考研精品资料考研数学笔金典版记Word文档下载推荐.docx
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sin2α=2sinαcosα=
2tanα
1+tan2α
limxn=x0的数列{xn},都有limf(xn)=A。
sinαcosβ=1[sin(α+β)+sin(α-β)]
2
cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α
1-tan2α
n→∞
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的,例如可以挑选一个
cosαsinβ=1[sin(α+β)-sin(α-β)]
=cos2α-sin2α=
收敛于该点的自变量x的数列{xn},而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛;
或者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n},而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}却具有不同的极限。
cosαcosβ=1[cos(α+β)+cos(α-β)]tg2α=
2tgα
1-tg2α
ctg2α=ctgα-1
2ctgα
1.4无穷小与无穷大
1sin3α=3sinα-4sin3α
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
⎧=0
2cos3α=4cos3α-3cosα
若limα(x)=l,当⎪
时,则称x→x0时称α(x)是β(x)的
tg3α=
3tgα-tg3α
1-3tg2α
x→x0β(x)
l⎨≠0
⎩
⎪=1
半角公式
sinα=±
1-cosα
cosα=±
1+cosα
⎧高阶无穷小,记作α(x)=o(β(x))
⎪
⎨同阶无穷小,记作α(x)=O(β(x))
2222
⎪等阶无穷小,记作α(x)~β(x)
tgα=±
1-cosα=1-cosα=
sinα
常用等价无穷小
21+cosα
sinα
1+cosα
sinxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)~x
ctgα=±
1+cosα=1+cosα=
21-cosα
1-cosα
1-cosx~
x2(1+x)a-1~axax-1~xlna
1f(0)x
V=SHV=1SHV=1H(S+
SS'
+S'
)
棱柱棱锥3
棱台3
若f(x=0),f’(0)≠0,则⎰x
f(t)dt'
2
球的表面积:
4πR2球的体积:
4
3
第1章极限与连续
1.1集合、映射、函数
πR3
椭圆面积:
πab椭球的体积:
πabc
确定等价无穷小的方法:
1.洛必达法则,2.泰勒公式
1.5连续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。
连续⇔左右极限存在且相等,且等于该点函数值。
简断点:
1.第一类间断点,左右极限不相等,或相等但不等于该点函数值;
2.
左右极限至少有一个不存在。
空集,子集,有限集,无限集,可列集,积集,区间,邻域,上界,下界,上有界集,下有界集,无界集,上确界,下确界确界存在定理:
凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。
映射,象,原象,定义域,值域,满映射,单映射,双射,函数,自变量,因变量,基本初等函数
1.2数列的极限性质:
1.(唯一性)收敛数列的极限必唯一。
2.(有界性)收敛数列必为有界数列。
3.(子列不变性)若数列收敛于a,则其任何子列也收敛于a。
注1.一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数,仍不能保证原数列收敛。
闭区间上连续函数的性质:
有界性,最值性,介值性,零点存在定理。
1.6常见题型求极限的方法:
1.四则运算;
2.换元和两个重要极限;
3.等价无穷小替换;
4.
泰勒公式;
5.洛必达法则;
6.利用函数极限求数列极限;
7.放缩法;
求极限limxn,就要将数列xn放大与缩小成:
zn≤xn≤yn.
8.求递归数列的极限
注2.若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于a,且这两个子列合起来就是原数列,则原数列也收敛于a。
注3.性质3提供了证明了某数列发散的方法,即用其逆否命题:
若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列,则该数列必发散。
4.(对有限变动的不变性)若数列{xn}收敛于a,则改变{xn}中的有限项所得到的新数列仍收敛于a。
(1)先证递归数列{an}收敛(常用单调收敛原理),然后设limxn
归方程an+1=f(an)取极限得A=f(A),最后解出A即可。
=A,再对递
5.(保序性)若limx=a,limy=b,且a<
b,则存在N,当n>
N时,有
(2)先设limxn=A,对递归方程取极限后解得A,再用某种方法证明
xn<
yn。
判别法则:
n→∞n
liman=A。
1.夹逼法则:
若∃N,当n>
N时,xn≤yn≤zn,且limxn=limzn=a,则limyn=a。
第2章导数与微分
单调有界数列必收敛。
注:
任何有界的数列必存在收敛的子数列。
n→+∞
2.1求导法则和求导公式求导法则:
1.四则运算法则
[αu(x)+βv(x)]’=αu’(x)+βv’(x)[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
[u(x)]'
=u'
(x)v(x)-u(x)v'
(x)
第3章中值定理和泰勒公式
3.1中值定理
v(x)
2.复合函数求导
v2(x)
费马定理:
若是x0是f(x)的一个极值点,且f’(x0)存在,则必有f’(x0)=0(可微函数的极值点必为驻点),
1.罗尔定理:
若函数f(x)满足以下条件;
(i)在闭区间[a,b]上连续;
(ii)在开区间
(f[ϕ(x)])'
=f'
[ϕ(x)]ϕ'
(x)
关键在于区分哪些是中间变量,哪些是自变量
(a,b)内可导;
(iii)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=0.
2.拉格朗日定理:
(ii)在开
区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
3.反函数求导
4.隐函数求导
5.参数式求导
[f-1(y)'
]=
f'
(x)
f(b)-f(a)=f'
(ξ).
b-a
3.柯西定理:
若函数f(x)和g(x)满足以下条件;
(ii)在
开区间(a,b)内可导;
(iii)∀x∈(a,b),g’(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
⎧x=x(t)dyy'
(t)
d2yy'
'
(t)x'
(t)-y'
f(b)-f(a)=f'
(ξ)
⎨,=,=
⎩y=y(t)dxx'
6.对数求导法
7.分段函数求导
dx2
[x'
(t)]3
3.2泰勒公式
g(b)-g(a)
g'
(1)按求导法则求连接点处的左右导数
设⎧g(x),x-δ<
x≤x0
f(x)=,若g'
(x)=h'
(x)=A,则f'
(x)=A.
求泰勒公式的方法:
1.泰勒公式(拉格朗日余项):
f(x)=
nf(k)(x)
0(x-x)+
f(n+1)(ξ)
(x-x)
⎨h(x),x
<
x≤x+δ-0
+00
∑
k=0
kn+1
k!
0(n+1)!
0
⎩0
2.常用麦克劳林公式(带拉格朗日余项)
(2)按定义求连接点处的左右导数
xx2
+x+
n!
+(-1)n
ex=1+++
nxn+1
eθx
设⎧g(x),x-δ<
x<
x0
g(x)与f(x)在点x处无定义,
1!
2!
(n+1)!
352n-12n+1
f(x)=⎪
A,x=x
0
x=x-x+x
+-1x
+-nxθx
⎨0可按定义求g'
(x)与h'
(x)
3!
5!
(2n-1)!
(1)
(2n+1)!
⎪h(x),x
x≤x+δ-0+0
⎩0242n
2n+2
cosx=1-x+x+
x+(-1)n+1x
cosθx
(3)对于
(1)f'
(x)很复杂,按定义求,f'
(x)=limf(x)-f(x0)
2!
4!
(2n)!
(2n+2)!
⎧g(x),x≠x0
0x→x
x-x
x2x3xn
xn+1
f(x)=⎨
⎩A,x=x0
00
(2)否则,先求出f'
(x),再求limf'
x→x0
ln(1+x)=x-++-1
23
n
(n+1)(1+θx)n+1
8.变限积分求导
(1+x)α=⎛α⎫+⎛α⎫x+⎛α⎫x2+
n+⎛α
⎫
xn+1(1+θx)α-(n+1)
y=⎰
ϕ(x)dyf(t)dt,
=f(ϕ(x))ϕ'
(x)-f(ψ(x))ψ'
ç
⎪ç
⎪ç
⎪
⎛α⎫
+ç
⎪xn
012n+1
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ψ(x)dx
12nnn+1n+1
-1-(n+1)
求导公式:
1+x
=1-x+x+...+(-1)x+(-1)
x(1+θx)
(C)'
=0
(xμ)'
=μxμ-1
(sinx)'
=cosx
(cosx)'
=-sinx
(arcsinx)'
=
1-x2
1-x
=1+x+x2+...+xn+xn+1(1+θx)-1-(n+1)
n1
(ax)'
=axlna
(tanx)'
=sec2x
(ctgx)'
=-csc2x
(arccosx)'
=-
1+x=1+1x+
k=2
(-1)k-1(2k-3)!
!
xk+(-1)n(2n-1)!
xn+1(1+θx)2-(n+1)
(2k)!
(logax)'
xlna(secx)'
=secx⋅tanx
(cscx)'
=-cscx⋅ctgx
(arctgx)'
1+x2
3.逐项求导或逐项积分
x
若f(x)=ϕ'
(x)或f(x)=⎰
ϕ(t)dt,φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来,
(arcctgx)'
x0
然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。
2.2高阶导数和高阶微分
例如:
arctanx=
1dt=
x11
(1-t2+t4)dt+o(x5)=x-x3+x5+o(x5)
求高阶导数的方法:
1.莱布尼茨(Leibniz)公式:
(u(x)v(x))(n)=
Cku(k)(x)v(n-k)(x)
⎰01+t2⎰035
3.3函数的极值、最值
2.常用公式
(eax+b)(n)=aneax+b
(sin(ax+b))(n)=ansin(ax+b+nπ)
(cos(ax+b))(n)=ancos(ax+b+nπ)
驻点,导数不存在的点为极值可疑点。
驻点,导数不存在的点,端点为最值可疑点。
极值判别法则:
1.设点x0为函数f(x)的极值可疑点,f(x)在点x0的邻域内连续,去心邻域内可微,如果在(x0-δ,x0)内f’(x0)≥0,在(x0,x0+δ)内f’(x0)≤0,则x0必为f(x)的极大值点。
反之必为极小值点。
2.若点x0是f(x)的驻点且f’’(x0)存在,则当f’’(x0)>
0(<
0)时,x0必为f(x)的极小
(大)值点。
000
3.设函数f(x)在点x0处有n阶导数,且f'
(x)=f'
(x)=...=f(n-1)(x)=0,
2但(n)
(n)
f(x0)≠0,则(i)当n为偶数时,f(x)在点x0处取极值,当f
(x0)>
0时
((ax+b)β)(n)=anβ(β-1)...(β-n+1)(ax+b)β-n
取极小值,当(n)
(1
ax+b
)(n)=an
(-1)nn!
(ax+b)n+1
3.4函数作图定理:
设函数
f(x0)<
0时取极大值;
(ii)当n为奇数时f(x0)不是极值。
(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]
(ln(ax+b))(n)=an(-1)n-1(n-1)!
3.分解法分解为上述初等函数之和
(ax+b)n
f
上是凸(凹)函数的充要条件是:
1.f’(x)在开区间(a,b)内单调递减(增)。
2.f(λx1)+(1-λ)x2)<
(>
)λf(x1)+(1-λ)f(x2),λ∈(0,1).
3.f’’(x0)≤(≥)0.
若函数f(x)在点x0处凹凸性相反,则点x0称为f(x)的拐点。
拐点的必要条件:
f’(x0)=0或f’(x0)不存在。
拐点的充要条件:
f’’(x)经过时变号。
渐近线:
1.垂直渐近线:
x=a是垂直渐近线⇔lim=∞或lim=∞.
x→a+0
x→a-0
2.斜渐近线:
f(x)=ax+b,a=
lim
f(x)
b=
lim(f(x)-ax)或
⎰
(3)
Mx+Ndx
x2+px+q
;
(4)
Mx+Ndx
x→+∞x
x→+∞
⎰(x+px+q)
a=lim
=lim(f(x)-ax)(水平渐近线为其特例)。
I=dx=1⋅x
+2n-3I
bn
⎰22n
222n-12
n-1
x→-∞x
x→-∞
(x+a)2a(n-1)(x+a)2a(n-1)
函数作图的步骤:
1.确定函数的定义域;
2.观察函数的某些特性,奇偶性,周期性等;
3.判断函数是否有渐近线,如有,求出渐近线;
4.确定函数的单调区间,极值,凹凸区间,拐点,并列表;
5.适当确定一些特殊点的函数值;
三角函数有理式的积分一般用万能代换形式可以采用更灵活的代换:
tanx
=t,对于如下
6.根据上面提供的数据,作图。
第4章积分
4.1不定积分
对于积分⎰R(sin2x,cos2x)dx,可令tanx=t;
对于积分⎰R(sinx)cosxdx,可令sinx=t;
对于积分R(cosx)sinxdx,可令cosx=t,等等。
某些可化为有理函数的积分
4.1.1.基本积分表
1.⎰
R(x,nax+b)dx型积分,其中n>
1,其中ad≠bc。
cx+d
⎰xμdx=
μ+1
μ+1⎰⎰x
x+Cdx=ln|x|+Cadx=
1ax+C
lna
这里的关键问题是消去根号,可令
ax+b
=t。
⎰sinxdx=-cosx+C⎰cosxdx=sinx+C
⎰tanxdx=-ln|cosx|+C⎰cotxdx=ln|sinx|+C
⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C
2.⎰R(x,ax2
+bx+cdx型积分,其中b2-4ac≠0,a≠0。
由于
⎰cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C=ln|cscx-cotx|+C=ln|tan2|+C
⎰sec2xdx=tanx+C⎰csc2xdx=-cotx+C
ax2+bx+c=a(x+
4ac-b
b)2+,故此类型积分可以化为以下三种类型:
2a4a2
R(u,
k2-u2)dx
u=ksint
⎰tanxsecxdx=secx+C⎰cscxcotxdx=-cscx+C
⎰,可用三角替换;
⎰1-x2
dx=arcsinx+C或-arccosx+C
⎰R(u,
u2-k2)dx,可用三角替换u=ksect;
u2+k2)dx,可用三角替换u=ktant。
⎰1+x2
dx=arctanx+C或-arccotx+C
In=
⎰tannxdx=
n-1
tan
x-In-2
⎰a2+x2
dx=1arctanx+C
aa
a2-x2
dx=arcsinx+C
a
倒代换:
1+x2
,1-x2
4
,由此还可以求出1,x
⎰1dx=1ln|a+x|+C
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