学年度苏教版高中数学苏教版必修一学案33 幂函数文档格式.docx
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单调性
增
在[0,+∞)上____,在(-∞,0]上____
在(0,+∞)上___,
在(-∞,0)上____
知识点三 一般幂函数的图象特征
思考 类比y=x3的图象和性质,研究y=x5的图象与性质.
梳理 一般幂函数特征
(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点________.
(2)α>
0时,幂函数的图象通过________,并且在区间[0,+∞)上是单调______函数.特别地,当α>
1时,幂函数的图象________;
当0<
α<
1时,幂函数的图象____________.
(3)当________时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是单调减函数.
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.
(5)在第一象限,作直线x=a(a>
1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从____到____的顺序排列.
类型一 幂函数的概念
例1 已知y=(m2+2m-2)
+2n-3是幂函数,求m,n的值.
反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x,指数为一常数这三个条件,才是幂函数.如:
y=3x2,y=(2x)3,y=
4都不是幂函数.
跟踪训练1 在函数y=
,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数为________.
类型二 幂函数的图象及应用
例2 若点(
,2)在幂函数f(x)的图象上,点(2,
)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,
(1)f(x)>
g(x);
(2)f(x)=g(x);
(3)f(x)<
g(x).
引申探究
若对于例2中的f(x),g(x),定义h(x)=
试画出h(x)的图象.
反思与感悟 注意本题中对f(x)>g(x),f(x)=g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程,是以后常用的方法.
跟踪训练2 幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA.那么αβ等于________.
类型三 幂函数性质的综合应用
命题角度1 比较大小
例3 设a=
,b=
,c=
,则a,b,c的大小关系是________.
反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点:
指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性,特别是要善于应用“搭桥”法进行分组,常数0和1是常用的中间量.
跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小.
(1)
0.3与
0.3;
(2)
-1与
-1;
(3)
.
命题角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足
<
的a的取值范围.
反思与感悟 幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,也可由这些性质去限制α的取值.
跟踪训练4 已知幂函数f(x)=
(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若函数还经过点(2,
),试确定m的值,并求满足f(2-a)>
f(a-1)的实数a的取值范围.
1.已知幂函数f(x)=k·
xα的图象过点
,则k+α等于________.
2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,
),则f(4)的值等于________.
3.设α∈{-1,1,
,3},则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为________.
4.下列是y=
的图象的是________.(填序号)
5.以下结论正确的是________.
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;
②幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点;
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;
④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.
1.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:
(1)当α>0时,图象过点(0,0),(1,1),在第一象限的图象上升;
当α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.
(2)曲线在第一象限的凹凸性:
当α>1时,曲线下凸;
当0<α<1时,曲线上凸;
当α<0时,曲线下凸.
3.在具体应用时,不一定是y=xα,α=-1,
,1,2,3这五个已研究熟的幂函数,这时可根据需要构造幂函数,并针对性地研究某一方面的性质.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 底数为x,指数为常数.
梳理 y=xα
知识点二
2.R R R [0,+∞) {x|x≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减
知识点三
思考 y=x3与y=x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0<
x<
1时,x5=x3·
x2<
x3,当x>
x2>
x3,结合两函数性质,可得图象如下:
梳理
(1)(1,1)
(2)原点 增 下凸 上凸 (3)α<
0 小 大
题型探究
例1 解 由题意得
解得
所以m=-3或1,n=
跟踪训练1 y=
解析 因为y=
=x-2,所以是幂函数;
y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数;
y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;
y=1=x0(x≠0),可以看出,常数函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),所以常数函数y=1不是幂函数.
例2解 设f(x)=xα,因为点(
,2)在幂函数f(x)的图象上,所以,将点(
,2)代入f(x)=xα中,得2=(
)α,解得α=2,则f(x)=x2.同理可求得g(x)=x-2.
在同一坐标系里作出函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象(如图所示),观察图象可得:
(1)当x>
1或x<
-1时,f(x)>
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<
1且x≠0时,f(x)<
解 h(x)的图象如图所示:
跟踪训练2 1
解析 由条件知,M(
,
),
N(
∴
=(
)α,
)β,
∴(
)αβ=[(
)β]α=(
)α=
∴αβ=1.
例3 b>
a>
c
解析 ∵y=
x在R上为单调减函数,
,即a<
b;
∵f(x)=
在(0,+∞)上为单调增函数,
>
,即a>
c.∴b>
c.
跟踪训练3 解
(1)∵0<
0.3<
1,
∴y=x0.3在(0,+∞)上为单调增函数.
又
0.3>
0.3.
(2)∵y=x-1在(-∞,0)上是单调减函数,
又-
-
-1>
-1.
(3)∵y=x0.3在(0,+∞)上为单调增函数,
∴由
0.3,可得
0.30.3.①
又y=0.3x在(-∞,+∞)上为单调减函数,
∴0.30.3>
.②
由①②知
例4 解 因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<
0,
解得m<
3.又因为m∈N*,所以m=1,2.
因为函数的图象关于y轴对称,
所以3m-9为偶数,故m=1.
则原不等式可化为
因为y=
在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,
所以a+1>
3-2a>
0或3-2a<
a+1<
0或a+1<
0<
3-2a.
a<
或a<
故a的取值范围是{a|a<
-1或
}.
跟踪训练4 解
(1)∵m∈N*,
∴m2+m=m×
(m+1)为偶数.
令m2+m=2k,k∈N*,则f(x)=
∴定义域为[0,+∞),在[0,+∞)上f(x)为单调增函数.
(2)∵
=
∴m2+m=2,
解得m=1或m=-2(舍去),
∴f(x)=
由
(1)知f(x)在定义域[0,+∞)上为单调增函数,
∴f(2-a)>
f(a-1)等价于2-a>
a-1≥0,
解得1≤a<
当堂训练
1.
2.
3.1,3 4.② 5.④
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