届东城区高三二模数学试题及答案Word格式文档下载.docx
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(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(9)已知一个几何体的三视图如图所示,正(主)视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的,俯视图和侧(左)视图分别为一个正方形和一个长方形,那么这个几何体的体积是
(A)1+π
2
(C)1+π
8
(B)1+π
4
(D)1+π
(10)函数
f(x)
是定义域为R的奇函数,且它的最小正周期是T,已知
⎧
⎨
f(x)=⎪
x,x∈[0,T],
g(x)=
f(x+a)(a∈R).给出下列四个判断:
⎪T-x,x∈(T,T],
⎪⎩242
ni⋅Ti⋅T
①对于给定的正整数n,存在a∈R,使得∑g()f()=0成立;
i=1nn
②当a=T
时,对于给定的正整数n,存在
k∈R(k≠1)
,使得
n
∑g(k
i=1
i⋅T)f(i⋅T)=0成立;
nn
③当a=kT
(k∈Z)时,函数g(x)+f(x)既有对称轴又有对称中心;
④当a=kT
(k∈Z)时,
g(x)+f(x)的值只有0或T.
其中正确判断的有
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5题,每题5分,共25分。
(11)复数z=1-i的共轭复数z为.
i
1π
(12)已知cos2α=,则cos2(
32
+α)-2cos2(π-α)的值为.
(13)设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列三个结论:
①若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中,正确结论的序号为.
注:
本题给出的结论中,有多个符合题目要求。
全部选对得5分,不选或有错选得0
分,其他得3分。
(14)从下列四个条件①a=2c;
②C=π;
③cosB=-2;
④b=
7中选出三个条
64
件,能使满足所选条件
的△ABC存在且唯一,你选择的三个条件是(填写相应的序号),所选三个条件下的c的值为.
(15)配件厂计划为某项工程生产一种配件,这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机,并且每次生产时都需要花费5000元的准备费,所以需要
周期性生产这种配件,即在一天内生产出这种配件,以满足从这天起连续n天的需求,称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元(当天生产
出的配件不需要支付存储费,从第二天开始付存储费).在长期的生产活动中,为使每个生
产周期内每天平均的总费用最少,那么生产周期n为.
三、解答题共6题,共85分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(16)(本小题14分)
如图①,四边形ABCD中,AD//BC,CD⊥BC,BC=CD=1,AD=2,E为AD
中点.
将∆ABE沿BE折起到∆A1BE的位置,如图②.
(Ⅰ)求证:
平面A1EB⊥平面A1ED;
(Ⅱ)若∠AED=90,求AC与平面ABD所成角的正弦值.
111
图①图②
(17)(本小题14分)
已知{an}为等比数列,其前n项和为Sn,且满足a3=1,S3=3a2+1.{bn}为等差数列,其前n项和为Tn,如图,Tn的图象经过A,B两个点.
(Ⅰ)求Sn;
(Ⅱ)若存在正整数n,使得bn>
Sn,求n的最小值.从图①,图②,图③中选择一个适当的条件,补充在上面问题中并作答.
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
图①图②图③
(18)(本小题14分)某志愿者服务网站在线招募志愿者,当报名人数超过计划招募人数时,将采用随机抽取
的方法招募志愿者,下表记录了A,B,C,D四个项目最终的招募情况,其中有两个数据模糊,记为a,b.
项目
计划招募人数
报名人数
A
50
100
B
60
a
C
80
b
D
160
200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目,记ξ为甲同学最终被招募的项目个数,已知
P(ξ=0)=
1,P(ξ=4)=1.
4010
(Ⅰ)求甲同学至多获得三个项目招募的概率;
(Ⅱ)求a,b的值;
(Ⅲ)假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D,试判断Eξ如何变化(结论不要求证明).
(19)(本小题14分)
22
已知椭圆C:
+
=1(a>
b>
0)的一个顶点坐标为A(0,-1),离心率为3.
a2b22
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线y=k(x-1)(k≠0)与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段PQ的中点为M,点B(1,0),求证:
点M不在以AB为直径的圆上.
(20)(本小题15分)
已知f(x)=ex+sinx+ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=-2时,求证:
f(x)在(-∞,0)上单调递减;
(Ⅱ)若对任意x≥0,f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若f(x)有最小值,请直接给出实数a的取值范围.
(21)(本小题14分)
设数列:
A:
a1,a2,L,an,
B:
b1,b2,L,bn
.已知
ai,bj∈{0,1}
⎛x11
x12L
x1n⎫
ç
⎪
(i=1,2,L
n;
j=1,2,L
n),定义n⨯n数表X(A,B)=ç
x21
x22L
x2n⎪,其中
MMMM⎪
⎧1ai=bj,
⎝xn1
xn2L
xnn⎭
xij=⎨0
a≠b
⎩ij
(Ⅰ)若A:
1,1,1,0,B:
0,1,0,0,写出X(A,B);
(Ⅱ)若A,B
是不同的数列,求证:
n⨯n数表
X(A,B)
满足“
xij=xji
j=1,2,L
i≠j)”的充分必要条件为“ak+bk=1(k=1,2,L
n)”;
(Ⅲ)若数列A与B中的1共有n个,求证:
n⨯n数表X(A,B)中1的个数不大于n.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习
(二)
数学参考答案及评分标准2020.6
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
(1)B
(2)C(3)A(4)D(5)B
(6)B(7)B(8)A(9)C(10)C二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
(11)-1+i
(13)①②(14)①③④,
(15)5
(12)-1
7
,或者②③④,2
三、解答题共6小题,共85分。
(Ⅰ)证明:
因为四边形ABCD中,AD//BC,CD⊥BC,BC=1,AD=2,
E为AD中点,
所以BE⊥AD.
故图②中,BE⊥A1E,BE⊥DE.
又因为AEIDE=E,AE,DE⊂平面ADE,
所以BE⊥平面A1DE.
又因为BE⊂平面A1EB,所以平面A1EB⊥平面
A1DE.……………6分
(Ⅱ)解:
由∠A1ED=90
得A1E⊥DE,
又A1E⊥BE,BE⊥DE,
因此,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.由A1E=CD=DE=1,
得A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),
A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
uuur
则⎧⎪n⋅A1B=0,
⎧x-z=0,
⎨uuur即⎨
令z=1得x=1,y=1,
⎪⎩n⋅A1D=0,
⎩y-z=0,
所以n=(1,1,1)是平面A1BD的一个法向量.
又A1C=(1,1,-1),
设直线A1C与平面A1BD所成角为θ,
所以
uur|
sinθ=|cos〈n,AC〉|=
n⋅AC|11
u1ur==
1
|n||A1C|
3⋅3
3.…
…………14分
解:
(Ⅰ)由S=3a+1,得a=2a,即a3=
3212q2
2a3,
q
因为a3≠0,
所以q=,a1=4.
4⎛1-1⎫
⎝
ç
n⎪⎛⎫
n⎪
Sn=
2⎭=8ç
1-
1=8-23-n.……………………
1-1
…………6分
⎝2⎭
(Ⅱ)由图①知:
T1=b1=1,T3=-3,可判断d<
0,数列{bn}是递减数列;
而{8-2
3-n}
递增,由于b1<
S1,
所以选择①不满足“存在n,使得bn>
Sn”
由图②知:
T1=b1=1,T3=6,可判断d>
0,数列{bn}是递增数列;
由图③知:
T1=b1=-3,T3=0,可判断d>
0,数列{bn}是递增数列.
所以选择②③均可能满足“存在n,使得bn>
Sn”第一种情况:
如果选择条件②即T1=b1=1,T3=6,可得:
d=1,bn=n.当n=1,2,3,4,5,6,7时,bn>
Sn不成立,
当n=8时,
b=8,S
=8-23-8<
b
888
所以使得bn>
Sn成立的n的最小值为8.………………………………14分第二种情况:
如果选择条件③即T1=b1=-3,T3=0,可得:
d=3,bn=3n-6.当n=1,2,3,4时,bn>
当n=5时,b
=9,
S=8-23-5<
b成立,
555
Sn
成立的n的最小值为5.………………………………14分
(18)(本小题14分)
因为P(ξ=0)=1,
40
所以a>
60,且b>
80.
设事件A表示“甲同学被项目A招募”,由题意可知,P(A)=50
=1;
1002
设事件B表示“甲同学被项目B招募”,由题意可知,P(B)=60;
设事件C表示“甲同学被项目C招募”,由题意可知,P(C)=80;
设事件D表示“甲同学被项目D招募”,由题意可知,P(D)=160=4;
2005
(Ⅰ)由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ=4”是对立的,
所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是
1-P(ξ=4)=1-1
=9.………………………………4分
1010
(Ⅱ)由题意可知,
P(ξ=0)=P(ABCD)=(1-1)⋅(1-60)⋅(1-80)⋅(1-4)=1;
2ab
540
P(ξ=4)=P(ABCD)=1⋅60⋅80⋅4=1;
解得
510
a=120,
b=160.………………………………12分
(Ⅲ)Eξ变
大.………………………
………14分
⎧b2+c2=a2,
⎪
(Ⅰ)解:
由题意可知⎪c=3,
⎪a2
⎪b=1,
⎩
⎧a=2,
解得⎨b=1,
⎩c=3,
所以椭圆C的方程为
x+y2=1.………………………………4分
(Ⅱ)证明:
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
M(x0,y0).
⎧x2
+y2=1,
由⎨4得
⎪y=k(x-1),
(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
所以∆=(-8k2)2-4⨯(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16.
所以当k为任何实数时,都有∆>
0.
8k2
所以x1+x2=2,x1x2=
4k+1
4k2-4
.
4k2+1
因为线段PQ的中点为M,
x+x
4k2-k
所以x0=
12=
24k2+1
,y0=k(x0
-1)=
因为B(1,0),
所以AM=(x0,y0+1),BM=(x0-1,y0).
所以22
AM⋅BM=x0(x0-1)+y0(y0+1)=x0
-x0+y0
+y0
4k24k2-k-k
=()2-+()2+
4k2+14k2+14k2+14k2+1
-4k3-3k2-k
=
(4k2+1)2
-k(4k2+3k+1)
-k[4(k+3)2+7]
=816
(4k2+1)2.
又因为
k≠0,4(k+3)2+7
>
0,
所以AM⋅BM≠0,
816
所以点M不在以AB为直径的圆上.………………………………14分
f'
(x)=ex+cosx+a
对于a=-2,
当x<
0
时,ex<
1,cosx≤1,
所以f'
(x)=ex+cosx-2<
0.
所以f(x)
在(-∞,0)
上单调递
减.………………………………4分
当x=0时,f(x)=1≥1,对于a∈R,命题成立,
当x>
时,设g(x)=ex+cosx+a,
则g'
(x)=ex-sinx.
因为ex>
1,sinx≤1,
所以g'
(x)=ex-sinx>
1-1=0,
g(x)在(0,+∞)
上单调递增.
又g(0)=2+a,
所以g(x)>
2+a.
(x)在(0,+∞)上单调递增,且f'
(x)>
1当a≥-2时,f'
所以f(x)在(0,+∞)
因为f(0)=1,
所以f(x)>
1恒成立.
2当a<
-2
时,f'
(0)=2+a<
因为f'
(x)
在[0,+∞)上单调递增,
又当x=ln(2-a)时,f'
(x)=-a+2+cosx+a=2+cosx>
所以存在x0∈(0,+∞)
,对于x∈(0,x0),f'
(x)<
0恒成立.
所以f(x)在(0,x0)上单调递减,
所以当x∈(0,x0)时,f(x)<
f(0)=1,不合题意.
综上,当
a≥-2
时,对于
x≥0,
f(x)≥1恒成
立.………………………………13分
(Ⅲ)解:
a<
0.…………………………
……15分
(Ⅰ)解:
⎛0100⎫
0100⎪
X(A,B)=ç
⎪.………………………………3分
1011⎪
"
⇒"
⎧1aj=bi,
若ak+bk=1(k=1,2,L
n)
,由于xij=⎨0
xji=⎨0
a≠b,
⎩ji
令A:
a1,a2,L,an,由此数列
1-a1,1-a2,L,1-an.
由于ai=bj⇔ai=1-aj⇔ai+aj=1⇔aj=1-ai⇔aj=bi.
从而有
"
⇐"
i≠j).
若xij=xji
由于A,B是不同的数列,
(1)设a1=1,b1=0,对任意的正整数k>
1,
①若x1k=xk1=1,可得
a1=bk=1,ak=b1=0,
所以ak+bk=1.
②若x1k=xk1=0,可得
bk=0,ak=1,
同理可证
a1=0,b1=1时,有ak+bk=1(k=1,2,L,n)成立.
(2)设a1=1,b1=1,对任意的正整数k>
1若x1k=xk1=1,可得a1=bk=1,ak=b1=1,
所以有ak=bk=1,则A,B是相同的数列,不符合要求.
2若x1k=xk1=0,
得bk=0,ak=0,
可
所以有ak=bk,则A,B是相同的数列,不符合要求.
a1=0,b1=0时,A,B是相同的数列,不符合要求.
综上,有n⨯n
“ak+bk=1(k=1,2,L
数表
n)”.
”的充分必要条件为
…
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