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其中τ=θt,由式(1-2)、(1-3)可以解出:
(1-4)
(1-5)
将式(1-4)、(1-5)带入运动方程:
(1-6)
(1-7)
注意到此时的式子为{
}和上一个时刻
、
以及t+θ△t时刻的荷载
相关,可以运用迭代的思想来求解,下图给出线弹性条件下Wilson-θ法的流程图:
图1-2Wilson-θ法流程图
2.Wilson-θ程序验算
对线弹性条件下的Wilson-θ法进行MATLAB编程,源代码见附录。
选取如下算例进行验证。
对于一个单自由度的无阻尼结构,当其受到一个周期荷载时,其结构响应分为稳态解和瞬态解,由于没有阻尼的影响,其瞬态解并不会衰减,其理论表达式为:
(2-1)
式中,
为位移响应,
为激励,
为刚度,
为荷载频率与固有振动频率之比,
为荷载频率,
为结构固有频率。
现令
为1,
为1,则
取为2/3。
程序求得的解与解析解对比如图2-1所示(由于理论解与程序基本重合,所以将理论解乘以-1,方便比较):
a)位移
b)速度
c)加速度
图2-1Wilson-θ法结果验证
2.1△t的影响
上述算例验证时选择的△t非常小,因此看不出理论解与Wilson-θ法的求解区别,以下改变△t的取值,探讨△t对迭代的影响。
图2-2△t对位移曲线的影响
可以看出并不是△t太大时计算结果很不准确,偏小,反映不出周期特征;
当△t合适时正好基本和理论解重合,也不是△t越小越好越小时越能反映出一些细部特征,但这也不是很准确。
2.2θ的影响
当θ>
1.37时,该算法是无条件稳定的算法,以下探讨θ对算法的影响。
图2-3θ对位移曲线的影响
由上图可知随着θ值越大,位移的周期变大。
3.非线性问题求解
由于实际结构并不一定为线性,其刚度会随着位移的的变化而改变,下图为求解非线性问题时的Wilson-θ法流程。
此处要说明的是,刚度矩阵[K]y(t)是与位移相关的量,判断那时候速度的大小是为了确定其是否处于卸载段。
具体可能得根据实际情况求解。
图3-1Wilson-θ法解非线性问题
修改MATLAB程序,并用该程序来计算如下例题:
对该问题采用Wilson-θ法非线性方式计算,采用△t=0.1s和△t=0.05s两种方式,计算位移、速度和加速度曲线如下图所示:
a)位移
图3-2非线性分析结果
由上图可知,结构在0.6s时达到位移极值,在△t=0.1s和△t=0.05s算得的值分别为0.096m和0.108m,速度极值在0.9s取到分别为-0.468和-0.580,加速度极值在△t=0.1s时为0.7s时取到,为-2.127,在△t=0.05s极值在0.75s时取到,为-2.9。
4.附录
Wilson-θ法源程序
function[y_1,y_2,y_3]=wilson_theta(p,m,c,k,dt,v0,y0,a_0,theta)
%p代表输入的荷载,c为阻尼矩阵,dt为时间间隔,m为质量矩阵,k为刚度矩阵
%v0为初始的速度,y0为初始的位移.a_0为初始加速度
%输出的矩阵y_1代表位移,y_2代表速度,y_3代表加速度
ifnargin<
9
theta=1.4;
end
[L,r]=size(p);
y_1=NaN(L,r);
y_2=NaN(L,r);
y_3=NaN(L,r);
y_1(:
1)=y0;
y_2(:
1)=v0;
y_3(:
1)=a_0;
%计算积分常数
a0=6/((theta*dt)^2);
a1=3/theta/dt;
a2=2*a1;
a3=theta*dt/2;
a4=a0/theta;
a5=-a2/theta;
a6=1-3/theta;
a7=dt/2;
a8=dt^2/6;
%计算拟刚度矩阵
k0=k+a0*m+a1*c;
%计算拟荷载
fori=1:
r-1
R=p(:
i)+theta*(p(:
i+1)-p(:
i))+m*(a0*y_1(:
i)+a2*y_2(:
i)+2*y_3(:
i))+c*(a1*y_1(:
i)+2*y_2(:
i)+a3*y_3(:
i));
y_theta=k0\R;
y_3(:
i+1)=a4*(y_theta-y_1(:
i))+a5*y_2(:
i)+a6*y_3(:
i);
y_2(:
i+1)=y_2(:
i)+a7*(y_3(:
i)+y_3(:
i+1));
y_1(:
i+1)=y_1(:
i)+y_2(:
i)*dt+a8*(y_3(:
i+1)+2*y_3(:
上述代码只适合分析线弹性结构,对于非线性结构,编写起来比较繁琐,针对不同的情况可能需要具体处理,所以本文只给出了针对本文例题的代码。
与上述代码不同的是以下代码增加了一个判断的语句。
function[y_1,y_2,y_3]=wilson_theta2(p,m,c,dt,v0,y0,a_0,theta)
%p代表输入的荷载,c为阻尼矩阵,dt为时间间隔,m为质量矩阵
ify_2(:
i)>
k=60*(y_1(:
i)<
=0.05)+3/y_1(:
i)*(y_1(:
0.05);
else
k=60;
end
%计算拟刚度矩阵
k0=k+a0*m+a1*c;
%计算拟荷载
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