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ZC=2:
3:
4,求ZAZBZC2三角形外角和定理
2.1外角:
三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角.
2.2性质:
1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
3三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
2.3外角个数:
过三角形的一个顶点有两个外角,这两个角为对顶角(相等)可见一个三角形共有6个外角
四、三角形的分类
(1)按角分:
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形
(2)按边分:
①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形
五多边形及其内角
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形•
2、正多边形:
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
3、多边形的对角线
(1)从n边形一个顶点可以引(n—3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形。
总〔代—3)
(2)n边形共有-条对角线。
4、n边形的内角和等于(n-2)•180°
(n>
3,n是正整数)。
任意凸形多边形的外角和等于360
※多边形外角和恒等于360°
,与边数的多少无关.
※多边形最多有3个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);
※多边形的外角中最多有3个钝角,最少没有钝角.
5、实现镶嵌的条件:
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°
;
相邻的多边形有公共边。
【考点三】判断三角形的形状
&
若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,试判断△ABC的形状。
9、已知a,b,c是厶ABC的三边,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判断△ABC的形状。
10、若厶ABC的三边为a、b、c(a与b不相等),且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0,试判断△ABC的形状。
二、三角形角有关计算
1.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点
解•••AD>
^ABC的高,/C=70°
•••/DAC=180-90°
-70°
=20°
•//BAC=50
•/ABC=180-50°
=60°
•••AE和BF是角平分线
•/BAO=25,/ABO=30
•
O,/A=50°
/C=70°
求/DACZAOB
4.如图,/1=/2,/3=/4,/A=100°
求x的值
/AOB=180-25°
-30°
=125°
7.AABC中,/ABC的平分线BD和厶ABC的外角平分线CD交于D,求证:
/A=2/D(角平分线模型)
证明:
TBD、CDA角平分线:
."
Z2Z3=Z4
在△BDC中Z4-Z2+ZD二Z3=Z2+ZD
在△ABC中ZACE=ZA+ZABC
A2Z3=ZA+2Z2A2(Z2+ZD)=ZA+2Z2
:
.ZA=2ZI)
8AAOB中,/AOB=90°
,/OAB的平分线和△ABC的外角/OBD平分线交于P,求/P的度数
W:
VAP.RP是荷平分践
AZ1=Z2Z3=Z4
在△ABI*中Z4=Z2+Zr/-Z3=Z2+ZP
在△ARO中ZOBD=ZO+ZOAB•\2ZJ=ZO+2Z2•\2(Z2+ZP)=ZO+1Z2
.ZO=2ZP
.ZP=45*
9•如图:
求证:
/A+/B+/C=/ADC(飞镖模型)
讹明:
连揍BD并建长期E
VZAftE=ZABIHZA/
(1)E=ZCBIHZC
、:
ZAIX^ZABD+Z('
BDZAB(=ZABD+ZA
.ZA+ZABOZC^ZAIK
第12章全等三角形
一、全等三角形的概念与性质
1、概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(1)表示方法:
两个三角形全等用符号“也”来表示,记作ABC也DEF
2、性质:
(1)对应边相等
(2)对应角相等(3)周长相等(4)面积相等
边边边(SSS
边角边(SAS
角边角(ASA)
角角边AAS
直角边和斜边(HL)
A
/\
L
B~H~C
■■■w
BC
1、
三边对应相等的
有两边和它们的夹
有两角和它们的
两角和及其中一
\有一条斜边和一条
两三角形全等
角对应相等的两个
夹边对应相等的
个角所对的边对
直角边对应相等的
三角形全等
两个三角形全等•
应相等的两个三
两个直角三角形全
角形全等•
等(HL)
2•全等三角形证题的思路:
找夹角(SAS)
1已知两边找直角(HL)
找第三边(SSS
若边为角的对边,则找任意角(AAS)
2已知一边一角找已知角的另一边"
SAS)
边为角的邻边找已知边的对角(AAS)找夹已知边的另一角(ASA)
③已知两角
找两角的夹边(ASA)找任意一边(AAS)
3全等三角形的隐含条件:
①公共边(或公共角)相等②对顶角相等
3利用等边(等角)加(或减)等边(等角),其和(或差)仍相等
4利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
【知识要点】
全等三角形(SAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或
SAS'
几何表示
如图,在ABC和DEF中,
ABDE
BE
BCEF
【典型例题】
ABC也DEF(SAS)
【例1】已知:
如图,AB=AC,AD=AE,求证:
BE=CD.
在厶ABE和厶ACD中,
AB=AC,
/BAE=/CAD
AD=AE
△ABE◎△ACD
【例4】如图,点AF、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,AB//DE且AB=DE,AF=DC。
BC//EF。
【例2】如图,已知:
点DE在BC上,且BD=CE
AD=AE/1=/2,由此你
能得出哪些结论?
给出证
明•
证明:
■JAB"
DE
J*
AF=DC
AF+FC=DC+FC
AC-DF
在△ABC^>
△DEF中
AB=DE
*NZND
AC=DF
-
AABC^?
ADEFCSAS?
^DFE=^:
ACB
Z.BC//EF
【例5】如图,已知△ABC△BDE均为等边三
角形。
BD+CD=AD
【例3】如图已知:
AE=AFAB=AC/A=60°
/B=24°
求/BOE的度数.
C
全等三角形(sss
三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”,
几何表示
例3.如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
【例1】如图,在ABC中,M在BC上,D在
AM上,AB=AC,DB=DC
的角平分线
在厶ABD和厶ACD
AM是ABC
AB=AC
DB=DC
AD=AD
△ABD◎△ACD(SSS)
•••/BAD=/CAD
又•••AB=AC
•••MB=MC
中,
•AM是ABC的角平分线(三线合一)
【例2】如图:
在厶ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD丄AC。
例4.如图,在ABC中,C90,D、E分
别为AC、AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.
DE丄AB。
解新:
TD是AC的申点(己知)
/.AD=C»
AAABD^ACBO中
BA^BC(已知)
£
AD=CD{己证)
B片〔公拱边)
AABD^AGBD(sss)
二NADB二NGDB(全寻三南形的时应鼠相等)
*^ADB-ZCDB-9O*
ABD丄M(垂是定
【例2】如图,AB=ACBC,求证:
全等三角形(AAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“AAS,【典型例题】
【例1】已知如图,AD,ABDE,AB//DE,求证:
BC=EF
【例3】已知:
如图,
AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
【例4】已知如图,1
2,34,点P在AB上,可以得出PC=PD吗?
试证明之.
全等三角形(ASA)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“
【例1】如图,已知ABC中,ABAC,BE、CD分别是ABC及
AAS'
ACB平分线.求证:
CDBE.
卡正明:
VAB=AC
*ZABC=-^ACB
BE,CD分别是ZABC和ZACB^J平分线
AABCD和ACBE申
^DCB=NE日C
BC=BC
^ABC=^ACB
ABCD^ACBE(ASA)
"
CD=BE
【例2】如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.求证:
•••MQ和NR是厶MPN的高,
•••/MQN=ZMRN=90°
又•••/1+Z3=Z2+Z4=90°
/3=Z41=Z2
12
在厶MPQ和厶NHQ中,MQNQ
MQPNQH
•△MPQ也厶NHQ(ASA)•PM=HN
如图AC丄CD于C,BD丄CD于D,M是AB的中点
AC=BF.
连结CM并延长交BD于点F。
全等三角形(HL)
直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“HL
1、如图,AB=CDDEIACBF丄ACE,F是垂足,DE二BF.求证:
AB//CD.
解析:
'
/DE丄AEBF丄At;
(已知)
二ZAFB=ZCED=90°
(>直定艾)在ACED^iAFB中
DE=BF(已知)
ZAFB=ZCED=9Oo(已证)
AB=CD(已新)
二AAFB(HL)
、ZA^ZC(全等三角形的对应角相等)AABACD(内掛箱杞等两直线平拧)
①△BEC^ADAE:
②DF丄BC
例2、已知:
BE丄CD,BE=DE,BC=DA
例3、如图:
在厶ABC中,/C=90,AC=BC,过点C在厶ABC外作直线MN,AM丄MN于M,BN丄MN于N。
(1)求证:
MN=AM+BN。
全等三角形常见辅助线的作法
一倍长中线法
倍长中线法:
就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法•
图1图2
倍长中线法的过程:
延长XX到某点,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角)
方法总结:
遇中线,要倍长,倍长之后—构造全等三角形_,转移边、转移角,然后和已知条件重新组合解决问题
【例题精讲】
例1、如图1,在厶ABC中,AD为BC边上的中线.求证:
AB+AC>
2AD•分析:
①因为AD为中线,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE;
②进而利用全等三角形的判定(SAS)△ABDECD;
③由全等可得_AB=EC__;
¥
延长AD至E,使DE=AD,连接EC
•/AD是中线•••DC=DB
在厶CDE和厶BDA中
DE=AD,丄CDE=ZBDA,
一DC=DB
•△CDE^ABDA(SAS)
•CE=AB
在厶AEC中CE+AC>
AE,CE=AB
•AB+AC>
AEvDE=AD
•AE=2ADvAB+AC>
AE•AB+AC>
2AD
例2如图CB,CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且ACAB.求证:
CE=2CD
延长CD至,使DF=CD,连接BF,
在"
ADF和"
BDC中广AD=BDY/ADF=/BDC
-CD=DFI
•"
ADF6BDC
•AF=BC,
AF//BC•/CAF+/ACB=180°
v/ACB=/ABC,/ABC+/CBE=180
•/CAF=/CBE又因为AC=BE
CAF6CBE•CE=CF
G,若BGCF,求证:
AD为ABC的角平分线.证明:
延长FE到点H,使HE
例4、如图,在ABC中,
AF=EF
AD是BC边的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证:
延长AD到点G,使AD=DG,连结BG.•/AD是BC边的中线•DC=DB
在厶ADC和厶GDB中
AD=DG
/ADC=/GDB
DC=DB
•△ADCGDB(SSS)
.•/CAD=/BGDBG=AC
•/ZBED=ZAEF,•ZAEF=/CAD,即:
/AEF=ZFAE,•AF=EF.
二截长补短法
截长:
1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另短边相等。
补短:
1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
证法二:
(截长法)
在AB上截取AE=AC,连结DE
在厶AED和厶ACD中
AS=AC
勺Zl=Z2
AD=AD
例2、如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,/B=2/C.求证:
CD=AB+BD.证明:
在DC上截取DE=DB,连接AE,
在厶ADB和^ADE.中DE=DB,/ADB=/ADE,AD=AD/•△ADE◎△ADB(SAS)
•••AE=AB,/AEB=/B,
•//AEB=/C+ZCAE,/B=2/C,ED=BD,
•ZAEB=2ZC.
ZC=ZCAE,故CE=AE=AB.
•CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.
例3、如图,AD//BC,BE、AE分别是ZABC、ZBAD的平分线,点E在CD上,求证:
AB=AD+BC
在AB上截取AF=AD,连接EF.
vAE平分ZBAD,
•Z1=Z2.
在厶FAE和厶DAE中,
AF=AD
\Z仁Z2
<
AE=AE
•△FAEDAE.
•ZAFE=ZD
又vAD//BC
例4、如图,△ABC中,AB>
AC,AD是ZBAC的角平分线,P是线段AD上任一点除A、D外的任意
一点。
AB—AC>
PB—PC
在AB是截取AE=AC
在△ACP与AAEP中,有:
『AC=AE(已知)
彳ZEAP=ZCAP(已知AD是ZBAC角平分线)」AP=AP(公共边)
•AACP◎△AEP(SAS)
•PC=PE(全等三角形对应边相等)
vBE>
PB—PE(三角形两边差小于第三边)
•BE>
PB—PC(等量代换)
v"
BE=AB—AE
AC=AE
、BE>
PB—PC
•AB—AC>
三与角平分线有关的辅助线
a、对称性;
b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的性质
1、角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等。
例1,如图,0C是/AOB的角平分线,点P是0C上一点,PD丄OA于点D,PE丄OB于E,
PD=PE。
•••PD丄OA,PE丄0B(已知)•••/ODP=/OEP=9O0(垂直的定义)又•••OC平分/AOB(已知)
•••/AOC=/BOC(角的平分线定义)
在Rt△DOP和Rt△EOP中
AOCBOC
ODPOEP
OPOP
•Rt△DOP也Rt△EOP(AAS)
•PD=PE(全等三角形的对应边相等)
2、角的平分线的逆应用(角平分线的判定)
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
例2已知:
如图,点P在/AOB内部的一条射线OC上,并且PD丄OA于点D,PE丄OB于E,
射线OC是/AOB的平分线。
•••PD丄OA,PE丄OB(已知)•/ODP=/OEP=900(垂直的定义)
•Rt△DOP也Rt△EOP(HL)
即射线OC平分/AOB
•••/DOP=/EOP(全等三角形的对应角相等)
例3:
如图,已知OE平分/AOB,BC丄OA,AD丄OB。
EA=EB
例4:
如图,
已知CD丄AB于D,BE丄AC于E,CD,BE相交于点
O,OB=OC
/仁/2
B
例5:
如图所示,已知0D平分/AOB,在OA,
PN丄AD。
PM=PN
例6:
如图,AD是厶ABC中/BAC的平分线,DE,DF分别是△ABD和厶ACD的高,那么EF与AD有何特殊的位置关系?
试证明你的结论。
例7:
如图,在四边形ABCD中,BC>
BA,AD=DC,BD平分/ABC。
/A+/C=18O0。
知识网络结构图
第13章轴对称
的垂直平分线上
厂轴对称变换:
由一个平面图形得到它的轴对称图形,叫做轴对称变换
作轴对称图形1用坐标表示轴对称
P(x,y)关于x轴的对称点的坐标为P'
(x,—y
P(x,y)关于y轴的对称点的坐标为P"
(—x,y)
等腰三角形彳
广定义:
有两条边相等的三角形•叫做等腰三角形
(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互
重合(三线合一)
1、轴对称及轴对称图形
轴对称图形:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称。
如下左图,△ABC是轴对称图形。
规律方法小结:
轴对称图形是指“一个图形”;
轴对称是指“两个图形”的位置关系,在某种情况下,二者可以互相转换,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形。
等腰三角形和等边三角形
1、等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
2、等腰三角形的性质:
等边对等角三线合一
(1)两腰相等
(2)两底角相等
(3)“三线合一”,即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
3、等腰三角形的判定:
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形
4、等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角形
5、等边三角形的性质:
三边都相等,三个角都相等,每一个角都等于60°
6、等边三角形的判定:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形
3)有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形
例1:
已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:
4,则这个等腰三角形顶角的度数为()
A、20°
B、120°
C、20°
或120°
D、36°
例2:
如图,在△ABC中,点D是BC上一点,/BAD=80°
AB=AD=DC,则/C=
例2:
若等腰三角形的底边长为8cm,腰长是5cm,则这个等腰三角形的周长是()
A、21cmB、18cmC、18cm或21cmD、13cm或26cm
例3:
如图,△ABC中,/C=90°
ZABC=6°
°
BD平分/ABC,若AD=6,贝UCD=
如图,在△ABC中,AB=AC,AE是/BAC的外角/DAC的平分线。
试判断AE与BC的位
如图,△ABD和厶ACE是等边三角形。
BE=CD
例6.已知如图所示,在厶ABC中,BD是AC边上的中线,DB丄BC于B,/ABC=1200求证:
AB=2BC
例7:
如图,在△ABC中,/C=90°
/BAC=60°
AB的垂直平分线DE交AB于E,交BC于E,
若CE=3cm,求BE的长
【例8】如图,△DAC和厶EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结
论:
①△ACDDCB;
②CM=CN;
③AC=DN.其中正确结论的个数是
A.3个B.2个C.1个D.0个分析:
•••△DAC和厶EBC均是等边三角形
•••AC
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