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对给出的半序集能够判定是否为格,对给出的格能够求出所有的子格,并能够用格的性质证明一些等式等。
熟练掌握有界格、有余格和分配格的概念及其有关证明问题。
熟练掌握布尔代数的概念及其运算。
能够熟练地运用布尔代数性质对给定的布尔表达式进行化简或证明。
第七章图论
掌握图、子图、支撑子图和同构图的概念以及图的关联矩阵和相邻矩阵的表示。
对给出的图能够判断是否是支撑子图等。
对给出的图能够用关联矩阵和相邻矩阵表示出来,反之亦然。
掌握路的基本概念,能够用迪克斯特拉算法求出权图中的最短路。
掌握树、支撑树、二叉树的概念,对给出的二叉树能够按先根次序、中根次序、后根次序进行遍历。
掌握最优支撑树的概念及用克鲁斯卡尔算法求出最优支撑树的方法。
掌握欧拉图与欧拉路的概念,对给出的图判定是否是欧拉图或一笔划图。
了解最优支撑树定理、树与有向树的转化定理、哈密顿图和平面图。
第二部分综合练习
一、填空题
1.已知集合A={φ,1,2},则A得幂集合p(A)=________。
2.设集合E={a,b,c,d,e},A={a,b,c},B={a,d,e},则A∪B=________,A∩B=________,A-B=________,~A∩~B=________。
3.设A,B是两个集合,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B=________,ρ(A)-ρ(B)=________。
4.设A={x|-1≤x<
2,x∈R},B={x|0<
x≤5,x∈R},则A-B=________,B-A=________,~A=________,~B=________。
5.由集合运算的吸收律,A∩(A∪B)=________,A∪A∩B=________。
6.由集合运算的基本定律:
(1)A∩A=A,满足________律;
(2)A∪E=E,满足________律;
(3)A∩E=A,满足________律;
(4)A∩~A=φ,满足________律。
7.对于任意集合A,B,德·
摩根律为________。
8.设A,B是两个有限集合,则包含排斥定理|A∪B|=________。
9.序偶(a,b)=(x,y)的充分必要条件是________。
10.A,B是两个集合,其中A={1,2},B={a,b,c},则A×
B=________,B×
A=________。
11.设集合A={a,b,c,d},A上的关系R={(a,a),(a,c),(b,d)},则关系R2=________。
12.设集合A={1,2,3,4},R为A上的一个二元关系,R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,3),(4,4)},则R的关系矩阵MR=________,R的关系图为________。
13.设R1,R2是集合A={a,b,c,d}上的二元关系,其中R1={(a,a),(a,b),(b,d)},R2={(a,d),(b,c),(b,d),(c,b)},
则R1·
R2=________,
=________。
14.设集合A={1,2,3},r和t都是A上的映射,r={(1,2),(2,1),(3,3)},t={(1,3),(2,2),(3,2)},则t·
r=________,r·
r=________。
15.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是________,其中双射是________。
16.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={(a,a),(a,c),(b,a),(c,c),(c,d),(d,c)},则R-1的关系矩阵
=________,R-1的关系图为________。
17.设集合A={1,2,3},A上的二元关系R的关系图如图1所示,则关系R具有的性质是________
图1
18.设集合A={0,1,2,3,4,5},A上的关系R={(0,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)},则R在A上构成的等价类是________。
19.设集合A={a,b,c,d,e},A上半序关系R的哈斯图如图2所示,则A的极大元为________,极小元为________。
图2
20.已知命题公式G=(P(QR)),则所有的使G取真值为1的解释是________。
21.已知命题公式G=(PQ)R,则G的主析取范式是________。
22.设一阶逻辑公式G=xP(x)xQ(x),则G得前束范式是________。
23.设D:
{a,b},将表达式xy(x,y)中的量词消除后,与之等价的命题公式是________。
24.设G是由12个元素构成的循环群,a是G的一个生成元素,则G有________个子群,G的生成元素集合是________。
25.设集合M={1,2,3},G是M上的置换群,H={I,(1,3)}是G的子群,则H的右陪集为________。
26.设循环群G有6个元素,a是生成元素,则G的全部子集是________。
27.设L是一个集合,×
,⊕是L中两个二元运算。
如果这两个二元运算满足________律、________律和________律,则(L,×
,⊕)称做是一个格。
28.设格中表达式E=(a⊕b)×
(c⊕d),则E的对偶表达式E*=________。
29.设(L,×
,⊕,0,1)是有界格,a是L中的一个元素,如果存在元素b,使得________,则b称为a的余元素。
30.设(B,·
,+,-,0,1)是布尔代数,a,b,c是集
合B中任意元素,则(a·
b)+(a·
b·
)+(a·
·
c)+(a·
)=________。
31.设G是完全二叉树,G有15个点,其中有8个叶点,则G有________条边,G的总度数是________,G的分枝点数是________,G中度数为3的顶点数是________。
32.无孤立点的有限有向图有欧拉路的充要条件是________。
33.设图G的相邻矩阵为
则G的顶点数为________,边数为________。
34.对图(图3)中二叉树的点
图3
先根遍历的次序是________,中根遍历的次序是________。
二、单项选择题
1.设X,Y为集合,当()时,X-Y=Y。
A.X=YB.
C.
D.X=Y=φ
2.下列式子中正确的有()。
A.φ=0B.φ∈{φ}
C.φ∈{a,b}D.φ∈φ
3.设集合X={x,y},则ρ(X)=()。
A.{{x},{y}}B.{φ,{x},{y}}
C.{φ,{x},{y},{x,y}}D.{{x},{y},{x,y}}
4.某个集合的元数为10,可以构成()个子集。
A.10B.20C.102D.210
5.对于任意集合S,S∪φ=S,满足()。
A.等幂律B.同一律
C.零一律D.互补律
6.设X、Y、Z为任意集合,下列命题正确的有()。
A.若X∪Y=X∪Z,则Y=Z
B.若X∩Y=X∩Z,则Y=Z
C.若~X∪Y=E,则X=Y
D.X-Y=φ,则X=Y
7.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R具有()。
A.自反性B.传递性
C.对称性D.以上答案都不对
8.设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2)},则R不具有关系的()性质。
A.自反性B.对称性
C.传递性D.反对称性
9.设R1,R2是集合A={1,2,3,4}上的两个关系,其中R1={(1,1),(2,2),(2,3),(4,4)},R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)},则R2是R1的()闭包。
A.自反B.对称
C.传递D.以上都不是
10.设集合A={1,2,3},r,s和t都是AA的映射,其中r={(1,2),(2,1),(3,3)},s={(1,3),(2,2),(3,2)},t={(1,3),(2,1),(3,1)},则t=()。
A.r·
sB.s·
tC.r·
rD.s·
s
11.设集合A={a,b},A上的二元关系R={(a,a),(a,b)},则R是()。
A.等价关系但不是半序关系
B.是半序关系但不是等价关系
C.既是等价关系又是半序关系
D.既不是等价关系也不是半序关系
12.设集合A={a,b,c},A上关系R的关系图如图4所示,则R具有()。
A.自反性、对称性、传递性
B.自反性、传递性
C.对称性、反对称性
D.对称性、反对称性、传递性
图4
13.设R为实数集,映射s:
RR,s(x)=-x2+2x-1,则s是()。
A.单射而非满射B.满射而非单射
C.双射D.既不是单射也不是满射
14.设集合A={1,2,3,…,10},半序关系≤是A上的整除关系,则半序集(A,≤)上元素10是集合A的()。
A.最大元B.最小元
C.极大元D.极小元
15.设集合A={a,b,c,d,e},半序关系R的哈斯图如图5所示。
若A的子集B={c,d,e},则元素c为B的()。
A.下界B.最大下界
C.最小上界D.以上答案都不对
图5
16.设命题公式G=(PQ)P,则G是()。
A.恒假的B.恒真的
C.可满足的D.析取范式
17.设命题公式G=(PQ),H=P(QP),则G与H的关系是()。
A.
B.
C.G=HD.以上都不是
18.设命题公式G=P(QP),则使G为真的解释是()。
A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)
19.设G,H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=xP(x),H=xP(x),则一阶逻辑公式G
H是()。
A.恒假的B.恒真的
C.可满足的D.前束范式
20.下面给出的一阶逻辑等价式中,()是错的。
A.x(A(x)∨B(x))=xA(x)∨xB(x)
B.x(A(x)∨B(x))=xA(x)∨xB(x)
C.xA(x)=x(A(x))
D.AxB(x)=x(AB(x))
21.设G是群,G有()个元素,则不能肯定G是交换群。
A.4个B.5个C.6个D.7个
22.下面的代数系统(G,*)中,()不是群。
A.G为整数集合,*为加法
B.G为偶数集合,*为加法
C.G为有理数集合,*为加法
D.G为有理数集合,*为乘法
23.设G是有6个元素的循环群,a是生成元素,则G的子集()是子群。
A.{a}B.{a,e}C.{e,a3}D.{e,a,a2}
24.设σ1,σ2,σ3是三个置换,其中σ1=(12)(23)(13),σ2=(24)(14),σ3=(1324),则σ3=()。
A.σ12B.σ1σ2C.σ22D.σ2σ1
25.如图6所示,半序集中哪个不是格?
()
图6
26.设(L,≤)是格,a,b是L中任意元素,a≤b,则下面的公式()成立。
A.a⊕b=aB.a×
b=b
C.a×
b=aD.b×
(a⊕b)=a
27.图7所示的格中,()不是分配格。
图7
28.设(B,·
,+,-,0,1)是布尔代数,a,b是B中元素,a≤b,则下面()公式不成立。
A.a·
=0B.
+b=1
C.a+
=1D.
+
=
29.设G是由5个顶点组成的完全图,则从G中删去()条边可以得到树。
A.6B.5C.10D.4
30.图8是()。
图8
A.完全图B.平面图
C.哈密顿图D.欧拉图
31.G是连通的平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数为()。
A.6B.5C.11D.9
32.已知图G的相邻矩阵为
,则G的边数与分枝数为()
A.5,3B.4,2C.5,1D.6,4
三、计算题
1.设全集E=N,有下列子集:
A={1,2,8,10},B={n|n2<
50,n∈N},C={n|n可以被3整除,且n<
20,n∈N},D={n|2i,i<
6且i、n∈N}
求下列集合:
(1)A∪(C∩D)
(2)A∩(B∪(C∩D))
(3)B-(A∩C)(4)(~A∩B)∪D
2.设集合A={a,b,c},A上二元关系R1,R2,R3分别为:
R1=A×
A,R2={(a,a),(b,b)},R3={(a,a)},试分别用
定义和矩阵运算求R1·
R2,
,R1·
R2·
R3,(R1·
R2·
R3)-1。
3.设集合A={1,2,3},R1与R2是A上的二元关系,分别为:
R1={(1,1),(1,2),(2,2),(3,2),(3,3)},
R2={(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(1,3),(3,3)}
(1)试分别写出R1,R2的关系矩阵。
(2)分别画出R1,R2的关系图。
(3)判定R1,R2各具有关系的哪几种性质(自反性、对称性、反对称性、传递性)。
4.设集合A={a,b,c},R是集合A上的关系,R={(a,b),(b,a),(b,c)},求r(R),s(R),t(R),并分别画出它们的关系图。
5.设集合A={a,b,c,d},A上关系R的关系图如图9所示,试求r(R),s(R),t(R),并分别画出它们的关系图。
图9
6.设R是集合A={1,2,3,4,5,6}上的两个关系,R={(1,1),(1,3),(1,6),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(3,6),(4,4),(5,2),(5,5),(6,1),(6,3),(6,6)}
(1)验证R是等价关系。
(2)画出R的关系图。
(3)写出A关于R的等价类。
7.设集合A={1,2,3,…,12},R为整除关系,
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图。
(2)写出集合A的最大元、最小元、极大元和极小元。
(3)写出A的子集B={3,6,9,12}的上界、下界、最小上界和最大下界。
8.设σ,τ,φ是实数集合R上的三个映射,
其中,σ(x)=x/5,τ(x)=2x+3,φ(x)=x2+1
对x∈R,试求复合映射σ·
τ,τ·
σ,τ·
φ和σ·
φ·
τ,并指出这些映射中哪些是双射?
9.设命题逻辑公式G=(R∧(PQ))∨S,写出G的析取范式与合取范式。
10.求命题公式G的主析取范式,其中G=(PQ∨R)∨((P∨Q)∧(Q∨R))
11.化简下列各式
(1)A∨(A∨(B∧B))
(2)(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)
12.试将下列公式化为析取范式和合取范式
(1)P∧(PQ)
(2)(P∨Q)
(P∧Q)
(3)((P∨Q)R)P
(4)(PQ)
(QP)
13.设公式G的真值表如表1,试求出G的主析取范式和主合取范式。
表1
P
Q
R
G
1
14.将下面命题符号化
(1)某些人对某些食物过敏。
(2)对于任一个正整数,总存在一个更大的正整数。
15.设P(x):
x是人;
F(x,y):
x是y的父亲;
M(x,y):
x是y的母亲;
试用谓词公式表示:
x是y的外祖父;
16.设一阶逻辑公式:
G=(xP(x)∨yR(y))xF(x),把G化成前束范式。
17.设G是由M={1,2,3,4}上的偶置换在置换的乘法下做成的群,写出G的所有元素及所有元素≤4的子群。
18.设M={1,2,3},写出M的置换群及所有子群,并问哪些是正规子群,指出正规子群的指数。
19.已知σ和τ是两个置换σ=
,τ=
,计算(στ)9。
20.设(B,·
,+,-,0,1)是布尔代数,a,b,c∈B,化简abc+ab
+bc+
bc+
b
。
21.设(B,·
,+,-,0,1)是布尔代数,a,b,c∈B,化简((a·
)+c)·
(a+b)·
c。
22.写出图10所示的关联矩阵和相邻矩阵。
图10
23.根据如下的相邻矩阵,画出它所对应的图G。
A(G)=
24.求权图(图11)中从u到v的最短路。
图11
25.分别用三种不同的遍历方式写出对图(图12)中二叉树点的访问次序。
图12
26.已知一棵二叉树在中根遍历下各点的次序是:
BFDGACIJHKE,在后根遍历下各点的次序是:
FGDBJIKHECA,试找出这样一棵二叉树,并问这样的二叉树是否惟一。
27.求图中权图(图13)的最优支撑树。
图13
28.判断图(图14)中各图是否是欧拉图。
图14
四、证明题
1.设A,B,C为三个任意集合,试证明:
(1)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
(2)A∪(B∩C)=A∪((B-A)∩(A∪C))
(3)(A∪(B-A))-C=(A-C)∪(B-C)
(4)((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A)=B-A
2.证明下面的等价式:
(1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)=R
(2)(P∧(Q∧S))∨(P∧(Q∧S))=(Q∧S)
(3)P(QR)=(P∧Q)R
(4)(P
Q)=(P∧Q)∨(P∧Q)
3.利用蕴涵定义证明:
(PQ)(R∨Q)∧R
P。
4.判断公式G=((PQ)∧(QR)∧P)R是恒真的。
5.利用形式演绎法证明:
{A∨B,B∨C,CD}蕴涵AD。
6.利用推演法证明:
(P∧Q)(P∨(P∨Q))=P∨Q
7.利用将公式化为范式的方法,证明:
G=H。
其中G=(AB)(A∧B),
H=(AB)∧(BA)
8.利用一阶逻辑的基本公式,证明:
xy(F(x)G(y))=xF(x)yG(y)
9.设(L,≤)是一个分配格,a,b,c∈L,证明:
(a⊕b)×
c≤a⊕(b×
c)。
10.设(L,≤)是一个分配格,x,y是格中任意元素,如果对格中某个元素a,有
a×
x=a×
y,a⊕x=a⊕y,则x=y。
【参考答案】
1.{φ,{φ},{1},{φ,1},{φ,2},{1,2},A}
2.{a,b,c,d,e};
{a};
{b,c};
φ
3.{3};
{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
4.{x|-1≤x≤0};
{x|2≤x≤5};
{x|x<
1,或x≥2};
{x|x≤0,或x>
5}
5.A;
A
6.等幂律;
零一律;
同一律;
互补律
7.~(A∪B)=~A∩~B,~(A∩B)=~A∪~B
8.|A|+|B|-|A∩B|
9.a=x,b=y
10.{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)};
{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
11.{(a,a),(a,c)}
12.MR=
R的关系图如图15。
图15
13.{(a,d),(a,c)};
{(a,a),(a,b),(a,d)}
14.{(1,2),(2,3),(3,2)};
{(1,1),(2,2),(3,3)}
15.σ1={(a,1),(b,1)},σ2={(a,2),(b,2)},σ3={(a,1),(b,2)},σ4={(a,2),(b,1)};
σ3,σ4
16.
R-1的关系图如图16。
图16
17.自反性、反对称性、
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