中考数学 几何压轴题汇编三角形与平行四边形含答案文档格式.docx
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1
∴∠EAP=
×
45°
=22.5°
2
∴∠BAE=45°
-∠EAP=22.5°
∴△AEB≌△AEP(AAS),
∴EB=EP,AB=AP=4,
∵四边形
为正方形,
∴∠ACB=45°
,AC=42,
又∵EP=PC,
∴BE=PC=AC-AP=42-4.
题解图
2.
已知:
在△ABC
中,∠ABC=∠ACB=α,点
D
是
AB
边上任意
一点,将射线
DC
绕点
逆时针旋转α与过点
A
且平行于
BC
边的直线交于点
E.
(1)如图①,当α=60°
时,请直接写出线段
BD
与
AE
之间的数量
关系;
(2)如图②,当α=45°
时,判断线段
之间的数量关系,
并进行证明;
(3)如图③,当α为任意锐角时,依题意补全图形,判断线段
BD
之间的数量关系,并进行证明.(用含α的式子表示,其中
0°
<
α<90°
)
2
解:
(1)BD=AE;
【解法提示】如解图①,连接
EC,当
=60°
时,
ABC、△DCE
均为等边三角形,
∴EC=DC,AC=BC,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△BCD
和△ACE
⎧⎪CD=EC
⎨∠BCD=∠ACE,
⎪⎩BC=AC
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴BD=AE;
题解图①
(2)BD=2AE;
证明:
如解图②,过点
作
DF∥AC,交
BC
于点
F.
题解图②
∵DF∥AC,
∴∠ACB=∠DFB,
∵∠ABC=∠ACB=α,α=45°
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°
∴△DFB
是等腰直角三角形,
∴BD=DF=
BF.
∵AE∥BC,
∴∠ABC+∠BAE=180°
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC,
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC,∠CDE+∠ADE=∠ADC,∠ABC=∠
CDE=α,
∴∠ADE=∠BCD,
∴△ADE∽△FCD,
BF
=
CF
∴BD=DF=2AE;
(3)补全图形如解图③,BD=2cosα·
AE.
题解图③
连接
EC,设
DE
交于点
O,
∴AE∥BC,∠EAC=∠ACB=α,
又∵∠EDC=α,
∴∠EAC=∠EDC=α,
∵∠AOE=∠DOC,
∴△AOE∽△DOC,
∵∠AOD=∠EOC,
∴△AOD∽△EOC,
∴∠1=∠2,
又∵∠1=180°
-α-∠3(A、D、B
三点共线),
∠4=180°
-α-∠3(三角形内角和为
180°
),
∴∠1=∠4,
∴∠2=∠1=∠4.
又∵∠EAC=∠ABC=α,
∴△BDC∽△AEC,
AC=2cosα,
∴BD=2
cosα·
3.
中,点
在直线
上,在直线
上取一点
E,连
接
AE,DE,使得
AE=DE,DE
交
G,过点
DF
∥AC,交直线
F,∠EAC=∠DEF.
(1)如图①,当点
E
在
的延长线上,求证:
∠EGC=∠AEC;
(2)如图①,当点
的延长线上,D
为
的中点,若
=3,求
的长度;
(3)当点
上,点
的延长线上时,如图②所示,若
CE=10,5EG=2DE,求
AG
的长度.
(1)证明:
∴∠DFE=∠ACE
在△ACE
和△EFD
⎧⎪∠EAC=∠DEF
⎨∠ACE=∠EFD,
⎪⎩AE=ED
∴△ACE≌△EFD(AAS),
∴∠AEC=∠EDF.
∴∠EGC=∠EDF,
∴∠EGC=∠AEC;
(2)解:
∴△BDF∽△BAC,
=.
∵D
的中点,
BD111
∴=
,∴BF=
BC,DF=
AC.
BA222
∴BF=CF,AC=2DF=6,
由
(1)可知△ACE≌△EFD,
∴AC=EF=6,CE=FD=3.
∴BF=FC=EF-CE=3,
∴BE=BF+FE=9;
∴∠ACE=∠EFD.
∴CE=FD=10,AC=EF.
∴△DEF∽△GEC,
EF=.
∵5EG=2DE,CE=FD=10,
∴EF=25,GC=4,
∴AG=AC-GC=EF-GC=25-4=21.
4.
(1)如图①,在
ABC
中,∠A=90°
,∠B=30°
,点
D,E
分别
AB,BC
上,且∠CDE=90°
,EF⊥AB
F,BE=2AD,
求证:
DE=CD;
(2)如图②,在△ABC
中,∠BAC=90°
,AB=AC,点
上,
AD,E
上一点,过点
的平行线分别交
AB,AC
F,G,连接
BE,CE,若∠BEC=135°
,求证:
△BFE∽△EGC;
CE的值.
4
由题意可得,∠BFE=∠DFE=90°
=∠A=∠CDE,
∵∠ADC+∠EDF=∠FED+∠EDF=180°
-90°
=90°
∴∠ADC=∠FED.
∵∠BFE=90°
∴BE=2FE.
∵BE=2AD,
∴FE=AD,
在△FED
和△ADC
⎧⎪∠FED=∠ADC
⎨FE=AD,
⎪⎩∠DFE=∠CAD
∴△FED≌△ADC(ASA),
∴DE=CD;
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵FG∥BC,
∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°
∴∠BFE=∠EGC=135°
=∠BEC,
∴AF=AG,BF=GC,
∵∠GEC+∠BEC=∠GEB=∠BFE+∠FBE,
∴∠FBE=∠GEC,
∴△BFE∽△EGC;
由
(2)知,△BFE∽△EGC,
∴△AFE∽△ABD,△AEG∽△ADC,
FE
AE,
AE=
EG,
DC
FE
∵BD=2DC,
∴FE=2EG,
又∵
BF,BF=GC,
BF=2EG,
EGBF
BF
∴=2,
BEBF
∴=2.
5.
在矩形
中,AD=4,M
的中点,点
是线段
上一动点,连接
EM
并延长交线段
CD
的延长线于点
(1)如图①,求证:
△AEM≌△DFM;
(2)如图②,若
AB=2,过点
M
MG⊥EF
交线段
G,
△GEF
是等腰直角三角形;
(3)如图③,若
AB=23,过点
的延
ME
的值.
5
(1)证明∵ABCD
是矩形,
∴∠EAM=∠FDM=90°
∵M
的中点,∴AM=DM,
⎧⎪∠A=∠FDB
在△AME
和△DMF
中,⎨AM=DM,
⎪⎩∠AME=∠DMF
∴△AME≌△DMF(ASA);
过点
G
GH⊥AD
于
H,如解图①,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°
∴四边形
ABGH
是矩形.
∴GH=AB=2,
∴AM=
AD=2,∴AM=GH,
∵MG⊥EF,∴∠GME=90°
∴∠AME+∠GMH=90°
∵∠AME+∠AEM=90°
∴∠AEM=∠GMH,
⎧⎪AM=GH
在△AEM
和△HMG
中,⎨∠AEM=∠GMH,
⎪⎩∠A=∠AHG
∴△AEM≌△HMG,
∴ME=MG,∴∠EGM=45°
由
(1)得△AEM≌△DFM,∴ME=MF,
∵MG⊥EF,∴GE=GF,∴∠EGF=2∠EGM=90°
,∴△GEF
是等
腰直角三角形.
延长线于点
H,如解图②,
∴GH=AB=23,
又∵∠A=∠GHM=90°
∴△AEM∽△HMG,
=3.
6.
已知
是△ABC
的
边上的中点,DE⊥AB
E、DF⊥AC
F,且
BE=CF,点
M、N
分别是
AE、DE
上的点,AN⊥
FM
G.
(1)如图①,当∠BAC=90°
时;
①求证:
四边形
AEDF
是正方形;
②试问
AN
之间的数量关系与四边形
的两对角线的
数量关系相同吗?
请证明你的结论;
(2)如图②,当
AF∶DF=2∶1
时,求
AN∶FM
的值.
6
(1)①证明:
∵∠BAC=90°
,∠AED=∠AFD=90°
∵BD=DC,∠DEB=∠DFC=90°
,BE=CF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴DE=DF,
∴矩形
②解:
的两条对角线
的数量关系相同;
理由:
在正方形
中,AF=AE,
又∵AN⊥FM
G,∠AMF=∠ANE,
∠AEN=∠MAF=90°
∴Rt△AEN≌△Rt△FAM(AAS),
∴AN=FM,
又∵正方形
的对角线相等,
∴AN
的两对角线的数量
关系相同;
如解图,连接
AD、EF,且
EF
相交于点
设
AF=2k,DF=k,在
Rt△ADF
中,AD=(2k)2+k2=5
k,
∵Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴∠B=∠C,DE=DF,
∴AB=AC,AE=AF,
∴AD
垂直平分
EF,则
OF=
EF,DF⊥AC
F,
5
5k·
OF=2k·
k·
,∴OF=
45
∴EF=k,
又∵∠NEM=∠MGN=90°
∠GME+∠
ENG=∠
DNG+∠
ENG=180°
,∠
AEO+∠
EAO=∠
ADE+∠EAD=180°
∴∠EMF=∠DNA,∠AEO=∠NDA,
∴△FME∽△AND,
7.
已知正方形
上,连接
AE,过点
B
⊥AE
G,交
7
(1)如图①,连接
AF,若
AB=4,BE=1,求
AF
的长;
(2)如图②,连接
BD,交
N,连接
AC,分别交
BD、BF
O、M,连接
GO,求证:
GO
平分∠AGF;
(3)如图③,在第
(2)问的条件下,连接
CG,若
CG⊥GO,求证:
AG=2CG.
是正方形,
∴BC=CD=AD=AB=4,∠ABE=∠C=∠D=90°
∴∠ABG+∠CBF=90°
∵BF⊥AE,∴∠ABG+∠BAE=90°
,∴∠BAE=∠CBF,
⎧⎪∠C=∠ABE
在△BCF
和△ABE
中,⎨BC=AB,
⎪⎩∠CBF=∠BAE
∴△BCF≌△ABE(ASA),
∴CF=BE=1,∴DF=CD-CF=3,
∴AF=AD2+DF2=42+32=5;
∵AC⊥BD,BF⊥AE,
∴∠AOB=∠AGB=∠AGF=90°
∴A、B、G、O
四点共圆,
∴∠AGO=∠ABO=45°
∴∠FGO=90°
-45°
=45°
=∠AGO,
∴GO
(3)证明:
EF,如解图所示:
∵CG⊥GO,∴∠OGC=90°
,∵∠EGF=∠BCD=90°
∴∠EGF+∠BCD=180°
∴C、E、G、F
∴∠EFC=∠EGC=180°
∴△CEF
∴CE=
,同
(1)得:
BCF≌△ABE,
∴CF=BE,∴CE=BE=BC,
12
∴OA=AC=BC=
由
(1)得:
A、B、G、O
∴∠BOG=∠BAE,
∵∠GEC=90°
+∠BAE,∠GOA=90°
+∠BOG,
∴∠GOA=∠GEC,
又∵∠EGC=∠AGO=45°
∴△AOG∽△CEG,
CG=
CE=2,
∴AG=2
CG.
8.
已知点
在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°
∠AEB=150°
,∠BEC=90°
(1)如图①,当
ABE≌△CBD;
(2)在
(1)的条件下,连接
CD,若
AE=1,试求
AE的值.
8
如解图①,连接
DC,
∵∠ABC=∠ACB=60°
∴△ABC
是等边三角形.
同理△EBD
也是等边三角形,
∴AB=BC,BE=BD,∠ABE=60°
-∠EBC=∠CBD,
⎧⎪AB=BC
与△CBD
中,⎨∠ABE=∠CBD,
⎪⎩BE=BD
∴△ABE≌△CBD;
∵△ABE≌△CBD,
∴AE=CD,∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°
-∠BDE=90°
∠CED=∠BEC-∠BED=90°
-60°
=30°
CD
Rt△EDC
∴BD=
3AE=
3;
如解图②,连接
∵∠ABC=∠EBD=90°
,∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD,
又∵∠ABE=90°
∴△ABE∽△CBD,∠AEB=∠CDB=150°
AE,
∴∠
EDC=150°
-∠
BDE=90°
CED=∠
BEC-∠
BED=90°
-
(90°
-∠BDE)=60°
BD=x,则在
Rt△EBD
中,DE=2x,BE=
中,CD=DE·
tan60°
=23x,
3x,
∴AE=
CD·
3x·
3x
x
=6x=6BD,
即BD=1.
AE6
9.
在锐角△ABC
中,AB=6,BC=11,∠ACB=30°
,将△ABC
绕
点
逆时针旋转,得到
1BC1.
(1)
如图①,当点C1
在线段
CA
的延长线上时,∠
CC1A1
________°
;
AA1,CC1.
若△ABA1
的面积为
24,求△CBC1
的面积;
(3)如图③,点
为线段
中点,点
P
上的动点,在
△ABC
逆时针旋转过程中,点
的对应点是
P1,求在旋转过程
中,线段
EP1
长度的最大值与最小值的差.
9
60;
【解法提示】由旋转得:
∠A1C1B=∠C=30°
,BC=BC1,
∴∠C=∠BC1C=30°
∴∠CC1A1=60°
∵△ABC≌
1BC1,
∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1,
∴BA
BA1
∵∠ABA1=∠CBC1,
∴△ABA1∽△CBC1,
ABA1
636
∴)2=()2=,
CBC1
∵
ABA1=24,
242
如解图,过点
BD⊥AC,D
为垂足,
∵△ABC
为锐角三角形,
∴点
Rt△BCD
中,BD=BC·
sin30°
=5.5,
以
为圆心,BD
长为半径画圆交
P1′,BP1
有最小值
BP1′.
∴EP1
的最小值为
5.5-3=2.5,
为圆心,BC
P1″,BP1
有
最大值
BP1″.
此时
的最大值为
11+3=14,
∴线段
的最大值与最小值的差为
14-2.5=11.5.
10.
如图,在△ABC
中,∠ABC=45°
,AD⊥BC
D,BE⊥AC
E,BE
相交于
F.过
F
FG⊥BE,过
AG⊥AB,
FG
(1)如图①,若
AC=5,DF=3,求
△BFG
(3)如图②,当
BD=2CD
时,连接
并延长,分别交
AB,BG
HI
10
在△ABD
中,∠ABD=45°
,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠ABD=45°
∴BD=AD,
∵BE⊥AC
E,
∴∠AEB=∠BDA=90°
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠FAE=∠FBD,
在△BFD
和△ACD
⎧⎪∠FBD=∠CAD
⎨∠FDB=∠CDA,
⎪⎩BD=AD
∴△BFD≌△ACD,
∴BF=AC=5,
Rt△BDF
中,由勾股定理得
BD=BF2-DF2=
52-32=4,
BD4
Rt△ABD
中,AB===4
cos∠ABD
cos45°
2;
(2)如解图,过
FP∥BC
P,
则∠AFP=∠ADB=90°
∠APF=∠ABD=45°
∴∠BAD=45°
∴∠FPA=∠FAP,
∴PF=AF.
∵∠BFG=90°
∴∠AFP=∠BFG,
∴∠AFG+∠GFP=∠GFP+∠PFB,
∴∠AFG=∠PFB,
Q,
∵∠GAB=∠GFB=90°
,∠AQG=∠FQB,
∴∠AGQ=∠FBQ,
在△AFG
和△PFB
⎧⎪∠AFG=∠PFB
⎨∠AGF=∠PBF,
⎪⎩AF=PF
∴△AFG≌△PFB(AAS),
∴GF=BF,
∵BF⊥GF,
∴△BFG
∵三角形的三条高交于一点,AD⊥BC,BE⊥AC,
∴CH⊥AB,
∵∠ABD=45°
∴BH=CH.
∵BD=2CD,
CD=m,则
BC=3m,
∴BH=CH=
m,
中,BD=AD=2m,∴AB=2
2m,
2m=
由
(2)知△BFG
∴∠GBF=45°
=∠ABD,
∴∠IBH=∠EBC,
∵∠BHI=∠BDF=90°
∴△BIH∽△BFD,
∴BH=
IH
FD
m.
即
m
IH
2m
m
,解得
HI=
4
∴AH=
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