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①M={(3,2)},N={(2,3)};
②M={3,2},N={2,3};
③M={(1,2)},N={1,2}.
A.①B.②
C.③D.以上都不对
【解析】①中M中表示点(3,2),N中表示点(2,3),②中由元素的无序性知是相等集合,③中M表示一个元素:
点(1,2),N中表示两个元素分别为1,2.
【答案】B
4.集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,则6-a∈A,那么a为()
A.2B.2或4
C.4D.0
【解析】若a=2,则6-a=6-2=4∈A,符合要求;
若a=4,则6-a=6-4=2∈A,符合要求;
若a=6,则6-a=6-6=0∉A,不符合要求.
∴a=2或a=4.
5.(2013•曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素;
0,x2,-x,则x满足的条件是()
A.x≠0B.x≠-1
C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1
【解析】由x2≠0,x2≠-x,-x≠0,解得x≠0且x≠-1.
二、填空题
6.用符号“∈”或“∉”填空
(1)22________R,22________{x|x<
7};
(2)3________{x|x=n2+1,n∈N+};
(3)(1,1)________{y|y=x2};
(1,1)________{(x,y)|y=x2}.
【解析】
(1)22∈R,而22=8>
7,
∴22∉{x|x<
7}.
(2)∵n2+1=3,
∴n=±
2∉N+,
∴3∉{x|x=n2+1,n∈N+}.
(3)(1,1)是一个有序实数对,在坐标平面上表示一个点,而{y|y=x2}表示二次函数函数值构成的集合,
故(1,1)∉{y|y=x2}.
集合{(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合(点集),且满足y=x2,
∴(1,1)∈{(x,y)|y=x2}.
【答案】
(1)∈∉
(2)∉(3)∉∈
7.已知集合C={x|63-x∈Z,x∈N*},用列举法表示C=________.
【解析】由题意知3-x=±
1,±
2,±
3,±
6,
∴x=0,-3,1,2,4,5,6,9.
又∵x∈N*,
∴C={1,2,4,5,6,9}.
【答案】{1,2,4,5,6,9}
8.已知集合A={-2,4,x2-x},若6∈A,则x=________.
【解析】由于6∈A,所以x2-x=6,即x2-x-6=0,解得x=-2或x=3.
【答案】-2或3
三、解答题
9.选择适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合;
(3)一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.
【解】
(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,共有7个元素,用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3};
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解仅有两个,分别是53,-2,用列举法表示为{53,-2};
(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}.
10.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三个元素,且-3∈A,求a的值.
【解】由-3∈A,得a-2=-3或2a2+5a=-3.
(1)若a-2=-3,则a=-1,
当a=-1时,2a2+5a=-3,
∴a=-1不符合题意.
(2)若2a2+5a=-3,则a=-1或-32.
当a=-32时,a-2=-72,符合题意;
当a=-1时,由
(1)知,不符合题意.
综上可知,实数a的值为-32.
11.已知数集A满足条件:
若a∈A,则11-a∈A(a≠1),如果a=2,试求出A中的所有元素.
【解】∵2∈A,由题意可知,11-2=-1∈A;
由-1∈A可知,11--1=12∈A;
由12∈A可知,11-12=2∈A.
故集合A中共有3个元素,它们分别是-1,12,2.
【二】
1.下列幂函数为偶函数的是()
A.y=x12B.y=3x
C.y=x2D.y=x-1
解析:
选C.y=x2,定义域为R,f(-x)=f(x)=x2.
2.若a<
0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()
A.5-a<
5a<
0.5aB.5a<
0.5a<
5-a
C.0.5a<
5-a<
5aD.5a<
0.5a
选B.5-a=(15)a,因为a<
0时y=xa单调递减,且15<
0.5<
5,所以5a<
5-a.
3.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R,且为奇函数的所有α值为()
A.1,3B.-1,1
C.-1,3D.-1,1,3
选A.在函数y=x-1,y=x,y=x12,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故α=1,3.
4.已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若(-12)n>
(-13)n,则n=________.
∵-12<
-13,且(-12)n>
(-13)n,
∴y=xn在(-∞,0)上为减函数.
又n∈{-2,-1,0,1,2,3},
∴n=-1或n=2.
答案:
-1或2
1.函数y=(x+4)2的递减区间是()
A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)
C.(4,+∞)D.(-∞,4)
选A.y=(x+4)2开口向上,关于x=-4对称,在(-∞,-4)递减.
2.幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是()
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)
选C.
幂函数为y=x-2=1x2,偶函数图象如图.
3.给出四个说法:
①当n=0时,y=xn的图象是一个点;
②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1);
③幂函数的图象不可能出现在第四象限;
④幂函数y=xn在第一象限为减函数,则n<
0.
其中正确的说法个数是()
A.1B.2
C.3D.4
选B.显然①错误;
②中如y=x-12的图象就不过点(0,0).根据幂函数的图象可知③、④正确,故选B.
4.设α∈{-2,-1,-12,13,12,1,2,3},则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值的个数是()
选A.∵f(x)=xα为奇函数,
∴α=-1,13,1,3.
又∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∴α=-1.
5.使(3-2x-x2)-34有意义的x的取值范围是()
A.RB.x≠1且x≠3
C.-3
选C.(3-2x-x2)-34=143-2x-x23,
∴要使上式有意义,需3-2x-x2>
0,
解得-3
6.函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m=()
A.2B.3
C.4D.5
选A.m2-m-1=1,得m=-1或m=2,再把m=-1和m=2分别代入m2-2m-3<
0,经检验得m=2.
7.关于x的函数y=(x-1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3,-1,12)的图象恒过点________.
当x-1=1,即x=2时,无论α取何值,均有1α=1,
∴函数y=(x-1)α恒过点(2,1).
(2,1)
8.已知2.4α>
2.5α,则α的取值范围是________.
∵0<
2.4<
2.5,而2.4α>
2.5α,∴y=xα在(0,+∞)为减函数.
α<
9.把(23)-13,(35)12,(25)12,(76)0按从小到大的顺序排列____________________.
(76)0=1,(23)-13>
(23)0=1,
(35)12<
1,(25)12<
1,
∵y=x12为增函数,
∴(25)12<
(76)0<
(23)-13.
(25)12<
(23)-13
10.求函数y=(x-1)-23的单调区间.
解:
y=(x-1)-23=1x-123=13x-12,定义域为x≠1.令t=x-1,则y=t-23,t≠0为偶函数.
因为α=-23<
0,所以y=t-23在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.又t=x-1单调递增,故y=(x-1)-23在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增.
11.已知(m+4)-12<
(3-2m)-12,求m的取值范围.
∵y=x-12的定义域为(0,+∞),且为减函数.
∴原不等式化为m+4>
03-2m>
0m+4>
3-2m,
解得-13
∴m的取值范围是(-13,32).
12.已知幂函数y=xm2+2m-3(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求y的解析式,并讨论此函数的单调性和奇偶性.
由幂函数的性质可知
m2+2m-3<
0⇒(m-1)(m+3)<
0⇒-3
又∵m∈Z,∴m=-2,-1,0.
当m=0或m=-2时,y=x-3,
定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵-3<
∴y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,
又∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
∴y=x-3是奇函数.
当m=-1时,y=x-4,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵f(-x)=(-x)-4=1-x4=1x4=x-4=f(x),
∴函数y=x-4是偶函数.
∵-4<
0,∴y=x-4在(0,+∞)上是减函数,
又∵y=x-4是偶函数,
∴y=x-4在(-∞,0)上是增函数.
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