江苏专用版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形46简单的三角恒等变换文含答案.docx
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江苏专用版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形46简单的三角恒等变换文含答案
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6简单的三角恒等变换文
1.公式的常见变形
(1)1+cosα=2cos2;
1-cosα=2sin2;
(2)1+sinα=(sin+cos)2;
1-sinα=(sin-cos)2.
(3)tan==.
2.辅助角公式
asinx+bcosx=sin(x+φ),
其中sinφ=,cosφ=.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=3sinx+4cosx的最大值是7.( × )
(2)设α∈(π,2π),则=sin.( × )
(3)在非直角三角形中有:
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.( √ )
(4)设<θ<3π,且|cosθ|=,那么sin的值为.( × )
(5)公式asinx+bcosx=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.( × )
1.已知cosα=,α∈(π,2π),则cos=________.
答案 -
解析 ∵∈(,π),
∴cos=-=-=-.
2.的值为________.
答案 -
解析 原式=
==-.
3.(教材改编)sin15°-cos15°=________.
答案 -
解析 sin15°-cos15°=2sin(15°-60°)
=-2sin45°=-.
4.若f(x)=2tanx-,则f的值为______.
答案 8
解析 ∵f(x)=2tanx+
=2tanx+
==,
∴f==8.
5.若锐角α、β满足(1+tanα)(1+tanβ)=4,则α+β=________.
答案
解析 由(1+tanα)(1+tanβ)=4,
可得=,即tan(α+β)=.
又α+β∈(0,π),∴α+β=.
题型一 三角函数式的化简与求值
例1
(1)化简:
=________.
(2)计算:
=________.
答案
(1)cos2x
(2)-4
解析
(1)原式=
=
=
==cos2x.
(2)原式=
==-4.
思维升华
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
(1)cos·cos·cos=________.
(2)已知cos=,θ∈,则sin=________.
答案
(1)-
(2)
解析
(1)原式=cos·cosπ·cos(-3π+π)
=
=
=
=-.
(2)由题意可得,cos2==,cos=-sin2θ=-,即sin2θ=.
因为cos=>0,θ∈,
所以0<θ<,2θ∈,
根据同角三角函数基本关系式可得cos2θ=,
由两角差的正弦公式可得
sin=sin2θcos-cos2θsin=.
题型二 三角函数的求角问题
例2
(1)已知锐角α,β满足sinα=,cosβ=,则α+β=________.
(2)已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα、tanβ,且α、β∈,则α+β=________.
答案
(1)
(2)-
解析
(1)由sinα=,cosβ=且α,β为锐角,
可知cosα=,sinβ=,
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×-×=,
又0<α+β<π,故α+β=.
(2)依题意有
∴tan(α+β)===1.
又∴tanα<0且tanβ<0.
∴-<α<0且-<β<0,
即-π<α+β<0,结合tan(α+β)=1,
得α+β=-.
思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是,则选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为,则选正弦较好.
(1)若α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β=________.
(2)在△ABC中,tanA+tanB+=tanA·tanB,则C=________.
答案
(1)-
(2)
解析
(1)∵tanα=tan[(α-β)+β]=
==>0,又α∈(0,π).∴0<α<,
又∵tan2α===>0,
∴0<2α<,
∴tan(2α-β)===1.
∵tanβ=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,
∴2α-β=-.
(2)由已知可得tanA+tanB=(tanA·tanB-1),
∴tan(A+B)==-,
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