专题19 与圆有关的角.docx
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专题19与圆有关的角
专题19与圆有关的角
阅读与思考
与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的,直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角,在理解与圆有关的角的概念时,要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.
角在解题中经常发挥重要的作用,是证明角平分线、两线平行、两线垂直,判定全等三角形、相似三角形的主要条件,而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件,是解题中最活跃的元素.
熟悉以下基本图形和以上基本结论.
例题与求解
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC=,BC=2,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,则△CDE的面积为___________.(海南省竞赛题)
例1题图例2题图
解题思路:
作DF⊥BC于F,需求出CE,DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.
【例2】如图,△ABC内接于⊙O,M是的中点,AM交BC于点D,若AD=3,DM=1,则MB的长是()
A.4B.2C.3D.
解题思路:
图中隐含许多相等的角,利用比例线段计算.
【例3】如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中,
∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:
B,C,E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:
MN=OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?
若是,请证明;若不是,说明理由.
解题思路:
对于
(2),充分利用条件中的多个中点,探寻线段之间的数量关系与位置关系.
【例4】如图所示,ABCD为⊙O的内接四边形,E是BD上的一点,
∠BAE=∠DAC.求证:
(1)△ABE∽△ACD;
(2)AB·DC+AD·BC=AC·BD.(陕西省竞赛试题)
解题思路:
由
(1)可类比猜想,为
(2)非常规问题的证明铺平道路.
【例5】如图1,已知⊙M与x轴交于点A,D,与y轴正半轴交于点B,C是⊙M上一点,且A(-2,0),B(0,4),AB=BC.
(1)求圆心M的坐标;
(2)求四边形ABCD的面积;
(3)如图2,过C点作弦CF交BD于点E,当BC=BE时,求CF的长.
解题思路:
作出基本辅助线(如连接BM或AC),这是解
(1)、
(2)的基础;对于(3),由BC=BE,得∠BEC=∠BCE,连接AC,将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角,导出CF平分∠ACD,这是解题的关键.
【例6】如图,AB,AC,AD是⊙O中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE.
求证:
(1)∠CAD=2∠DBE;
(2)AD2-AB2=BD·DC.(浙江省竞赛试题)
解题思路:
对于
(2),AD2-AB2=(AD+AB)(AD-AB)=(AD+AE)(AD-AE)=(AD+AE)·DE,需证(AD+AE)·DE=BD·DC,从构造相似三角形入手.
能力训练
A级
1.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC=30°,点P在线段OB上运动.设∠ACP=x,则x的取值范围是________.
2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,F是CG的中点,延长AF交⊙O于E,CF=2,AF=3,则EF的长为________.
3.如图,AB,CD是⊙O的两条弦,它们相交于点P.连接AD,BD,已知AD=BD=4,PC=6,那么CD的长为________.
4.如图,圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P,已知AB=BC,CD=BD=1.设AD=x,用x的代数式表示PA与PC的积:
PA·PC=__________.(宁波市中考试题)
5.如图,ADBC是⊙O的内接四边形,AB为直径,BC=8,AC=6,CD平分∠ACB,则AD=()
A.50B.32C.5D.4
第4题图第5题图第6题图
6.如图,在△ABC中,AD是高,△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G,有下列四个结论:
①AD2=BD·CD;②BE2=EG·AE;③AE·AD=AB·AC;④AG·EG=BG·CG.其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(哈尔滨市中考试题)
7.如图,正△ABC内接于⊙O,P是劣弧上任意一点,PA与BC交于点E,有如下结论:
①PA=PB+PC;②;③PA·PE=PB·PC.其中正确结论的个数是()(天津市中考试题)
A.3个B.2个C.1个D.0个
8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,延长AD,BC交于点M,延长AB,DC交于点N,∠M=20°,∠N=40°,则∠A的大小为()
A.35°B.60°C.65°D.70°
第7题图第8题图第9题图
9.如图,已知⊙O的内接四边形ABCD中,AD=CD,AC交BD于点E.
求证:
(1);
(2)AD·CD-AE·EC=DE2;(扬州市中考试题)
10.如图,已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5,对角线AC与BD交于点E,且AB2=AE•AC,BD=8,求△ABD的面积.(黑龙江省中考试题)
11.如图,已知⊙O的内接△ABC中,AB+AC=12,AD⊥BC于D,AD=3.设⊙O的半径为y,AB的长为x.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当AB的长等于多少时,⊙O的面积最大?
并求出⊙O的最大面积.(南京市中考试题)
12.如图,已知半圆⊙O的直径AB=4,将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上.当三角板绕着O点转动时,三角板的两条直角边与半圆周分别交于C,D两点,连接AD,BC交于点E.
(1)求证:
△ACE∽△BDE;
(2)求证:
BD=DE;
(3)设BD=x,求△AEC的面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(广东省中考试题)
B级
1.如图,△ABC内接于直径为d的圆,设BC=a,AC=b,那么△ABC的高CD=__________.
2.如图,在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴相交于点A(0,),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC=__________.
第1题图第2题图第3题图
3.如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,设∠COD=α,则=________.(江苏省竞赛试题)
4.如图,已知圆内接四边形ABCD中,AD≠AB,∠DAB=90°,对角线AC平分∠DAB.若AD=a,AB=b,则AC=___________.(“东亚杯”竞赛试题)
5.如图,ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形,AB=5,PC=4,分别延长AB和DC,它们相交于点P,若∠APD=60°,则⊙O的面积为()
A.25π B.16π C.15π D.13π
6.如图,AB=AC=AD,若∠DAC是∠CAB的k倍(k为正数),那么∠DBC是∠BDC的()
A.k倍 B.2k倍 C.3k倍 D.以上答案都不对
第4题图第5题图第6题图
7.如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,AB=AC,过A,D两点的圆与AB,AC分别相交于E,F,弦EF与AD相交于点G,则图中与△GDE相似的三角形的个数为()
A.5个B.4个C.3个D.2个
8.如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,CD=BD,∠C=70°,现给出以下四个结论:
①∠A=45°;②AC=AB;③;④CE·AB=2BD2.其中正确结论的序号是()
A.①②B.②③C.②④D.③④
(苏州市中考试题)
第7题图第8题图第9题图
9.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙O的直径,E为DC边上一点,若AE∥BC,AE=EC=7,AB=6.
(1)求AD的长;
(2)求BE的长.(绍兴市竞赛题)
10.如图1,已知M(,),以M为圆心,MO为半径的⊙M分别交x轴,y轴于B,A.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)C是上一点,若BC=,试判断四边形ACOM是何种特殊四边形,并说明理由;
(3)如图2,在
(2)的条件下,P是上一动点,连接PA,PB,PC.当P在上运动时,
求证:
的值是定值.
11.如图,四边形ABCD为正方形,⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P,分别交AB,AD于点F,E.
(1)求证:
DE=AF;
(2)若⊙O的半径为,AB=+1,求的值.(江苏省竞赛题)
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- 专题19 与圆有关的角 专题 19 有关