦移动到梁跨中点时是梁的危险状态,因此应以吊重作用于梁跨中点来计算支座约束力。
为便于分析计算,可将拉杆BC的作用力FB分解为FBx和FBy(图7-3b),列平衡方程得
力FAy、G与FBy沿AB的横向作用使梁AB发生弯曲变形,力FAx与FBx沿梁AB的轴向作用使梁AB发生轴向压缩变形,所以梁AB发生压缩与弯曲组合变形。
2)横梁内力分析。
做梁
的轴力图和弯矩图(如图7-3c、d),可见,横梁
中点截面的弯矩最大,其值为
横梁各截面的轴力为
3)选择工字钢型号。
由于在横梁跨长中点的截面上弯矩最大,故此截面为危险截面。
最大压应力发生在该截面的上边缘各点处。
由强度准则
确定工字钢型号。
因强度准则含有截面A和抗弯截面系数
两个未知量,不易确定。
为便于计算,可以先不考虑压缩正应力,只根据弯曲正应力强度准则进行初步选择,然后再按拉(压)与弯曲强度准则进行校核。
由弯曲正应力强度准则
查附表型钢表,选
号工字钢,其
=102cm3
=102×
103mm3,
=21.5cm2=21.5×
102mm2。
图7-3
4)校核。
初选工字钢型号后,再按拉(压)与弯曲组合强度准则校核
所以选用
号工字钢可满足强度要求。
若不满足强度条件,可重新选择工字钢型号,直到满足强度条件为止。
第三节斜弯曲
如图7-4a所示,矩形截面梁在外力F作用下发生变形,但外力F的作用线只通过端截面的形心而不在梁的纵向对称平面内,此时梁将发生斜弯曲变形。
把外力F沿截面对称轴方向进行正交分解,斜弯曲变形就分解为两个垂直平面上的平面弯曲变形的组合。
图7-4
一、斜弯曲的应力分析
当梁发生斜弯曲时,梁的横截面上同时存在正应力和切应力,由于弯曲切应力与弯曲正应力相比,切应力的值较小,一般可以忽略不计。
先将外力F沿截面两个对称轴方向分解为Fy和Fz,分别计算Fy和Fz单独作用下的Mz和My,以及两个弯矩各自产生的正应力,然后再进行同一点应力的叠加,即得出截面任意点的应力值。
由图7-4a可知,外力F沿截面两个对称轴方向分解为Fy和Fz,其值为
则任意截面A的弯矩(图7-4b)为
其中,Mz和My下标z、y分别表示截面弯曲的中性轴。
由弯曲应力分布公式可知,截面A任意点K处的弯曲正应力分别是
Fy和Fz作用下截面A中任意点K处的弯曲应力为
(a)
式(a)即为斜弯曲时梁横截面上任意点的正应力计算公式。
式中,Iz、Iy分别为截面对z轴和y轴的惯性矩;
y和z分别为所求应力点的截面坐标。
2、斜弯曲的强度计算
1.最大应力
由图7-4b所示可见,Mz使截面A上边缘有最大拉应力、下边缘有最大压应力;
My使截面A后边缘有最大拉应力、前边缘有最大压应力。
故截面A的上、后边缘的交点处有最大拉应力,截面A的下、前边缘的交点处有最大压应力,其计算公式为:
(b)
式(b)即为任意截面的最大应力计算公式。
从式(b)可以看出,对工程常用的工字形、矩形等对称截面梁,斜弯曲时最大应力一定发生在弯矩最大截面的边缘交点处。
通常把最大弯矩的截面称为危险截面,危险截面上最大正应力的作用点称为危险点。
如图7-4a所示的矩形截面梁,其左端固定端截面的弯矩值最大,该截面是梁的危险截面。
该截面上、后边缘的交点
和下、前边缘的交点
是梁的危险点。
全梁的最大弯曲正应力为
(c)
式(c)表明,斜弯曲时梁的最大弯曲正应力必发生在弯矩最大的截面上。
2.强度准则
与平面弯曲一样,斜弯曲时梁的强度设计准则要求梁的最大工作应力(即危险截面上危险点的最大正应力)不超过材料的许用应力,即
(7-2)
此式即为斜弯曲梁的强度准则。
应用斜弯曲梁的强度准则,同样可以解决工程中常见的三类问题,即校核强度、设计截面和确定许用荷载。
但在设计截面时应注意:
因为式中存在两个未知变量Mz和My,所以在选择截面时,需先设定一个比值Mz/My(工程中一般为:
矩形截面取Mz/My=1.2~2;
工字形截面取Mz/My=6~10),然后再用式(7-2)设计截面的具体尺寸,最后对所选截面进行校核,以确保满足强度准则。
例7-3图7-5所示矩形悬臂梁,已知
kN,
kN,截面尺寸
,试计算梁的最大拉应力及所在位置。
图7-5
解 1)求最大弯矩。
梁受铅垂力
和水平力
共同作用,发生双向弯曲变形。
梁的危险截面是左端固定端截面,最大弯矩分别为
2)求最大弯曲正应力。
3)危险点位置。
最大拉应力位于固定端截面上边缘和后边缘的交点
,即梁的危险截面是固定端截面,危险点为截面的
角点。
例7-4如图7-6a所示,跨度为
=4m的简支梁拟用工字钢制成,跨中作用集中力F=7kN,其与横截面纵向对称轴y的夹角
(图7-6b),已知[
]=160MPa.试选择工字钢的型号(提示:
先假定
的比值,试选后再进行校核)。
、
解1)画弯矩图。
所得弯矩图如图
图7-6
2)分解外力。
3)求最大弯矩。
4)强度计算。
设定Wz/Wy=6,由强度准则
得
查型钢表选16号工字钢,查得
5)校核梁的强度。
梁的强度满足要求,故此梁选用16号工字钢。
第四节偏心压缩(拉伸)的强度计算
由前面章节可知:
轴向拉伸(压缩)时外力F的作用线与杆件轴线重合。
工程中,若杆件作用外力虽然沿杆件轴线方向,但不与杆件轴线重合,此时,杆件将发生拉伸(压缩)与弯曲的组合变形,简称为偏心拉伸(压缩)。
偏心拉伸(压缩)可分解为轴向拉伸(压缩)和弯曲两种基本变形的组合。
偏心拉伸(压缩)分为单向偏心拉伸(压缩)和双向偏心拉伸(压缩),本节将分别讨论两种情况下的应力和强度计算。
一、单向偏心拉伸(压缩)时的正应力和强度计算
图7-7a所示为矩形截面偏心受拉杆,平行于杆件轴线的力的作用点在y轴上,且距z轴偏心距为
,这类偏心拉伸称为单向偏心拉伸。
当F为压力时,则成为单向偏心压缩。
图7-7
分析偏心拉伸(压缩)的应力时,可将力F平移到杆件的轴线上(图7-7b),由力的平移定理可知,平移后得到的平移力F与轴线重合,使杆件发生轴向拉(压)力;
附加力偶矩
,使杆件发生平面弯曲(纯弯曲)。
由此可知,单向偏心拉(压)就是轴向拉(压)与一个平面弯曲的组合。
所以,任意横截面上最大正应力显然发生在截面的上、下边缘处(图7-7e),其强度准则是
式中,±
表示在强度计算时,对于脆性材料既要考虑拉应力强度,又要考虑压应力强度。
即杆件中的最大拉应力、压应力均不得超过材料的许用拉应力和许用压应力。
二、双向偏心拉(压)时的正应力和强度计算
图7-8a所示的偏心受拉杆,平行于轴线的力F的作用点不在截面的任何一个轴线上,偏心距分别为ey和ez。
这类偏心拉伸称为双向偏心拉伸。
当力F为压力时,称为双向偏心压缩。
图7-8
双向偏心拉压时的分析,与单向偏心拉(压)类似。
仍是将外力F平移到截面的形心处,使其作用线与杆件的轴线重合,但平移后附加的力偶不是一个,而是两个。
两个力偶的力偶矩分别是F对z轴的力矩和对y轴的力矩(图7-8b)。
截开任意横截面ABCD,截面内力如图7-8c所示,轴力FN、力矩Mz和My在截面上产生应力分布分别如图7-8d、e、f所示。
对于矩形、工字形等具有两个对称轴的横截面,在FN、力矩Mz和My的共同作用下,最大拉应力或最大压应力均发生在横截面的边角点处,其正应力的强度准则为
(7-4)
与单向偏心拉压强度准则比较,式(7-4)只是多了一项平面弯曲正应力。
在进行强度计算时,注意分析危险截面上的最大应力分布情况,确定最大正应力即危险点的位置,切勿简单套用公式。
例7-5图7-9a所示为单向偏心受压矩形截面杆件,力F的作用点位于杆端截面的
轴上,试求杆的横截面不出现拉应力时的最大偏心距emax。
解 1) 将力F平移到杆端截面的形心处并附加一力偶矩
(图7-9b)。
2)轴力
作用时横截面上各点的压应力为
3)弯矩
作用时横截面右侧边缘的最大压应力为
图7-9
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