标准差方差教案Word格式文档下载.docx
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1o用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中,这种偏差是不可避免的.虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息.
2o①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变.②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原来的k倍.③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间
的应用;
“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理.
三、【综合练习与思考探索】
例1画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;
(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;
(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;
(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
结论:
先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.
四组样本数据的条形图如下:
四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是:
0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.
例2甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:
mm):
甲
25.4625.3225.4525.3925.36
25.3425.4225.4525.3825.42
25.3925.4325.3925.4025.44
25.4025.4225.3525.4125.39
乙
25.4025.4325.4425.4825.48
25.4725.4925.4925.3625.34
25.3325.4325.4325.3225.47
25.3125.3225.3225.3225.48
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40mm的差异大时质量低,差异小时质量高;
当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.
用计算器计算可得
≈25.401,
≈25.406;
s甲≈0.037,s乙≈0.068.
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小;
从样本标准差看,由于s甲<
s乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.
从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;
样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.
例3、甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:
t/hm2),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
9.8
9.9
10.1
10
10.2
9.4
10.3
10.8
9.7
甲品种的样本平均数为10,样本方差为
[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷
5=0.02.
乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷
5=0.24.
因为0.24>
0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
练习题:
①在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:
9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.
②若给定一组数据x1,x2,…,xn,方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差是____________.
③在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:
m/s)的数据如下:
27
38
30
37
35
31
33
29
34
28
36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适?
④某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么?
怎样去了解?
请你为他设计一个方案.⑤某课外活动小组对该市空气含尘调查,下面是一天每隔两小时测得的数据:
0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位
)
(1)求出这组数据的众数和中位数?
(2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025
;
问这一天城市空气是否符合标准?
⑥从甲、乙两种玉米中各抽10株,分别测得它们的株高如下:
甲:
25、41、40、37、22、14、19、39、21、42;
乙:
27、16、44、27、44、16、40、40、16、40;
问:
(1)哪种玉米的苗长得高?
(2)哪种玉米的苗长得齐?
①9.5,0.016②a2s2③
=33,
乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.④这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼(设有x条),作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼(设有a条),观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则
这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.⑤
(1)由题知众数是0.03,中位数为0.03;
(2)这一天数据平均数是∵ 0.03>
0.025∴ 这一天该城市空气不符合国标.⑥分析:
看哪种玉米的苗长得高,只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可;
要比较哪种玉米的苗长得齐,只要看两种玉米高的方差即可,因为方差是体现一组数据波动大小的特征数.
(1)
=
(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30;
=
(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31,
<
(2)可运算
=104.2,
=128.8∴
所以乙种玉米苗长得高,甲种玉米的苗长得齐.
通过例题讲解和练习,巩固新知.
四、【作业】
1、必做题:
习题2.2A组4、5、6、7,B组1、2
2、选做题:
某地区全体九年级的3000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下:
100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.
请根据以上数据估计该地区3000名学生的平均分、合格率(60或60分以上均属合格).
运用计算器计算得:
=79.40,
(12+30+18+24+12)÷
100=96%,
所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.
五、【小结】
1o用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:
用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.
用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度.
2o用样本估计总体的两个手段(用样本的频率分布估计总体的分布;
用样本的数字特征估计总体的数字特征),需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确.
六、【教学反思】
教师,在课堂上起到的不是讲解的作用,而是引导者.学生需要的不是表演者,而是指导者.
七、【课后练习】
一、选择题
1.下列说法正确的是:
(A)甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样
(B)期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好
(C)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙班好
(D)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙班好
2.一组数据的方差是
,将这组数据中的每一个数据都乘以2,所得到的一组数据的方差是()
A.
B.
C.
D.
二填空题
3.如果14:
有6个数4,x,-1,y,z6,它们的平均数为5,则x,y,z三个数的平均数为___________________
4、数据
的平均数为
,方差为
中位数为a,则数据
的平均数、标准差、方差、中位数分别为
三、解答题
5.下面是两个学生的五次英语测试成绩:
98
88
67
59
89
81
85
90
72
73
试用平均数与方差分析两位同学的英语成绩,并说明那一位同学的英语成绩比较稳定?
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