海淀区初三数学第一学期期末试题及答案Word格式文档下载.docx

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二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°

，则这个扇形的面积为__________cm2．

10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m.

11．如图，抛物线yax与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为2

A2,4，B1,1，则关于x的方程ax2bxc0的解为

__________．

n2，n1012．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的

f（n），n≥10

首位数字、末位数字的平方和．例如：

F（6）2636，F（123）f123123210．

规定F1（n）F（n）Fk1（n）F（Fk（n））（k为正整数）．例如：

，

F1123F（123）10F（F1（123））F（10）1．23，F21

（1）求：

F2（4）____________，F2015（4）______________；

（2）若F

3m（4）89，则正整数m的最小值是_____________．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.计算：

120151sin303.14.201

14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E.求证：

△ACD∽△BCE．

215.已知m是一元二次方程x3x20的实数根，求代数式

B（m1）（m1）1的值．m

16.抛物线y2x平移后经过点A（0,3），B（2,3），求平移后的抛物线的表达式．

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y2x与反比例函数2

yk的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，x

连接BC.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P是反比例函数yk图象上的一点，且满足△OPC与△x

ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

18.如图，△ABC中，∠ACB=90°

，sinA

直线CD的垂线，垂足为E．

3

4，BC=8，D是AB中点，过点B作5A

（1）求线段CD的长；

（2）求cosABE的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知关于x的一元二次方程mx

（1）求m的取值范围；

（2）若x20，且

m2x20有两个不相等的实数根x1,x2．

x1

1，求整数m的值．x2

20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？

并求出当天利润的最大值．

21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求证：

直线PC是⊙O的切线；

（2）若ABAD=2，求线段PC的长．

22．阅读下面材料：

小明观察一个由11正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：

对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：

（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．

请你帮小明计算：

OC=_______________；

tanAOD=_______________；

图1图2图3

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，计算：

tanAOD=_______________．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分）23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y

（1）求代数式mn的值；

（2）若二次函数y（x1）的图象经过点B，求代数式

k

的图象经过点A（1,4），B（m,n）.x

mn2mn3mn4n的值；

（3）若反比例函数y

32

的图象与二次函数x

ya（x1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线

yx的下方，结合函数图象，求a的取值范围.

5

24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2，当∠ABC=45°

且α=90°

时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．

①若α=90°

，依题意补全图3，求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

6

图1

BB图2图3备用图

25.在平面直角坐标系xOy中，设点Px1,y1，Qx2,y2是图形W上的任意两点．

定义图形W的测度面积：

若为图形W的测度面积．

例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1x1x2取得最大值，且最大值m=2；

当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，y1y2取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积Smn4．

x1x2的最大值为m，y1y2的最大值为n，则Smn

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.

①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；

②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为；

（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

图3

7

海淀区九年级第一学期期末练习

2015.1

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知:

1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可．

2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分．

3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数．

9．3；

10．24；

11．x12,x21；

12．

（1）37，26；

（每个答案1分）

（2）6.（2分）

三、解答题：

（本题共30分，每小题5分）

13．（本小题满分5分）

解：

原式1112……………………………………………………………………4分2

1．………………………………………………………………………………5分2

14.（本小题满分5分）

证明：

∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD⊥BC．…………………………………………………………………………1分∴∠ADC=90°

．

∵BE⊥AC，

∴∠BEC=90°

∴∠ADC=∠BEC．……………………………………………………………………3分在△ACD和△BCE中，

ACDBCE，ADCBEC，

∴△ACD∽△BCE．……………………………………………………………………5分

15.（本小题满分5分）

由已知，可得m23m20．………………………………………………………1分

∴m223m．………………………………………………………………………2分

8

m211m223m3．………………………………………………5分∴原式=mmm

16.（本小题满分5分）

解一：

设平移后抛物线的表达式为y2xbxc．…………………………………1分

∵平移后的抛物线经过点A（0,3），B（2,3），2

3c,∴………………………………………………………………………3分382bc.

b4,解得…………………………………………………………………………4分c3.

所以平移后抛物线的表达式为y2x4x3．………………………………5分解二：

∵平移后的抛物线经过点A（0,3），B（2,3），

∴平移后的抛物线的对称轴为直线x1.…………………………………………1分∴设平移后抛物线的表达式为y2x1k．………………………………2分∴3221k．.………………………………………………………………3分∴k1．.………………………………………………………………………………4分所以平移后抛物线的表达式为y2x11．………………………………5分

17.（本小题满分5分）

（1）将x2代入y2x中，得y224．

∴点A坐标为（2,4）．………………………………………………………………1分∵点A在反比例函数yk的图象上，x2222

∴k248．……………………………………………………………………2分∴反比例函数的解析式为y8．………………………………………………3分x

（2）P1,8或P1,8．……………………………………………………………5分

18.（本小题满分5分）

（1）∵△ABC中，∠ACB=90°

∴AB4，BC=8，5BC810．…………………………………………………………1分sinA5

9

∵△ABC中，∠ACB=90°

，D是AB中点，∴CD

AB5．…………………………………………………………………2分2

（2）解法一：

过点C作CF⊥AB于F，如图．

∴∠CFD=90°

在Rt△ABC

中，由勾股定理得AC∵CFABACBC，∴CF

6．

A

ACBC24

．………………………………3分AB5

∵BE⊥CE，

∴∠BED=90°

．∵∠BDE=∠CDF，

∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分

24CF24

∴cosABEcosDCF．…………………………………5分CD525

解法二：

∵D是AB中点，AB=10，

∴BD∴SBDC

AB5．……………………………………………………………………3分21

SABC．2

中，由勾股定理得AC∴SABC

6824．2

∴SBDC12．

∴BECD12．2

∵CD5，

24

∴BE．………………………………………………4分

∵BE⊥CE，∴∠BED=90°

BE24

．∴cosABE……………………………………………………5分BD525

四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）

10

（1）由已知，得m0且m242mm4m4m20，

22

∴m0且m2．…………………………………………………………………2分

（2）原方程的解为x

∴x1或x

m2m2．

2m

．…………………………………………………………………3分m

∵x20，∴x11，x20．∴m0．

m

∵

x1m

1，∴1．∴m2．

2x2

又∵m0且m2，

∴2m0．……………………………………………………………………4分∵m是整数，∴m1．………………………………………………………5分

20.（本小题满分5分）

（1）y1005x2x410x180x400．……………………………2分

（1x10且x为整数）．

（2）∵y10x180x40010x91210．…………………………3分

又∵1x10且x为整数，

∴当x9时，函数取得最大值1210．…………………………………………4分答：

工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．

………………………………………………………………5分

21.（本小题满分5分）

（1）连接OB,OC．

∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴FA⊥BC．…………………1分∵FA经过圆心O，

∴OF⊥BC于E，CFBF．

∴∠OEC=90°

，∠COF=∠BOF．

∵∠BOF=2∠BAF．∴∠COF=2∠BAF．∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF．

∠OEC=90°

∵∠OCE+∠COF=180°

∴∠OCE+∠PCB=90°

，即∠OCP=90°

．∴OC⊥PC．

∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线．………………………………2分

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2．∴BE=CE=1．在Rt△ABE中，∠AEB=90°

，AB

∴AE

3．…………………………………………………………3分

11

设⊙O的半径为r，则OCOAr，OE3r．

在Rt△OCE中，∠OEC=90°

，∴OC2OE2CE2．∴r3r1．

解得r

．…………………………………………………………………………4分3

∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°

55

OEOC．∴△OCE∽△CPE．∴．∴CECP1CP

∴CP．……………………………………………………………………………5分

3

22.（本小题满分5分）

（1）如图，线段CD即为所求；

……………………1分

（2）OC

，tanAOD=5；

……………………3分4

（3）tanAOD=7．…………………………………5分

五、解答题：

（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．（本小题满分7分）解：

（1）∵反比例函数y

B

的图象经过点A（1,4），x

4．x

∴k4．………………………………………………………………………1分∴反比例函数的解析式为y∵反比例函数y

的图象经过点B（m,n），x

∴mn4．………………………………………………………………………2分

（2）∵二次函数y（x1）的图象经过点B（m,n），

∴n（m1）．…………………………………………………………………3分由

（1）得mn4，

∴原式mn（m22m1）2mn4n

（4m1）84n

4n84n

8．……………………………………………………………………4分

（3）由

（1）得反比例函数的解析式为y．

x

令yx，可得x24，解得x2．

12

∴反比例函数y

的图象与直线yx交于x

点（2,2），（2,2）．…………………………5分

当二次函数ya（x1）2的图象经过点（2,2）时，可得

a2

当二次函数ya（x1）的图象经过点（2,2）∵二次函数ya（x1）的顶点为（1,0），∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是

0a2或a．…………7分

24.（本小题满分7分）

（1）AD+DE=4．……………………………………………………………………………………1分

（2）①补全图形．……………………………………………………………………………………2分解：

设DE与BC相交于点H，连接AE，

交BC于点G，如图．∠ADB=∠CDE=90°

，∴∠ADE=∠BDC．在△ADE与△BDC中，

ADBD,

ADEBDC,DEDC,

∴△ADE≌△BDC．……………………………………3分∴AE=BC，∠AED=∠BCD．

DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC．

∴∠EGH=∠EDC=90°

．…………………………………………………………………………4分线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF//CB．∴AE=EF．CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°

．AE=EF，∠AEF=90°

，∴∠AFE=45°

．∴AF=②AF8sin

EF

…………………5分

cos45

．………………………………………………………………………………7分

25.（本小题满分8分）

（1）①1；

………………………………………………………………………………1分

②1．………………………………………………………………………………2分

（2）2．…………………………………………………………………………………4分（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度

面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．

13

当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．

过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点G，则可得四边形EFGH是矩形．

当点P，Q分别与点A，C重合时，x1x2取得最大值m，且最大值mEF；

当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．

………………………………5分

当点P，Q分别与点B，D重合时，y1y2取得最大值n，且最大值nGF．∴图形W的测度面积SEFGF．∵∠ABC=90°

，∴∠ABE+∠CBF=90°

．∵∠AEB=90°

，∴∠ABE+∠BAE=90°

．∴∠BAE=∠CBF．

又∵AEBBFC90，∴△ABE∽△BCF．…………………………………6分∴

AEEBAB4

．BFFCBC3

设AE4a,EB4ba0,b0，则BF3a,FC3b，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AEBEAB．∴16a216b216．即a2b21．

∵b

0，∴b易证△ABE≌△CDG．∴CGAE4a．

∴EFEBBF4b3a，GFFCCG3b4a．

∴SEFGF4b3a3b4a12a

12b25ab1225

1212

122

∴当a

491，即a时，测度面积S

取得最大值1225．…………7分

22∵a

0,b00．∴S12．

∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为12S≤综上所述，测度面积S的取值范围是12≤S≤

49．2

49

．………………………………………8分

14