中考数学专题几何图形证明与计算题分析.doc
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2012中考数学专题复习:
几何图形证明与计算题分析
几何计算问题常见的有:
求线段的长、求角的度数,求图形的面积等。
研究几何图形及其和相关的问题时,“几何计算”具有广泛的意义:
一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系,在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示,无疑地就会涉及到几何量的计算;
二、当我们注重研究图形的动点问题,图形的变换及运动问题,在坐标系里研究图形的一些问题时,就愈是不可避免地要借助几何量的计算;
三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题,更是必须依靠几何量的计算来解决。
几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段,是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。
也就是说,许多以图形为基础的研究性问题,许多几何与代数相结合的问题,许多图形的变换及其它形式运动的问题,都是以计算为基础,为依据,为桥梁。
因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题,在填空选择各类题型中都可以体现,且往往会多处出现。
几何图形线段长度计算三大方法:
“勾股定理”“相似比例计算”“直角三角形中的三角函数计算”
【2011中考真题回顾与思考】
(2011深圳20题)如图9,已知在⊙O中,点C为劣弧AB上的中点,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接DB并延长交⊙O于点E,连接AE。
(1)求证:
AE是⊙O的直径;
O
A
E
C
B
D
图10
O
A
E
C
B
D
图9
(2)如图10,连接EC,⊙O半径为5,AC的长为4,求阴影部分的面积之和。
(结果保留π与根号)
(1)证明:
如图2,连接AB、BC,
∵点C是劣弧AB上的中点
∴
∴CA=CB
又∵CD=CA
∴CB=CD=CA
O
A
E
C
B
D
图2
∴在△ABD中,
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O的直径
(2)解:
如图3,由
(1)可知,AE是⊙O的直径
O
A
E
C
B
D
图3
∴∠ACE=90°
∵⊙O的半径为5,AC=4
∴AE=10,⊙O的面积为25π
在Rt△ACE中,∠ACE=90°,由勾股定理,得:
∴S△ACE=
∴S阴影=S⊙O-S△ACE=
(2011深圳中考21题)如图11,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折,[来源:
学科网]点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G。
(1)求证:
AG=C′G;
(2)如图12,再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M,求EM的长。
图4
A
B
D
C
C′
G
图11
A
B
D
C
C′
G
G
图12
A
B
D
C
E
C′
N
M
(1)证明:
如图4,由对折和图形的对称性可知,
CD=C′D,∠C=∠C′=90°
在矩形ABCD中,AB=CD,∠A=∠C=90°
∴AB=C′D,∠A=∠C′
在△ABG和△C′DG中,
∵AB=C′D,∠A=∠C′,∠AGB=∠C′GD
∴△ABG≌△C′DG(AAS)
G
图5
A
B
D
C
E
C′
N
M
∴AG=C′G
(2)解:
如图5,设EM=x,AG=y,则有:
C′G=y,DG=8-y,,
在Rt△C′DG中,∠DC′G=90°,C′D=CD=6,
∴C′G2+C′D2=DG2即:
y2+62=(8-y)2
解得:
∴C′G=cm,DG=cm
又∵△DME∽△DC′G∴,即:
解得:
,即:
EM=(cm)∴所求的EM长为cm。
【典型例题分析】
1.(2011四川凉山)已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则的值是.
解答:
解:
∵菱形ABCD的边长是8,∴AD=BC=8,AD∥BC,如图1:
当E在线段AD上时,∴AE=AD-DE=8-3=5,∴△MAE∽△MCB,∴;如图2,当E在AD的延长线上时,∴AE=AD+DE=8+3=11,∴△MAE∽△MCB,∴.∴的值是或.故答案为:
或.
2.(2011重庆江津区)如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其中A(0,0),B(8,0),D(0,4),若将△ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处.则E点的坐标是.
解答:
解:
连接BE,与AC交于G,作EF⊥AB,
∵AB=AE,∠BAC=∠EAC,∴△AEB是等腰三角形,AG是BE边上的高,∴EG=GB,EB=2EG,BG===,
设D(x,y),则有:
OD﹣OF=AD﹣AF,AE﹣AF=
BE﹣BF即:
8﹣x=(2BG)﹣(8﹣x),解得:
x=,
y=EF=,∴E点的坐标为:
.故答案为:
.
A
B
C
D
F
P
E
Q
G
A
B
C
D
F
P
E
Q
3.如图,在边长为8的正方形ABCD中,P为AD上一点,且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E,F,Q为垂足,
则EQ:
EF的值是()
A、B、
C、D、
解答:
分析:
容易看出∽得
即。
而根据正方形的性质,易知,如图,把FE平移至CG的位置,
由有,解:
选C。
4.(2011•泰安)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为( )
A、 B、 C、 D、6
解答:
解:
∵△CED是△CEB翻折而成,∴BC=CD,BE=DE,∵O是矩形ABCD的中心,∴OE是AC的垂直平分线,AC=2BC=2×3=6,∴AE=CE,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即62=AB2+32,解得AB=3,在Rt△AOE中,设OE=x,则AE=3﹣x,AE2=AO2+OE2,即
(3﹣x)2=(3)2+32,解得x=,∴AE=EC=3﹣=2.故选A.
5.(2011•潍坊)已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为 .
解答:
解:
连接EB,∵BD垂直平分EF,
∴ED=EB,设AE=xcm,则DE=EB=(4﹣x)cm,
在Rt△AEB中,AE2+AB2=BE2,即:
x2+32=(4﹣x)2,
解得:
x=故答案为:
cm.
6.如图,在中,。
将绕点C逆时针旋转30°得到,与AB相交于点D。
求BD的长。
解:
如图
(2),作于点G,设BD=,
中,
在中,,
。
即解得。
的长为。
7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=DC,连结CE,若于点F,且AF平分求的值。
A
B
E
D
C
F
G
解答:
首先,在中,
剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系,如去求出CF用AC表示的代数式。
为此,去研究相应的条件:
①由ABCD为等腰梯形,BECD为平行四边形(BE//CD,BE=CD),可知:
AC=BD=EC;②由知且AF平分得是等腰三角形,
设AF交BD于点G,则③由BG//EC,知∽,
如此一来,当然就有。
8.如图,把一副三角板如图
(1)放置,其中,,斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图
(2),这时AB与相交于点,与AB相交于点F。
(1)求的度数;
(2)求线段的长;
(3)若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到,这时点B在的内部,外部,还是边上?
证明你的判断。
解答:
分析:
对于
(1),如图(3),设CB与相交于点G,则可通过与内角的关系,求得的值;对于
(2),可先推出,并导出的长;
对于(3),设直线CB交于,应在中计算出的长,为此为基础进行判断。
解:
(1)设CB与相交于点G,如图(3),则:
A
C
B
F
O
G
。
(2)连结,
又
。
在(3)
。
(3)点B在内部,理由如下:
设BC(或延长线)交于点,
在,
又,即点B在内部。
9.(2009年清远)如图,已知是的直径,过点作弦的平行线,交过点的切线于点,连结.
(1)求证:
;
(2)若,,求的长.
【答案】
(1)证明:
是直径是的切线,切点为
(2)
A
E
D
B
C
F
G
10.(2010河南)
(1)操作发现:
如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?
说明理由.
(2)问题解决保持
(1)中的条件不变,若DC=2DF,求的值;
(3)类比探求:
保持
(1)中条件不变,若DC=nDF,求的值.
【答案】⑴同意,连接EF,则∠EGF=∠D=90°,EG=AE=ED,EF=EF.
∴Rt△EGF≌Rt△EDF.∴GF=DF.
⑵由⑴知,GF=DF.设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y.
∵DC=2DF,∴CF=x,DC=AB=BG=2x.∴BF=BG+GF=3x.
在Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+x2=(3x)2.∴y=2x,∴.
⑶由⑴知,GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y.
∵DC=n·DF,∴DC=AB=BG=nx.
∴CF=(n-1)x,BF=BG+GF=(n+1)x.
在Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2.
∴y=2x.∴(或)
11.如图,已知:
C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.
(1)求证:
点F是BD中点;
(2)求证:
CG是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.
[解析]
(1)证明:
∵CH⊥AB,DB⊥AB,
∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF
∴,∵HE=EC,∴BF=FD
(2)方法一:
连接CB、OC,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°∵F是BD中点,∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线
(3)解:
由FC=FB=FE得:
∠FCE=∠FEC可证得:
FA=FG,且AB=BG
由切割线定理得:
(2+FG)2=BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中,由勾股定理得:
BG2=FG2-BF2 由、得:
FG2-4FG-12=0
解之得:
FG1=6,FG2=-2(舍去)∴AB=BG=∴⊙O半径为2
12..如图,已知,以为直径,为圆心的半圆交于点,点为弧CF的中点,连接交于点,为△ABC的角平分线,且,B
DA
OA
HA
CA
EA
MA
FA
A
垂足为点.
(1)求证:
是半圆的切线;
(2)若,,求的长.
解答:
(1)证明:
连接EC,∵AD⊥BE于H,∠1=∠2,
∴∠3=∠4∴∠4=∠5=∠3,又∵E为弧CF中点,
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- 中考 数学 专题 几何图形 证明 算题 分析