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从现在到下课时钟转了多少度?
分针转了多少度?
秒针转了多少度?
(口答)老师点评:
时针、分针、秒针在不停地转动,它们都绕时针的中心.如果从现在到下课时针转了_______度,分针转了_______度,秒针转了______度.
2.再看我自制的好像风车风轮的玩具,它可以不停地转动.如何转到新的位置?
(老师点评略)
3.第1、2两题有什么共同特点呢?
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形,那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.
像这样,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
下面我们来运用这些概念来解决一些问题.
例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?
解:
(1)旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角.
(2)经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的位置.
例2.(学生活动)如图,四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.
(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的?
(2)请画出旋转中心和旋转角.
(3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置?
(老师点评)
(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.
(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.
最后强调,这个旋转中心是固定的,即正方形对角线的交点,但旋转角和对应点都是不唯一的.
三、巩固练习
教材P65练习1、2、3.
四、应用拓展
例3.两个边长为1的正方形,如图所示,让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合,不难知道重合部分的面积为
,现把其中一个正方形固定不动,另一个正方形绕其中心旋转,问在旋转过程中,两个正方形重叠部分面积是否发生变化?
说明理由.
分析:
设任转一角度,如图中的虚线部分,要说明旋转后正方形重叠部分面积不变,只要说明S△OEE`=S△ODD`,那么只要说明△OEF′≌△ODD′.
面积不变.
理由:
设任转一角度,如图所示.
在Rt△ODD′和Rt△OEE′中
∠ODD′=∠OEE′=90°
∠DOD′=∠EOE′=90°
-∠BOE
OD=OD
∴△ODD′≌△OEE′
∴S△ODD`=S△OEE`
∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=
五、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课要掌握:
1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.
2.旋转的对应点及其它们的应用.
六、布置作业
1.教材P66复习巩固1、2、3.
2.《同步练习》
一、选择题
1.在26个英文大写字母中,通过旋转180°
后能与原字母重合的有().
A.6个B.7个C.8个D.9个
2.从5点15分到5点20分,分针旋转的度数为().
A.20°
B.26°
C.30°
D.36°
3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=40°
,以直角顶点C为旋转中心,将△ABC旋转到△A′B′C的位置,其中A′、B′分别是A、B的对应点,且点B在斜边A′B′上,直角边CA′交AB于D,则旋转角等于().
A.70°
B.80°
C.60°
D.50°
(1)
(2)(3)
二、填空题.
1.在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为________,这个定点称为________,转动的角为________.
2.如图2,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠AED都是直角,点E在AB上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么旋转中心是点_________;
旋转的度数是__________.
3.如图3,△ABC为等边三角形,D为△ABC内一点,△ABD经过旋转后到达△ACP的位置,则,
(1)旋转中心是________;
(2)旋转角度是________;
(3)△ADP是________三角形.
三、综合提高题.
1.阅读下面材料:
如图4,把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度,可以变到△ECD的位置.
如图5,以BC为轴把△ABC翻折180°
,可以变到△DBC的位置.
(4)(5)(6)(7)
如图6,以A点为中心,把△ABC旋转90°
,可以变到△AED的位置,像这样,其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状和大小的图形变换,叫做三角形的全等变换.
回答下列问题
如图7,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,AF=
AB.
(1)在如图7所示,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE移到△ADF的位置?
(2)指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系.
2.一块等边三角形木块,边长为1,如图,现将木块沿水平线翻滚五个三角形,那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少?
答案:
一、1.B2.C3.B
二、1.旋转旋转中心旋转角2.A45°
3.点A60°
等边
三、1.
(1)通过旋转,即以点A为旋转中心,将△ABE逆时针旋转90°
.
(2)BE=DF,BE⊥DF
2.翻滚一次滚120°
翻滚五个三角形,正好翻滚一个圆,所以所走路径是2.
23.1图形的旋转
(2)
第二课时
1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前后的图形全等及其它们的运用.
理解对应点到旋转中心的距离相等;
理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.
先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念,接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质.
图形的旋转的基本性质及其应用.
运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.
(学生活动)老师口问,学生口答.
什么叫旋转中心?
什么叫旋转角?
3.请独立完成下面的题目.
如图,O是六个正三角形的公共顶点,正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形?
(老师点评)分析:
能.看做是一条边(如线段AB)绕O点,按照同一方法连续旋转60°
、120°
、180°
、240°
、300°
形成的.
上面的解题过程中,能否得出什么结论,请回答下面的问题:
1.A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等?
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等?
3.旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗?
老师点评:
(1)距离相等,
(2)夹角相等,(3)前后图形全等,那么这个是否有一般性?
下面请看这个实验.
请看我手里拿着的硬纸板,我在硬纸板上挖下一个三角形的洞,再挖一个点O作为旋转中心,把挖好的硬纸板放在黑板上,先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心O转动硬纸板,在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′),移去硬纸板.
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1.线段OA与OA′,OB与OB′,OC与OC′有什么关系?
2.∠AOA′,∠BOB′,∠COC′有什么关系?
3.△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系?
1.OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′,也就是对应点到旋转中心相等.
2.∠AOA′=∠BOB′=∠COC′,我们把这三个相等的角,即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.
3.△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等,即全等.
综合以上的实验操作和刚才作的(3),得出
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等.
例1.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形.
分析:
绕C点旋转,A点的对应点是D点,那么旋转角就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB′=ACD,又由对应点到旋转中心的距离相等,即CB=CB′,就可确定B′的位置,如图所示.
(1)连结CD
(2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD
(3)在射线CE上截取CB′=CB
则B′即为所求的B的对应点.
(4)连结DB′
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.
例2.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=
,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
由△ABF是△ADE的旋转图形,可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF的长度,根据旋转前后的对应线段相等,只要求AE的长度,由勾股定理很容易得到.△ABF与△ADE是完全重合的,所以它是直角三角形.
(1)旋转中心是A点.
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的
∴B是D的对应点
∴∠DAB=90°
就是旋转角
(3)∵AD=1,DE=
∴AE=
=
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴AF=
(4)∵∠EAF=90°
(与旋转角相等)且AF=AE
∴△EAF是等腰直角三角形.
教材P64练习1、2.
例3.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.
要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.
∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
∴AB=AD,AK=AM,且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°
∴△ADM是以A为旋转中心,∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的
∴BK=DM
本节课应掌握:
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.
1.教材P66复习巩固4综合运用5、6.
2.作业设计.
作业设计
1.△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°
,∠BAC=80°
,则旋转角等于()
A.50°
B.210°
C.50°
或210°
D.130°
2.在图形旋转中,下列说法错误的是()
A.在图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B.图形上每一点移动的角度相同
C.图形上可能存在不动的点
D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
3.如图,下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是()
二、填空题
1.在作旋转图形中,各对应点与旋转中心的距离________.
2.如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°
的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°
后得到的图形是________,它们之间的关系是______,其中BD=_________.
3.如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°
,在保持∠EAF=45°
的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF的关系是________.
三、综合提高题
1.如图,正方形ABCD的中心为O,M为边上任意一点,过OM随意连一条曲线,将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次,每次旋转角度都是90°
,这四个部分之间有何关系?
2.如图,以△ABC的三顶点为圆心,半径为1,作两两不相交的扇形,则图中三个扇形面积之和是多少?
3.如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,则△OAF与△OBE重合吗?
如果重合给予证明,如果不重合请说明理由?
一、1.C2.A3.D
二、1.相等2.△ACE图形全等CE3.相等
三、1.这四个部分是全等图形
2.∵∠A+∠B+∠C=180°
,
∴绕AB、AC的中点旋转180°
,可以得到一个半圆,
∴面积之和=
3.重合:
证明:
∵EG⊥AF
∴∠2+∠3=90°
∵∠3+∠1+90°
=180°
∵∠1+∠3=90°
∴∠1=∠2
同理∠E=∠F,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC
∴△ABF≌△BCE,∴BF=CE,∴OE=OF,∵OA=OB
∴△OBE绕O点旋转90°
便可和△OAF重合.
23.1图形的旋转(3)
第三课时
选择不同的旋转中心或不同的旋转角,设计出不同的美丽的图案.
理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度,会出现不同的效果,掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.
复习图形旋转的基本性质,着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图,设计出美丽的图案.
用旋转的有关知识画图.
根据需要设计美丽图案.
小黑板
1.(学生活动)老师口问,学生口答.
(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢?
(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系?
(3)两个图形是旋转前后的图形,它们全等吗?
2.请同学独立完成下面的作图题.
如图,△AOB绕O点旋转后,G点是B点的对应点,作出△AOB旋转后的三角形.
要作出△AOB旋转后的三角形,应找出三方面:
第一,旋转中心:
O;
第二,旋转角:
∠BOG;
第三,A点旋转后的对应点:
A′.
从上面的作图题中,我们知道,作图应满足三要素:
旋转中心、旋转角、对应点,而旋转中心、旋转角固定下来,对应点就自然而然地固定下来.因此,下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.
1.旋转中心不变,改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心,旋转角分别为30°
、60°
的旋转图形.
2.旋转角不变,改变旋转中心
画出以下图,四边形ABCD分别为O、O为中心,旋转角都为30°
因此,从以上的画图中,我们可以得到旋转中心不变,改变旋转角与旋转角不变,改变旋转中心会产生不同的效果,所以,我们可以经过旋转设计出美丽的图案.
例1.如下图是菊花一叶和中心与圆圈,现以O为旋转中心画出分别旋转45°
、90°
、135°
、225°
、270°
、315°
的菊花图案.
只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化,旋转长度为菊花的最长OA,按菊花叶的形状画出即可.
(1)连结OA
(2)以O点为圆心,OA长为半径旋转45°
,得A.
(3)依此类推画出旋转角分别为90°
的A、A、A、A、A、A.
(4)按菊花一叶图案画出各菊花一叶.
那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形.
例2.(学生活动)如图,如果上面的菊花一叶,绕下面的点O′为旋转中心,请同学画出图案,它还是原来的菊花吗?
显然,画出后的图案不是菊花,而是另外的一种花了.
教材P65练习.
例3.如图,如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°
的图形.
该备案是一个比较复杂的图案,是作出几个复合图形组成的图案,因此,要先画出图中的关键点,这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等,然后再根据旋转的特征,作出这些关键点的对应点,最后再按原图案作出旋转后的图案.
(1)连结OA,过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°
,在射线OA′上截取OA′=OA;
(2)用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′;
(3)作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′;
(4)所作出的图案就是所求的图案.
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
1.选择不同的旋转中心、不同的旋转角,设计出美丽的图案;
2.作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案,要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等.
1.教材P67综合运用7、8、9.
2.选作课时作业设计.
第三课时作业设计
1.如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是(以中心梅花为初始位置)()
A.左上角的梅花只需沿对角线平移即可
B.右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°
C.右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180
D.左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°
2.同学们曾玩过万花筒吧,它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的,如图23-33是看到的万花筒的一个图案,图中所有三角形均是等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心()
A.顺时针旋转60°
得到的B.顺时针旋转120°
得到的
C.逆时针旋转60°
得到的D.逆时针旋转120°
3.下面的图形23-34,绕着一个点旋转120°
后,能与原来的位置重合的是()
A.
(1),(4)B.
(1),(3)C.
(1),
(2)D.(3),(4)
1.如图,五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的,每次旋转的角度是________.
2.图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换.
3.如图,过圆心O和图上一点A连一条曲线,将OA绕O点按同一方向连续旋转三次,每次旋转90°
,把圆分成四部分,这四部分面积_________.
1.请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标.
2.如图,是某设计师设计的方桌布图案的一部分,请你运用旋转的方法,将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°
,并画出图形,你来试一试吧!
但是涂阴影时,要注意利用旋转变换的特点,不要涂错了位置,否则你将得不到理想的效果,并且还要扣分的噢!
3.如图,△ABC的直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.
一、1.D2.D3.C
二、1.472°
2.旋转3.相等
三、1.答案不唯一,学生设计的只要符合题目的要求,都应给予鼓励.
2.略
3.∵△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,
∴AP′=AP,∠CAP′=∠BAP,
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°
△PAP′为等腰直角三角形,PP′为斜边,
∴PP′=
AP=3
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