步步高人教A版文科届高三数学第一轮大练习复习学案11 集合的概念与运算Word下载.docx
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图形
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;
A∪A=A;
A∪B=B∪A;
A∪B=A⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩∅=∅;
A∩A=A;
A∩B=B∩A;
A∩B=A⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;
A∩(∁UA)=∅;
∁U(∁UA)=A.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)A={x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
)
(2){1,2,3}={3,2,1}.( √ )
(3)∅={0}.( ×
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( ×
(5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ )
(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<
4},则∁UP={2}.( √ )
2.(2013·
北京)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<
1},则A∩B等于( )
A.{0}B.{-1,0}
C.{0,1}D.{-1,0,1}
答案 B
解析 ∵-1,0∈B,1∉B,∴A∩B={-1,0}.
3.(2013·
山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
答案 C
解析 x-y∈
.
4.(2013·
课标全国Ⅱ)已知集合M={x|(x-1)2<
4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N( )
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}
答案 A
解析 化简集合M得M={x|-1<
x<
3,x∈R},则M∩N={0,1,2}.
5.设集合A={x|x2+2x-3>
0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>
0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________
答案
解析 A={x|x2+2x-3>
0}={x|x>
1或x<
-3},
因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>
0,f(0)=-1<
0,
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,
则这个整数为2,
所以有f
(2)≤0且f(3)>
即
所以
≤a<
题型一 集合的基本概念
例1
(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.10
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义,明确元素的特征,抓住集合的“三性”.
答案
(1)D
(2)2
解析
(1)由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>
y,
当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;
当y=2时,x可取3,4,5,有3个;
当y=3时,x可取4,5,有2个;
当y=4时,x可取5,有1个.
故共有1+2+3+4=10(个),选D.
(2)因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,得
=-1,
所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条
件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽
略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.3
(2)若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a=________.
答案
(1)C
(2)0或
解析
(1)集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即A∩B的元素个数为2.
(2)∵集合A的子集只有两个,∴A中只有一个元素.
当a=0时,x=
符合要求.
当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×
2=0,∴a=
故a=0或
题型二 集合间的基本关系
例2
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<
5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________
思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集,可按含元素的个数依次写出;
B⊆A不要忽略B=∅的情形.
答案
(1)D
(2)(-∞,4]
解析
(1)用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C的个数.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
,解得2<
m≤4.
综上,m的取值范围为m≤4.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.
(1)设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( )
A.6个B.5个C.4个D.3个
(2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________
答案
(1)A
(2)4
解析
(1)集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),集合{2}的所有子集共有2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个).
(2)由log2x≤2,得0<
x≤4,
即A={x|0<
x≤4},
而B=(-∞,a),
由于A⊆B,如图所示,则a>
4,即c=4.
题型三 集合的基本运算
例3
(1)(2013·
湖北)已知全集为R,集合A=
,B=
,则A∩(∁RB)等于( )
A.{x|x≤0}
B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0≤x<
2或x>
4}
D.{x|0<
x≤2或x≥4}
(2)(2012·
天津)已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<
0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________
思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简,然后结合数轴或Venn图计算.
答案
(1)C
(2)-1 1
解析
(1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}
∴A∩(∁RB)={x|x≥0}∩{x|x>
4或x<
2}
={x|0≤x<
4}.
(2)先求出集合A,再根据集合的交集的特点求解.
A={x|-5<
1},因为A∩B={x|-1<
n},
B={x|(x-m)(x-2)<
0},所以m=-1,n=1.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
(1)设集合A=
,B={x∈Z|x-2>
0},则A∩B=( )
A.{x|2<
x≤3}B.{3}
C.{2,3}D.{x|-1≤x<
(2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________.
答案
(1)B
(2)1或2
解析
(1)A={x|-1≤x≤3},B={x∈Z|x>
2},
∴A∩B={x∈Z|2<
x≤3}={3}.
(2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·
(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·
(-2)=2,由这两式得m=2
经检验知m=1和m=2符合条件.
∴m=1或2.
遗忘空集致误
典例:
(5分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值组成的集合为__________
易错分析 从集合的关系看,S⊆P,则S=∅或S≠∅,易遗忘S=∅的情况.
解析 P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P;
当a≠0时,方程ax+1=0的解集为x=-
,
为满足S⊆P可使-
=-3或-
=2,
即a=
或a=-
.故所求集合为
温馨提醒
(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.
(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如a=0时,S=∅;
二是易忽略对字母的讨论.如-
可以为-3或2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.
方法与技巧
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;
对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
失误与防范
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;
二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
5.要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.
A组 专项基础训练
一、选择题
1.(2013·
重庆)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,3,4}B.{3,4}
C.{3}D.{4}
答案 D
解析 因为A∪B={1,2,3},全集U={1,2,3,4},所以∁U(A∪B)={4},故选D.
2.下列集合中表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={2,3},N={3,2}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={2,3},N={(2,3)}
解析 选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M有两个元素,而集合N只含有一个元素,故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合.
3.已知全集S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁SA={3},则实数a等于( )
A.0或2B.0
C.1或2D.2
解析 由题意,知
则a=2.
4.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q等于( )
A.{3,0}B.{3,0,2}
C.{3,0,1}D.{3,0,1,2}
解析 由P∩Q={0},得log2a=0,所以a=1,从而b=0,
P∪Q={3,0,1}.
5.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}.
∴M∩N的子集共有22=4个.
6.已知集合A={x|x2-x-2<
0},B={x|-1<
1},则( )
A.ABB.BA
C.A=BD.A∩B=∅
解析 因为A={x|x2-x-2<
0},
所以A={x|-1<
2}.
又B={x|-1<
1},画出数轴,可得BA.
7.(2013·
辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( )
A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]
解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}.
8.设全集U为整数集,集合A={x∈N|y=
},B={x∈Z|-1<
x≤3},则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )
A.3B.4C.7D.8
解析 因为A={x∈N|y=
}={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6},
由题意,知题图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3},
所以其真子集有:
∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.
二、填空题
9.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=__________.
答案 -1或2
解析 由a2-a+1=3,得a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,由于集合中不能有相同元素,所以舍去.故a=-1或2
10.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=__________
答案 {(0,1),(-1,2)}
解析 A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.
11.已知集合A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则A∩B=________.
答案 {x|-2≤x≤1}
解析 易知A={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-2≤x≤1}.
12.已知集合A={x|1≤x<
5},C={x|-a<
x≤a+3}.若C∩A=C,则a的取值范围是________.
答案 (-∞,-1]
解析 因为C∩A=C,所以C⊆A.
①当C=∅时,满足C⊆A,此时-a≥a+3,得a≤-
;
②当C≠∅时,要使C⊆A,则
解得-
<
a≤-1.
B组 专项能力提升
1.设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A.57B.56C.49D.8
解析 集合S的个数为26-23=64-8=56.
2.已知集合M={x|
≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N等于( )
A.∅B.{x|x≥1}
C.{x|x>
1}D.{x|x≥1或x<
0}
解析 由
≥0,得
∴x>
1或x≤0,∴M={x|x>
1或x≤0},N={y|y≥1},
M∩N={x|x>
1}.
3.已知U={y|y=log2x,x>
1},P={y|y=
,x>
2},则∁UP=________.
解析 ∵U={y|y=log2x,x>
1}={y|y>
P={y|y=
2}={y|0<
y<
},
∴∁UP={y|y≥
}=
4.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<
0,c>
0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>
0}=(0,1),B={x|x2-cx<
0}=(0,c),
因为A⊆B,画出数轴,如右图所示,得c≥1.
5.已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>
0,b≠1},若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范围是________.
答案 (1,+∞)
解析 由于集合B中的元素是指数函数y=bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点,要使集合A∩B只有一个真子集,那么y=bx+1(b>
0,b≠1)与y=a的图象只能有一个交点,所以实数a的取值范围是(1,+∞).
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