高三数学当堂训练直线平面垂直的判定及其性质Word文档格式.docx
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由PA⊥平面ABC可得△PAC,△PAB是直角三角形,且PA⊥BC.又∠ABC=90°
,所以△ABC是直角三角形,且BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,即△PBC为直角三角形,故四面体PABC中共有4个直角三角形.
3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥βD.AC⊥β
如图所示,AB∥l∥m;
AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;
AB∥l⇒AB∥β,只有D不一定成立.故选D.
D
4.(优质试题·
贵阳市监测考试)如图,在三棱锥PABC中,不能证明AP⊥BC的条件是( )
A.AP⊥PB,AP⊥PC
B.AP⊥PB,BC⊥PB
C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
A中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A能证明AP⊥BC;
C中,因为平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C能证明AP⊥BC;
由A知D能证明AP⊥BC;
B中条件不能判断出AP⊥BC.故选B.
B
5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥DABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;
AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;
易知DA=DB=DC,又由②知③正确;
由①知④错.故选B.
6.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°
,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
A.
B.1
C.
D.2
设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1=
,
矩形ABB1A1中,tan∠FDB1=
tan∠A1AB1=
=
.
又∠FDB1=∠A1AB1,所以
故B1F=
×
.故选A.
二、填空题
7.如图,已知∠BAC=90°
,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________;
与AP垂直的直线有______.
∵PC⊥平面ABC,
∴PC垂直于直线AB,BC,AC.
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,
又∵AP⊂平面PAC,
∴AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.
AB,BC,AC AB
8.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
连接AC,BD交于O,因为底面各边相等,所以BD⊥AC;
又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
DM⊥PC(或BM⊥PC)
9.(优质试题·
泉州模拟)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:
①三棱锥AD1PC的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________.
连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥PAD1C的体积不变.
又因为VPAD1C=VAD1PC,所以①正确.
因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.
由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;
由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.
①②④
三、解答题
10.(优质试题·
河南省八市重点高中质量检测)如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB,使AB=2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG=GC.求证:
(1)FG∥平面AED;
(2)平面DAF⊥平面BAF.
证明:
(1)因为DG=GC,AB=CD=2EF,AB∥EF∥CD,所以EF∥DG,EF=DG.所以四边形DEFG为平行四边形,所以FG∥ED.又因为FG⊄平面AED,ED⊂平面AED,所以FG∥平面AED.
(2)因为平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD=AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面BAF,又AD⊂平面DAF,所以平面DAF⊥平面BAF.
11.如图,几何体EFABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°
(1)求证:
AC⊥FB;
(2)求几何体EFABCD的体积.
解:
(1)证明:
由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC.
∵四边形CDEF为正方形,∴DC⊥FC,
∵DC∩AD=D,∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥AC.
又∵四边形ABCD为直角梯形,
AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,
∴AC=2
,BC=2
,则有AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,∴AC⊥FB.
(2)连接EC,过B作CD的垂线,垂足为N,易知BN⊥平面CDEF,且BN=2.∵VEFABCD=VEABCD+VBEFC=
S梯形ABCD·
DE+
S△EFC·
BN=
,∴几何体EFABCD的体积为
1.如图,已知四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,则下列命题中错误的是( )
A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点,则M为PA的中点
B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点,则N为PB的中点
C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点,则H为PC的中点
D.过P,B,C的平面与平面PAD的交线为直线l,则l∥AD
设AC∩BD=O,因为ABCD是正方形,所以O是AC中点,因为过BD且与PC平行的平面交PA于M点,所以OM∥PC,所以M是PA中点,故A正确;
设N为PB的中点,连接AN,因为PA与AB不一定相等,所以AN与PB不一定垂直,所以过AC且与PB垂直的平面交PB于N点,则N不一定是PB中点,故B错误;
因为四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,所以PA=AC,PD=DC,所以过AD且与PC垂直的平面交PC于H点,则H为PC的中点,故C正确;
因为AD∥BC,平面PAD与平面PCB有公共点P,所以l∥AD∥BC,故D正确.故选B.
2.四边形ABCD是矩形,AB=4,AD=3,沿AC将△ADC折起到△AD′C,使平面AD′C⊥平面ABC,F是AD′的中点,E是AC上的一点,给出下列结论:
①存在点E,使得EF∥平面BCD′;
②存在点E,使得EF⊥平面ABD′;
③存在点E,使得D′E⊥平面ABC;
④存在点E,使得AC⊥平面BD′E.
其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
①存在AC中点E,则EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′,正确;
②若EF⊥平面ABD′,则平面AD′C⊥平面ABD′,显然不成立,故不正确;
③若D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可得D′E⊥平面ABC,正确;
④因为四边形ABCD是矩形,AB=4,AD=3,所以B,D′在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC⊥平面BD′E,故不正确.
①③
3.如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD,四边形ABEF是矩形,将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M为AF1的中点,如图2.
BE1⊥DC;
(2)求证:
DM∥平面BCE1;
(3)判断直线CD与ME1的位置关系,并说明理由.
因为四边形ABE1F1为矩形,所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1,且平面ABCD∩平面ABE1F1=AB,BE1⊂平面ABE1F1,所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD,所以BE1⊥DC.
(2)证明:
因为四边形ABE1F1为矩形,所以AM∥BE1.因为AD∥BC,AD∩AM=A,BC∩BE1=B,所以平面ADM∥平面BCE1,因为DM⊂平面ADM,所以DM∥平面BCE1.
(3)直线CD与ME1相交,理由如下:
取BC的中点P,CE1的中点Q,连接AP,PQ,QM,所以PQ∥BE1,且PQ=
BE1.在矩形ABE1F1中,M为AF1的中点,所以AM∥BE1,且AM=
BE1,所以PQ∥AM,且PQ=AM.所以四边形APQM为平行四边形,所以MQ∥AP,MQ=AP.因为四边形ABCD为梯形,P为BC的中点,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD,所以AD∥PC,AD=PC,所以四边形ADCP为平行四边形.所以CD∥AP,且CD=AP.所以CD∥MQ,且CD=MQ.所以四边形CDMQ是平行四边形.所以DM∥CQ,即DM∥CE1.因为DM≠CE1,所以四边形DME1C是以DM,CE1为底边的梯形,所以直线CD与ME1相交.
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