高中数学《平面》导学案Word文件下载.docx
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(2)若A∈a,a⊂α,则A∈α.( )
(3)两个平面的交线可能是一条线段.( )
(4)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
2.(教材改编,P43,T4)做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图所示,用符号语言表示以下各概念:
①点A,B在直线a上:
________;
②直线a在平面α内:
③点D在直线b上,点C在平面α内:
________.
(2)若平面α与平面β相交于直线l,点A∈α,A∈β,则点A________l;
其理由是__________________________.
答案
(1)①A∈a,B∈a ②a⊂α ③D∈b,C∈α
(2)∈ 同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上
3.根据下图,填入相应的符号:
A________平面ABC,A________平面BCD,BD________平面ABC,平面ABC∩平面ACD=________.
答案 ∈ ∉ ⊄ AC
课堂互动探究
探究1 平面概念的理解
例1
(1)下列命题:
①书桌面是平面;
②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;
③有一个平面的长是50m,宽为20m;
④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为________.
(2)下图中的两个相交平面,其中画法正确的是________.
解析
(1)由平面的概念,知它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确.
(2)对于①,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画,因此①的画法不正确.同样的道理,也可知②、③图形的画法不正确,④中图形的画法正确.
答案
(1)1
(2)④
拓展提升
平面概念的理解及特点
(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念,它是由平时生活中常见的平面抽象出来的,是理想的,是无限延展的,是无厚薄、大小的.
(2)要注意平面具有如下特点:
①平面是平的;
②平面是没有厚度的;
③平面是无限延展而没有边界的;
④平面是由空间的点、线组成的无限集合;
⑤平面图形是空间图形的重要组成部分.
【跟踪训练1】 下列四种说法正确的是________.
①平面的形状是平行四边形;
②任何一个平面图形都可以表示平面;
③平面ABCD的面积为100cm2;
④空间图形中,后作的辅助线都是虚线.
答案 ②
解析 ①错,通常用平行四边形表示平面,但平面的形状不一定是平行四边形;
③错,平面不能度量;
④错,看不到的线画成虚线.
探究2 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例2 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;
(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.
解
(1)点P∈直线AB.
(2)点C∉直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A1∉平面AC.
(5)直线AB∩直线BC=点B.
(6)直线AB⊂平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着先用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
【跟踪训练2】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.
(1)A∈α,B∉α;
(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;
(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.
解
(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.
【跟踪训练3】 用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
解
(1)符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.用图形表示如图①.
(2)符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.用图形表示如图②.
探究3 线共面问题
例3 已知直线b∥c,且直线a与b,c都相交,求证:
直线a,b,c共面.
证明 ∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α,设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈b,又∵b⊂α,∴A∈α,同理B∈α,即a⊂α,∴三线共面.
[条件探究] 在本例中,若直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C,又该如何证明直线a,b,c,l共面?
证明 如图所示.
∵a∥b,∴a,b可确定一个平面α.
又l∩a=A,l∩b=B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α.
∴AB⊂α.又A∈l,B∈l,∴l⊂α.
又b∥c,∴b,c可确定一个平面β.
同理l⊂β.
∵平面α,β均经过直线b,l,且b和l是两条相交直线,∴l与b确定的平面是唯一的.
∴a,b,c,l四线共面.
证明多线共面的两种方法
(1)纳入法:
先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:
即先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内.
【跟踪训练4】 证明:
空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.
证明 设四条直线分别为a,b,c,d.
(1)如图①,设直线a,b,c相交于点O,直线d和直线a,b,c分别交于点M,N,P,直线d和点O确定平面α.
因为O∈a,M∈a,所以a⊂α.
同理可证b⊂α,c⊂α.
(2)如图②,设直线a,b,c,d两两相交,且任意三条不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G.
因为a∩b=M,
所以直线a和b确定平面α.
因为a∩c=N,b∩c=Q,
所以点N,Q都在平面α内,所以c⊂α.
同理可证d⊂α,所以直线a,b,c,d共面于α.
综合
(1)
(2),知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.
探究4 点共线问题
例4 如图,已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB,BC,AC延长后分别交平面α于点P,Q,R.
求证:
P,Q,R三点在同一条直线上.
证明 由已知AB的延长线交平面α于点P,根据公理3,平面ABC与平面α必相交于一条直线,设为l.
∵P∈直线AB,∴P∈平面ABC.
又AB∩α=P,∴P∈平面α,
∴P是平面ABC与平面α的公共点.
∵平面ABC∩α=l,∴P∈l.同理,Q∈l,R∈l.
∴P,Q,R三点在同一条直线l上.
证明点共线问题的步骤
证明三点共线,一般先证两点确定的直线是某两个平面的交线,再证第三个点也是两个平面的一个公共点.证明“点在直线上”“三点共线”“三线共点”的问题通常用公理3.
【跟踪训练5】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:
D,A,Q三点共线.
证明 ∵MN∩EF=Q,
∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,
又∵M∈直线CD,N∈直线AB,
CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD,
∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理,可得EF⊂平面ADD1A1.
∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
探究5 线共点问题
例5 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求证:
直线AA1,BP,CQ相交于一点.
证明 如图,连接PQ.
由B1P=2PA1,C1Q=2QA1,得
PQ∥B1C1,且PQ=
B1C1.
又BC綊B1C1,∴四边形BCQP为梯形,∴直线BP,CQ相交,设交点为R,则R∈BP,R∈CQ.
又BP⊂平面AA1B1B,CQ⊂平面AA1C1C,∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上,即R∈AA1,
∴直线AA1,BP,CQ相交于一点.
证明线共点问题的步骤
证明三线共点的思路是:
先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这个点,把问题归结为证明点在直线上的问题.
【跟踪训练6】 如图,四面体A-BCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3.
EF,GH,BD交于一点.
证明 如图所示,连接GE,HF,
∵E,G分别为BC,AB的中点,
∴GE∥AC,GE=
AC.
又∵DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3,
∴HF∥AC,HF=
∴GE∥HF,GE>
HF.
∴G,E,F,H四点共面.
∴EF与GH相交,设交点为O.
则O∈平面ABD∩平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,
∴O∈BD.即EF,GH,BD交于一点.
1.关于平面的画法要注意的几点
(1)通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画一条线段来表示.
(2)加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示:
如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面.
(3)画表示平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成45°
,横边画成邻边的两倍.
(4)画表示竖直平面的平行四边形时,通常把它的一组对边画成铅垂线.
2.三个公理的主要作用
(1)公理1:
如图甲所示.主要作用是:
利用点在面内判定线在面内.
(2)公理2:
如图乙所示.主要作用是:
①确定平面;
②证明点、线共面.
(3)公理3:
如图丙所示.主要作用是:
①判定两个平面是否相交;
②点共线;
③线共点.
思维拓展:
1.
(1)公理2中的“有且只有一个”包含两层含义:
①“有”说明平面的存在性;
②“只有一个”说明平面的唯一性.“有且只有一个”和“只有一个”不是同义词,和“确定”是同义词.
(2)在平面几何中,辅助线均画成虚线;
而在立体几何中则不然,凡是被平面遮住的线,均画成虚线,无论是题中原有的,还是后添加的辅助线,凡是不被遮住的线均画成实线.
2.公理的三个推论
推论1:
经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面;
推论2:
经过两条相交直线有且只有一个平面;
推论3:
经过两条平行直线有且只有一个平面.
课堂达标自测
1.若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的上述关系可记为( )
A.M∈α,a∈αB.M∈a,a⊂α
C.M⊂a,a⊂αD.M⊂a,a∈α
答案 B
解析 点M在直线a上记为M∈a,直线a在平面α内记为a⊂α.
2.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )
A.相交B.重合
C.相交或重合D.以上都不对
答案 C
解析 若三个点在同一直线上,则两平面可能相交;
若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合.
3.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )
A.0B.1C.0或1D.1或3
答案 D
解析 当三条互相平行的直线共面时,可确定1个平面;
当三条互相平行的直线不共面时,可确定3个平面.
4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)AC∩BD=________;
(2)平面AB1∩平面A1C1=________;
(3)A1B1∩B1B∩B1C1=________.
答案
(1)O
(2)A1B1 (3)B1
解析
(1)AC、BD同在面ABCD中,交于点O.
(2)平面AB1与平面A1C1相交,交线为A1B1.
(3)A1B1,B1B,B1C1三条直线交于一点B1.
5.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD>
BC,P,Q,M,N分别为AA1,BB1,CC1,DD1上的点,设PQ与NM的交点为S,AB与DC的交点为R,A1B1与D1C1的交点为G.求证:
R,S,G三点共线.
证明 因为P,Q,M,N分别为AA1,BB1,CC1,DD1上的点,PQ∩NM=S,
所以S∈MN,MN⊂平面CC1D1D,S∈PQ,PQ⊂平面AA1B1B,
所以S∈平面CC1D1D,且S∈平面AA1B1B,
所以S在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上.
同理可证:
R,G也在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上,
所以R,S,G三点共线.
课后课时精练
A级:
基础巩固练
一、选择题
1.能确定一个平面的条件是( )
A.空间三个点B.一个点和一条直线
C.无数个点D.两条相交直线
解析 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.
2.空间中A,B,C,D,E五个点,已知A,B,C,D在同一平面内,B,D,C,E在同一平面内,那么这五点( )
A.共面B.不一定共面
C.不共面D.以上都不对
解析 当B,C,D三点共线时,A,B,C,D所在平面与B,C,D,E所在的平面不一定相同,所以A,B,C,D,E五点不一定共面,选B.
3.已知空间四点中,无三点共线,则经过其中三点的平面有( )
A.一个B.四个
C.一个或四个D.无法确定平面的个数
解析 当空间四点共面时,它们确定一个平面;
当空间四点不共面时,每三个点都可以确定一个平面,即四个平面.
4.给出下列四个命题:
①不共面的四点中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析 ①假设其中有三点共线,则该直线与直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故不共面的四点中任意三点不共线,所以①正确;
②当A,B,C共线时,结论可能不成立,所以②不正确;
利用正方体模型,易知③不正确;
由空间四边形,知④不正确.
5.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ与β的交线必过( )
A.点AB.点B
C.点C,但不过点DD.点C和点D
解析 根据基本性质判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在平面β与γ的交线上.
二、填空题
6.已知A∈α,B∉α,若A∈l,B∈l,那么直线l与平面α有________公共点.
答案 1
解析 若l与α有两个不同的公共点,则由公理1知l⊂α,又B∈l,所以B∈α与B∉α矛盾,所以l与α有且仅有一个公共点A.
7.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.
答案 36
解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;
正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.
8.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.
答案 5
解析 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与AB和CC1都相交的棱为BC;
与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;
与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.因此,符合题意的棱共有5条.
三、解答题
9.用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系.
解 图
(1):
平面α∩平面β=AB,直线a⊂α,直线b⊂β,b∩AB=M.
图
(2):
平面α∩平面β=PQ,直线a∩α=A,a∩β=B.
图(3):
平面α∩平面β=CD,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=A,A∈CD.
B级:
能力提升练
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明 如图.
(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,
∴EF∥BD.
∴EF,BD确定一个平面,
即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1,∴Q∈α.又Q∈EF,∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,∴R∈A1C.
∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ.
故P,Q,R三点共线.
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