高中数学思想方法之分离变量法培优题库及详解高难度百题Word格式文档下载.docx
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与曲线:
存在公切线,则的取值范围为
25.设,,且为偶函数,为奇函数,若存在实数,当时,不等式成立,则的最小值为
26.设函数(为非零实数),若有且仅有一个零点,则的取值范围为
27.若对任意的,均有成立,则称函数为函数到函数在区间上的“任性函数”.已知函数,,,且是到在区间上的“任性函数”,则实数的取值范围是
28.若命题“存在,使得成立”为假命题,则实数的取值范围为
29.已知函数,若对任意的自变量,恒有,则实数的取值范围是
30.已知函数,若对于任意的和任意的正数,使得成立,则实数的取值范围为
31.已知函数,若在区间上恒为单调函数,则实数的取值范围是
32.已知函数在上恒小于零,则实数的取值范围为
33.对于给定的正实数,函数的图象上总存在点,使得以为圆心、为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为,则实数的取值范围是
34.若不等式对于一切恒成立,则实数的取值范围为
35.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是
36.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是
37.若对,,总有不等式成立,则实数的取值范围是
38.若关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围为
39.不等式对任意及任意恒成立,则实数的取值范围是
40.设实数,且满足,则使不等式恒成立的的最大值为
三、解答题(共60小题;
共780分)
41.设函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若时,恒成立,求整数的最小值.
42.已知函数,.
(1)当时,求函数的值域;
(2)如果对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
43.已知二次函数的最小值为,且.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上单调,求实数的取值范围;
(3)当时,图象恒在的图象上方,求的取值范围.
44.利用函数的性质(如单调性与奇偶性)来解不等式是我们常用方法,通过下列题组体会此方法的适用范围及应注意什么问题?
(1)已知函数,则不等式的解集为
(2)已知定义在上的奇函数在时满足,且在恒成立,则实数的最大值是
(3)已知函数,则不等式的解集是
45.已知函数.
(1)若,解关于的不等式;
(2)若对任意的都有,求的取值范围.
46.已知;
:
不等式恒成立.若是的必要条件,求实数的取值范围.
47.设函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围;
(3)过坐标原点作曲线的切线,证明:
切点的横坐标为.
48.已知等比数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和;
(3)设数列的前项和为,若不等式对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.
49.已知等差数列的前项和为,等比数列的各项均为正数,公比为,且满足,,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)设,若数列是递增数列,求的取值范围.
50.已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
51.已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2)若,且对任意恒成立,求的最大值.
52.已知函数.
(1)若为的极值点,求实数的值;
(2)若时,方程有实根,求实数的取值范围.
53.已知函数的图象与函数的图象关于点对称.
(2)若,且在区间上为减函数,求实数的取值范围.
54.已知,为常数,且,,.
(1)若函数有唯一零点,求函数的解析式;
(2)求函数在区间上的最大值;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
55.已知定义在上的函数.
(1)若,求的值;
(2)若对于恒成立,求实数的取值范围.
56.已知数列的前项和(),数列满足,.
(1)分别求数列,的通项公式;
(2)若数列满足,是数列的前项和,若存在正实数,使不等式对于一切的恒成立,求的取值范围.
57.设,.
(1)令,求的最小值;
(2)若任意且有恒成立,求实数的取值范围.
58.已知关于的不等式.
(1)当时,求该不等式的解集;
(2)当时,该不等式恒成立,求的取值范围.
59.已知函数,.
(1)求函数在处的切线方程;
(2)若至少存在一个使成立,求实数的取值范围;
(3)设且在时恒成立,求整数的最大值.
60.已知函数.
(1)若是增函数,求的取值范围;
(2)若,且恒成立,求最小值.
61.已知函数,.
(1)若曲线在处的切线为:
,求,的值;
(2)若函数在上是单调函数,求实数的取值范围;
(3)若有两个不同的极值点,且,记,求的最大值.
62.函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若,对任意的,总存在某个,使得成立,求实数的取值范围.
63.已知函数,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,求使不等式恒成立的最大整数的值.
64.已知函数.
(1)若曲线在处的切线与轴垂直,求函数的极值;
(2)设,若在上单调递减,求实数的取值范围,并分析方程在上实根的个数.
65.已知函数.
(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;
(3)当时,函数有零点,求实数的最大值.
66.已知函数.
(1)若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围;
(2)试讨论函数在区间内极值点的个数.
67.已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为,求的单调区间;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围.
68.已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,有恒成立,求整数的最小值.
69.已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).
(1)求的解析式及单调递减区间;
(2)是否存在常数,使得对于定义域内的任意,恒成立,若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由.
70.已知函数,,且直线和函数的图象相切.
(1)求实数的值;
(2)设,若不等式对任意恒成立(,为的导函数),求的最大值.
71.已知函数.
(1)若在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(2)设的导函数的图象为曲线,曲线上的不同两点,所在直线的斜率为,求证:
当时,.
72.已知函数,直线为曲线的切线.
(2)用表示,中的较小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.
73.已知函数,在点处的切线方程为.
(2)求的单调区间;
(3)若函数在定义域内恒有成立,求的取值范围.
74.已知函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为,求函数的最大值;
(2)若不等式与在上均恒成立,求实数的取值范围.
75.已知函数,,且,,为自然对数的底数.
(1)求函数在上极值点的个数;
(2)令函数,若,函数在区间上均为增函数,求证:
76.已知函数.
(1)证明:
当时,;
(2)若函数有两个零点,(,),证明:
77.已知函数,,其中是的导函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.
78.已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,求的单调性;
(3)若对任意的,,恒有成立,求实数的取值范围.
79.已知函数,,
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)若对都有成立,试确定实数的取值范围.
80.已知函数(,且).
(1)当,取一切非负实数时,若,求的范围;
(2)若函数存在极大值,求的最小值.
81.已知函数.
(1)试确定函数的零点个数;
(2)设,是函数的两个零点,当时,求的取值范围.
82.已知,函数的导数为.
(2)若函数存在极值,求的取值范围;
(3)若时,恒成立,求的最大值.
83.已知函数,.
(1)当时,求函数的极值;
(2)当时,讨论函数单调性;
(3)是否存在实数,对任意的,且,有恒成立?
若存在,求出的取值范围;
若不存在,说明理由.
84.已知,函数(是自然对数的底数).
(1)若函数在区间上是减函数,求的取值范围;
(2)若函数在区间内无零点,求的最大值.
85.已知函数.
(1)若在上是单调递减函数,求实数的取值范围;
(2)记,并设,是函数的两个极值点,若,求的最小值.
86.已知函数,.
(1)求函数在上的最小值;
(2)若存在使得成立,求实数的取值范围.
87.已知,函数.
(1)求的单调区间;
(2)若,对任意的,不等式恒成立,求的最小值.
88.已知,函数.
89.已知函数,其中为常数,设为自然对数的底数.
(1)当时,求的最大值;
(2)设,,若时,恒成立,求实数的取值范围.
90.已知函数.
(1)若曲线在点处的切线过点,且时,有极值,求实数,的值;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
91.已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,求在上的最大值;
(3)当有两个极值点,时,总有,求实数的值(为的导函数).
92.已知函数.
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
93.已知函数,,.
(1)若函数在上为减函数,求的最小值;
(2)若函数(,为自然对数的底数),,对于任意的,恒有成立,求的范围.
94.已知,.
(1)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式;
(2)在(Ⅰ)的条件下,求函数的图象在点处的切线方程;
(3)若不等式的解集为,且,求实数的取值范围.
95.已知函数.
(1)当时,求在的极大值;
(2)设,当有两个极值点时,总有,求此时实数的值(其中是的导函数).
96.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围;
(2)记两个极值点为,,且,已知,若不等式恒成立,求的取值范围.
97.已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知正实数满足:
存在使得成立,试比较与的大小,并证明你的结论.
98.已知函数.
(1)当时,求函数在上的最小值;
(2)若,不等式恒成立,求的取值范围;
(3)若,不等式恒成立,求的取值范围.
99.设函数,.
(1)解方程:
;
(2)令,求的值;
(3)若是实数集上的奇函数,所以,且对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
100.已知函数,,其中.设.
(1)若在处取得极值,且,求函数的单调区间;
(2)若时,函数有两个不同的零点,.
①求的取值范围;
②求证:
答案
第一部分
1.B【解析】对于①,若为真,则和可能为一真一假,所以不一定为真,故错误;
对于②,全称命题的否定为特称命题,故正确;
对于③应为既不充分也不必要条件,所以错误;
对于④,原不等式可转化为而最小值,所以若不等式无解,则,所以正确.
2.D【解析】不等式恒成立恒成立,其中,.
令
当且仅当时取等号.
所以,解得.
所以实数的最大值为.
3.C4.C【解析】当时,不等式可转化为.
令,则,
故函数在上单调递减,在上单调递增,
此时有.
当时,不等式恒成立.
当时,,
令,
则,
故函数在上单调递增,此时有.
综上,.
5.D
【解析】因为
又,
所以,
所以.
所以,即.
6.A【解析】因为在上单调递增,
所以在上恒成立,
因为在上恒成立,
设,
所以在上单调递减,
所以
7.A【解析】由题意知方程,
即在上有解,
设,则.
易知时,时,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,又,,,
所以方程在上有解等价于,
所以的取值范围为.
8.C【解析】由成立,可得,
设,则存在,使得成立,即成立,即成立.
.又,
所以.当且仅当时取等号.
9.D【解析】,即是说方程组有解.
由得,得出;
因为,
所以当时,的最小值为,
当时,的最大值为.
10.A
【解析】根据题意,若函数(,是自然对数的底)与的图象上存在关于轴对称的点,
则方程在区间上有解,
,即方程在区间上有解,
设函数,其导数,
又由,在有唯一的极值点,
分析可得:
当时,,为减函数,
当时,,为增函数,
故函数有最小值,
又由,;
比较可得:
,
故函数有最大值,
故函数在区间上的值域为;
若方程在区间上有解,必有,则有,
即的取值范围是.
11.A【解析】由已知,得到方程在上有解,
设,求导得:
所以在有唯一的极值点,
因为,且知,
故方程在上有解等价于,
从而的取值范围为.
12.C【解析】因为,所以,,,不等式恒成立等价于恒成立.因为,,所以(当且仅当时等号成立),
则要使恒成立,只需使,故的最大值为.
13.D【解析】由,得,令,,所以.令,得.当时,;
当时,,所以在时有最小值,从而当时,,则在上是增函数,所以无极大值也无极小值.
14.B【解析】函数的导数,
所以函数在上递减,在上递增,,,.
若对任意的,都有成立,即当时,恒成立,即恒成立,即在上恒成立,
令,则,,
当时,,即在上单调递减,
由于,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
15.A
【解析】由,即
得,
又,分别为偶函数、奇函数,所以
联立解得,,.
,即,也即,
即,
因为存在实数,当时,不等式成立,,
所以的最小值为.
16.A【解析】由,得
消去并整理,得,
即.
由,得,
从而,
解得,则.
由,得.
17.B【解析】因为,所以对任意恒成立,
因为,也就是对任意恒成立.
令,则,
所以函数在上单调递增.
因为,,
所以方程在上存在唯一实根,且满足.
当时,,即,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
因为,故整数的最大值是.
18.C【解析】因为,若,且对任意的恒成立,则对任意的恒成立.
令,则.
所以方程在上存在唯一实数根,且满足.
所以整数的最大值为.
19.A【解析】设,则问题转化为不等式恒成立.
又因为(当且仅当时取等号),
所以,即有在时恒成立,
记,则,
令,即,
因为,,所以,
所以在上单调递增,
又因为,即有的根为,
所以当时递增,当时递减,
所以当时,取得最小值,
所以,,
所以(当,时,取得最大值).
20.A
【解析】,即,即.
令,则,令得,
所以在为减函数,在为增函数,
所以若存在唯一的整数使得,只需满足
第二部分
21.
【解析】因为对任意正实数,不等式恒成立,
所以等价于,
所以,,,
所以实数的最小值为.
22.
【解析】,由题意知,当时,恒成立,所以.
23.
【解析】因为恒成立,
所以恒成立,
令,,
当时,,递增;
当时,,递减;
故的最小值为,
24..
【解析】由,得,由,得,曲线:
存在公共切线,
设公切线与曲线切于点,与曲线切于点,
则,
可得,
记,
当
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