第十九章 四边形Word文档下载推荐.docx
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思路点拨:
对于四边形的问题通常可以转化为三角形来解决,如性质一、二,可通过连结对角线AC或BD(如下图c、d)的方法将平行四边形切割成两块三角形,然后利用三角形全等证明.
【设计意图】采用学生动手画图感知得到平行四边形的两个性质,然后再应用“化归”的数学思想解决性质的严格证明,并渗透一题多解的发散思维.
三、范例点击,提高认知
例1(投影显示)如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地,其中一条边AB长为8m,其他三条边各长多少?
思路点拨:
这个实际问题首先通过周长36m的平行四边形这个条件,利用已知一条边AB=8m,很容易求出AB=DC=8m,AD=BC=10m,这是平行四边形性质中的对边相等的应用.
操作投影仪,分析例1,引导学生正确应用平行四边形的性质一,并板书,教会学生如何书写几何语言.(见课本P93)
参与教师分析,弄清解题思路.
【课堂探究】
(投影显示)
探究题:
如图,已知
ABCD中,∠A:
∠B=2:
3,求∠C,∠D的度数.
本题首先应明确
ABCD中,由于AD∥BC,因此∠A+∠B=180°
,根据已知条件∠A:
3,可以求出∠A=72°
,∠B=108°
,然后再用平行四边形性质过渡得到∠D=∠B=108°
,∠C=∠A=72°
.
操作投影仪,提出问题后,组织学生训练,关注“学困生”的学习,在巡视中发现解题中的问题,可通过让这样的学生(代表性)上台演示,发动学生纠正.
先独立思考,从已知条件中分析出思路:
要求∠C,∠D,只要能求出∠A,∠B,这样就把问题转化成熟悉的思路上来,通过两个式子:
∠A+∠B=180①,∠A:
3②用代数的代入法求得结果.【设计意图】补充这道探究题的目的是让学生有一个独立思考问题的素材.同时也是对课本例题的充实.
四、随堂练习,巩固深化
1.课本P93“练习”1、2、3.
2.【探研时空】
(1)如图,从
ABCD的顶点D和C,分别引对边AB的垂线DE和CF,交AB和它的延长线于E、F,求证:
△AED≌△BFC.
(2)求证:
平行四边形ABCD中,顶点B、D与对角线AC的距离相等.
(提示:
证出Rt△AED≌Rt△BFC)
五、课堂总结,发展潜能
本节课主要通过情境引入平行四边形定义:
两驵对边分别平行的四边形叫做平行四边形,同时引入表达符号“
”;
接着利用观察和度量以及证明得到平行四边形两个性质:
(1)平行四边形对边相等;
(2)平行四边形对角相等.
本节课除了弄清上述概念之外还应该学会严谨的书写表达,注意其完整性,同时应领悟平行四边形化归成三角形的思想,这是添加辅助线的方向.
六、布置作业,专题突破
1.课本P99习题19.11,2,6,11.
2.选用课时作业优化设计
七、课后反思
第一课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1.已知
ABCD的周长为20cm,且AD-AB=1cm,则AD=______,CD=______.
2.平行四边形内角和等于________.
3.平行四边形周长为50cm,两邻边之比为2:
3,则两邻边分别为_____.
4.如图,在
ABCD中,∠ADB=40°
,∠ABD=85°
,则∠C=_____,∠ABC=_______.
5.已知一个平行四边形的两对角和为214°
,则这个平行四边形相邻的两内角的度数分别为_________.
6.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AB=5cm,D为BC边上任意一点,DF∥AC,DE∥AB,求
ABCD的周长.
【提升“学力”】
7.连结平行四边形对边中点的线段是否能将对角线二等分?
与同伴交流.
8.如图,已知
ABCD,AD、BC的距离AE=15cm,AB、DC的距离AF=30cm,且∠EAF=30°
,求AB、BC、
ABCD面积.
【聚焦“中考”】
9.(2003年安徽省中考题)如图,在
ABCD中,AC=4,BD=6,P点BD上的任一点,过P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BP=x,EF=y,则能反映y与x之间关系的图象为()
10.(2003年北京市中考题)如图所示,在
ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF,请你以下为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的第一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).
(1)连结:
__________.
(2)猜想:
________=________.
(3)证明.
答案:
1.5.5cm,4.5cm2.360°
3.10cm,15cm4.55°
,125°
5.107°
,73°
6.10cm7.EF能将AC二等分8.30cm,60cm,900cm29.A
10.
(1)BF,
(2)BF=DE,(3)提示:
证△BCF≌△DAE.
第二课时平行四边形的性质
(二)
已学习了三角形全等证明,平行四边形定义,性质一、二的基础上,在积累了一定的经验的情况下学习本节课内容.
采用观察、操作、交流的方式解决重点突破难点.
一、动手操作,感知轻重
操作投影仪,显示“探究”中的问题(课本P94)组织学生分四人小组进行讨论,从操作中发现
ABCD的边、角关系:
“对边相等,对角相等”,然后进一步启发学生去发现对角线交点O到平行四边形四个顶点的距离的关系.
分四人小组,画图、操作、交流,从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O(两个对角线的交点)旋转180°
仍和
EFGH重合,从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的三个性质.
操作投影仪,提出下面问题:
已知
ABCD中,AC、BD交于O,图中有哪些三角形全等?
哪些线段是相等的?
请同学们用多种方法加以验证.
合作学习,相互讨论自己的思维,并交流不同的验证思路.
图中有四对三角形全等,分别是:
△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABD≌△BCD,△ADC≌△CBA.有如下线段相等:
OA=OC,OB=OD,AD=BC,AB=DC,证明中应用到“AAS”,“ASA”证明.
师生归纳:
平行四边形性质三:
平行四边形对角线互相平分.
【设计意图】采用动手操作感知,辅以三角形全等知识的应用,发现、验证了所要学习的内容,解决了重点突破了难点.
二、范例点击,应用所学
例2(投影显示)
如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求BC、CD、AC、OA的长以及
可以利用平行四边形对边相等求出BC=AD=8,CD=AB=10,在求AC长度时,因为∠ACB=90°
,可以在Rt△ACB中应用勾股定理求出AC==6,由于OA=OC,因此AO=3,求
ABCD面积是48.
分析讲例2,教会学生分析思路是本例的重点.渗透“综合分析法”.
参与教师分析,学会几何分析的基本思路.学会“综合分析法”.
【设计意图】对于几何计算或证明,分析思路和方法是根本,通过本例,让学生学会如何分析,学会如何严格的书写突破用几何语言书写表达的难点.
【课堂演练】
演练题1已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12cm,BD=18cm,AD=13cm,求△BOC的周长.(答案:
28cm)
演练题2已知
ABCD的周长为48cm,AB比AC长4cm,那么这个四边形的各边长为多少?
(答案:
AB=CD=14cm,BC=AD=10cm)
演练题3在
ABCD中,已知∠B+∠D=140°
,求∠C度数.(答案:
110°
)
操作投影仪,显示“课堂演练题”,巡视、启发,关注“学困生”,可以请部分学生上讲台“板演”,然后与学生一起共同纠正存在的问题.
独立完成课堂演练题.学会应用平行四边形性质.
演练题1应用平行四边形的对边相等求得BC=13cm,再应用平行四边形对角线互相平分求出BO=
BD=9cm,OC=
AC=6cm;
演练题2主要应用平行四边形对边相等可知AB+BC=
×
48=24cm,再利用AB=BC+4这两个等式,以代数的手法求之;
演练题3,应用平行四边形对角相等,得∠B=∠D=70°
,再通过∠C+∠B=180°
求出∠C度数.
三、随堂练习,巩固深化
1.课本P95“练习”1、2.
如图,
ABCD中,DE垂直平分AB,
ABCD的周长为5cm,△ABD的周长比
ABCD的周长少1.5cm,求平行四边形各边长.
△ABC的周长比
ABCD的周长少1.5cm,实际上说,BD比BC+DC少1.5cm,∴DA=DB=(BC+DC)-1.5=1)[答案:
1cm,1.5cm,1cm,1.5cm].
四、课堂总结,发展潜能
平行四边形
定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
性质:
(1)边的性质:
对边平行且相等.
(2)角的性质:
对角相等,邻角互补.
(3)对角线的性质:
对角线互相平分.
备注:
小结中应直观应用图形帮助记忆.
五、布置作业,专题突破
1.课本P100习题19.13,8,9
六、课后反思
第二课时作业优化设计
1.
ABCD中,∠A的余角与∠B的和是120°
,则∠A=_____,∠B=______.
2.平行四边形的周长等于56cm,两邻边的长的比为3:
1,那么这个平行四边形较长的边长为_________.
3.
ABCD的周长为60cm,对角线交于O,△AOB的周长比△BOC的周长大8cm,则AB、BC的长分别是_________.
4.
ABCD中,周长为50cm,AB=15cm,∠A=30°
,则此平行四边形的面积为______.
5.如图,EF为
ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长是().
A.12B.13C.14D.16
6.一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm和5cm,它们的夹角是30°
,这个平行四边形的面积是().
A.10cm2B.10
cm2C.5cm2D.5
cm2
7.如图,
ABCD中,∠ABC=3∠A,F是CB的延长线上一点,EF⊥DC于E,CF=CD,若EF=3cm,求DE长.
8.如图,
ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=30°
,AE=4cm,AF=3cm,求
ABCD周长.
9.(2004年江苏省南京市中考题)如图,E、F是
ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.
求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)BE∥DF.
10.(2002年福州市中考题)如图,已知
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O,且与BC、AD分别相交于点E、F,求证:
OE=OF.
答案:
1.75°
,105°
2.21cm3.19cm,11cm4.75cm25.A6.A7.3
-38.28cm9.
(1)提示:
证∠DCA=∠CAB,用“SAS”解决,
(2)提示:
证∠FEB=∠DFE
10.提示:
证△BEO≌△DFO(ASA)
平行四边形的判定
(1)
学法解析
1.认知题后:
学习了三角形全等、平行四边形定义、性质以后学习本节课内容.
采用动手操作来发现新的知识,通过交流形成知识体系.
一、回顾交流,逆向思索
1.平行四边形定义是什么?
如何表示?
2.平行四边形性质是什么?
如何概括?
思考后举手回答:
回答:
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(教师在黑板上画出下图:
帮助学生直观理解)
回答:
2.平行四边形性质从边考虑:
(1)对边平行,
(2)对边相等,(3)对边平行且相等(“
”);
从角考虑:
对角相等;
从对角线考虑:
两条对角线互相平分.(借助上图直观理解).
平行四边形
操作投影仪,显示课本P96和P97“探究”的问题.用问题牵引学生动手操作、思考、发现、归纳、论证,可以让学生分成4人小组讨论,然后再进行小组汇报,教师同时也拿出教具同学在一起探索.
学生活动:
分四人小组,拿出准备好的学具探究.在活动中发现:
(1)将两长两短的四根细木条(或用硬纸片),用小钉铰合在一起,做成四边形,如果等长的木条成对边,那么无论如何转动这四边形,它的形状都是平行四边形;
(2)若将两根细木条中点用钉子钉合在一起,用像皮筋连接木条的顶点,做成一个四边形,转动两根木条,这个四边形是平行四边形.(3)将两条等长的木条平行放置,另外用两根木条(不一定等长)用钉子予以加固,得到的四边形一定是平行四边形.(如下图)
归纳学生的发言,将问题引入到平行四边形判定方法上来.
(借助上面的性质归纳)
平行四边形判定与性质:
具体内容见课本P96~P97,教师此时可引导学生对定理进行证明.
提出问题:
同学们能否证明出上面所提出的判定呢?
开始证明上面提出的判定方法.主要是通过辅助线将四边形切割成一对三角形,再证明这对三角形全等把问题归结到定义上去.
评析:
在教师的指导下,学生学会添加辅助线,并学会数学的化归思想,这是几何学的重要环节,应予以突破.
【设计意图】将两个“探究”应用操作感知的方法来发现,再应用数学化归思想,借助辅助线予以推理论证,达到解决重点,突破难点的目的.
例3(投影显示)
如图,
ABCD的对角线AC,BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.
例3的证明方法有多种,思路1:
用课本的证法,依据平行四边形的对角线性质为方向,用AE=CF,可得OE=OF,OB=OD,从而得证.思路2:
连接BE、DF,利用三角形全等来证明四边形BFDE的两组对边分别相等.思路3:
证明△ADE≌△BCF得到DE=BF,∠DEO=∠BFO.从而推出DE∥BF,也就是说用一组对边平行且相等的方法来证.但课本的证法最简单.
操作投影仪,分析例3,引导学生从不同的思路来证明例3.拓宽学生的思维,请部分学生上讲台演示.
分四人小组,合作交流,对例3提出不同的证明思路.踊跃上台“板演”.
【设计意图】以例3为素材,发展学生一题多证的发散性思维,同时将上面的三种平行四边形的判定方法进行应用、归纳,形成切入点,但要注意采用最优证法.
演练题:
在
ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,四边形AECF是平行四边形吗?
证明你的结论.
本道题有多种证法,如:
可以从一组对边平行且相等的角度切入去证AE
FC;
也可以从两组对边分别相等的切入点予以证明,去证AE=FC,AF=EC.
操作投影仪,组织学生训练,巡视、关注“学困生”的思维,发现好的证明方法.
独立思考,应用所学知识切入进行证明,形成分析思路,注意问题转化.踊跃上台演示.
在学生充分思考的基础上,请几位不同证明方法的学生上讲台演示,同时纠正书写表达方法.
应用一组对边平行且相等的方法较为简捷,在分析中要善于将未知问题逆推转化成能够解决的熟悉问题.
【设计意图】让学生反复认识,学会分析.
1.课本P97“练习”1,2.
ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F、G、H分别为AD、BC的中点,求证:
EF和GH互相平分.(请用两种不同的证法).
课本P97“练习2”可以做为平行四边形的又一判定方法.
平行四边形判定:
1.边的关系:
2.角的关系:
证明两组对角分别相等.
3.对角线的关系:
证明两条对角线互相平分.
借助图形来理解,总结.
1.课本P100习题19.14,5,10,12
第三课时作业优化设计
1.在
ABCD中,若∠B-∠A=60°
,则∠D=________.
2.平行四边形的长边是短边的2倍,一条对角线与短边垂直,则这个平行四边形的各角是__________.
3.如果一个平行四边形的一边长是8,一条对角线长为6,那么它的另一条对角线的长x的取值范围是________.
4.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形,在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是().
A.4个B.3个C.2个D.1个
5.以长为3cm、4cm、6cm的三条线段中的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出不同形状的平行四边形().
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.已知:
如图
ABCD中,DM=BN,BE=DF,求证:
四边形MENF是平行四边形.
7.已知:
如图,△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形,求证:
四边形ADEF是平行四边形.
8.(2004年黑龙江省哈尔滨市中考题)如图,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于点F、G,连接AC交BD于O,连结OF.求证:
AB=2OF.
1.120°
2.60°
,120°
,60°
3.10<
x<
224.B5.C
6.提示:
证△BEN≌△DFM,∴EN=FM,再证:
△BFN≌△DEN
7.提示:
△CEF≌△CBA,∴EF=BA=AD,同理△BDE≌△BAC,DE=AC=AF,∴ADEF
8.连结BE,∵
ABCD,∴AB
CD,AO=OC,
∵CE=CD,∴AB
CE,∴AB
EC,
∴BF=FC,∴OF
AB,∴AB=2OF.
平行四边形的判定
(2)
三角形、平行四边形有关知识.
采用“讲授法”教学,学生以观察、分析、探讨的方式学习.
一、回顾交流,归纳提升
【课堂温习】
1.平行四边形的定义是什么?
2.平行四边形具有哪些性质?
3.平行四边形是如何判定的?
教师板书:
画出一个平行四边形,如下图.(帮助理解)
踊跃发言,相互讨论,归纳出平行四边形的性质与判定.
(教师板书)
如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,E、F分别为BO、DO的中点.求证:
AF∥CE.(请你用两种方法证明)
方法1:
证明△AOF≌△COE,推出∠AFE=∠CEF,从而得证AF∥CE.方法2:
连结AE,CF,去证明四边形AECF为平行四边形.
组织学生完成“演练题”,巡视、关注“学困生”,对于思路较好的学生,请他们完成后再上台演示.教师注意纠正他们的书写.
独立完成“演练题”,结合本道题,回顾和应用平行四边形性质,判定.
【师生共识】
构图:
【设计意图】采用先回顾(提问式)平行四边形性质、判定,再通过“演练题”进行实际应用,这样不空洞,且能调动积极性,有利于归纳、提升.
二、问题牵引,导入新知
例4如图,点D,E分别是△ABC的边AB、AC的中点,求证DE∥BC,且DE=
BC.
对于证明某条线段是某条线段的一半,常用的几何方法是“加倍法”,“折半法”,通过三角形全等把问题化归到平行四边形问题中去,然后再利用平行四边形的有关概念、性质来解决.本题可以延长DE到F,使EF=DE,通过连结AF、FC、CD把问题转化到
ADCF中去,再根据平行四边形性质证明
DBCF.
板书例4,分析并引导学生积极参与.教会学生如何添加辅助线,如何书写辅助线的添加法,然后板书出例4的证明.
参与教师分析例4,学会“加倍法”的几何分析思路.
教师板书例4证法:
(见课本P98)
教师问题:
还有没有不同于课本的证法呢?
相互讨论,踊跃发言,想出不同的证法.上讲台演示.
参考证法:
证法:
延长DE到F使得EF=DE,连结FC,证△ADE≌△FEC,得到AD=FC(割补法),再利用BDCF证出DB
CF,从而得到DF=BC,推出DE=
BC,DE∥BC.
能用折半法吗?
试一试!
归纳学生的不同证法,然后应用例4的结论导入新知:
(口述后让学生翻开课本画一画).
三角形中位线定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有几条中位线?
中位线和三角形的中线一样吗?
学生回答:
有三条中位线,中位线是两边中点连线段;
而中线是顶点和对边中
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