全国各地中考数学压轴题精选讲座三列函数解析式.docx

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全国各地中考数学压轴题精选讲座三列函数解析式

2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座三

列函数解析式

【知识纵横】

客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。

代数、几何中列函数解析式问题是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。

列函数解析式问题是近年中考的热点题型之一。

这类题目的类型有：

1、通过代数或几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步解决实际问题或研究几何的性质。

2、在以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。

但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，应注意这一点。

一般思考方法分四步：

坐标、线段、函数、几何。

所列函数式有：

一次函数、反比例函数、二次函数。

【选择填空】

1.（贵州六盘水）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：

月份

用水量（吨）

水费（元）

4

22

51

5

20

45

设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，则m与n之间的函数关系式是．

2.（浙江嘉兴、舟山）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【】

　A．B．

C．D．

3.（北京）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：

秒），他与教练的距离为（单位：

米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【】

A．点B．点C．点D．点

【典型试题】

1.（浙江台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：

米）与时间t（单位：

秒）之间的关系得部分数据如下表：

时间t（秒）

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

…

行驶距离s（米）

0

2.8

5.2

7.2

8.8

10

10.8

…

（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；

（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；

（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？

②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。

【分析】

（1）描点作图即可。

（2）首先判断函数为二次函数。

用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。

（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。

（4）求出与，用差值法比较大小。

2.（浙江绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？

如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

【分析】

（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40－2x）2=484，求出即可

②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：

y=4（40－2x）x，利用二次函数最值求出即可。

（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。

3.（上海市）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？

如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）根据垂径定理、利用勾股定理即可求出OD的长。

（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE。

（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式。

4.（广东梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　　；（直接写出答案）

（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？

若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】

（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：

②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：

③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：

当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，求出点P的坐标。

（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案。

（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。

5.（浙江衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。

【分析】

（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。

（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。

结论：

存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。

（3）求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。

【自主训练】

1.（山东菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价（元/件）

…

20

30

40

50

60

…

每天销售量（件）

…

500

400

300

200

100

…

（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

最大利润是多少？

（利润=销售总价﹣成本总价）

（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

2.（山东青岛）如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB

的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，

沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ⊥AB？

（2）当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；

（3）在

（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为

＝1∶29？

若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

3.（广西南宁）已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（－1，y）．

（1）如图1，若点C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；

（2）在

（1）的条件下，y是否有最大值？

若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2，当点B的坐标为（－1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？

求出此时点E的坐标．

4.（山东泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？

若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；

（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

5.（山东潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋钮位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度．为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：

旋钮角度（度）

20

50

70

80

90

所用燃气量（升）

73

67

83

97

115

（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?

说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；

（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少?

最少是多少?

（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量．

参考答案

【选择填空】

1.（贵州六