西南大学2019秋[0346]《初等数论》在线作业答案.docx
- 文档编号:163146
- 上传时间:2022-10-04
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:59.30KB
西南大学2019秋[0346]《初等数论》在线作业答案.docx
《西南大学2019秋[0346]《初等数论》在线作业答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《西南大学2019秋[0346]《初等数论》在线作业答案.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概念解释题
一、简答题
1.判断30是质数还是合数,如果是合数,请给出其标准分解式。
2.94536是否是9的倍数,为什么?
3.写出模6的最小非负完全剩余系。
4.叙述质数的概念,并写出小于18的所有质数。
5.叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。
6.2358是否是3的倍数,为什么?
二、给出不定方程ax+by=c有整数解的充要条件并加以证明。
三、给出有关同余的一条性质并加以证明。
四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。
作业1答案
一、简答题(每小题10分,共30分)
1.判断30是质数还是合数,如果是合数,请给出其标准分解式。
答:
30是合数,其标准分解式为30 235。
2.94536是否是9的倍数,为什么?
答:
94536是9的倍数,因为9 4 536 27是9的倍数。
3.写出模6的最小非负完全剩余系。
答:
模6的最小非负完全剩余系为0,1,2,3,4,5。
4.叙述质数的概念,并写出小于18的所有质数。
答:
一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫作质数。
小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13,17。
5.叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。
答:
0,1,2,…,m-1称为m的最小非负完全剩余系。
6.2358是否是3的倍数,为什么?
答:
2358是3的倍数。
因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数,而2+3+5+8=18,18是3的倍数,所以2358是3的倍数。
二、给出不定方程ax+by=c有整数解的充要条件并加以证明。
解:
结论:
二元一次不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是(a,b)|c。
ax+by=c有整数解,设为x0,y0,则
ax0 by0 c
但(a,b)|a,(a,b)|b,因而(a,b)|c,必要性得证。
反之,若(a,b)|c,则c c1(a,b),c1为整数。
由最大公因数的性质,存在两个整数s,t满足下列等式
as bt (a,b)
于是a(sc1)
b(tc1)
c1(a,b) c。
令x0
sc1,y0
tc1,则ax0
by0
c,故x0,y0为ax+by=c的整数解,从而
ax+by=c有整数解。
三、给出有关同余的一条性质并加以证明。
答:
同余的一条性质:
整数a,b对模m同余的充要条件是m|a-b,即a=b+mt,
t是整数。
证明如下:
设a
mq1 r1,b
mq2 r2,0 r1,r2
m。
若a≡b(mod
m),则r1 r2,因此a b m(q1 q2),即m|a-b。
反之,若m|a-b,则m|m(q1
故r1 r2,即a≡b(mod m)。
q2)
(r1
r2),因此m|r1
r2,但 r1
r2m,
四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。
答:
若a,b是两个整数,其中b>0,则存在两个整数q及r,使得
a=bq+r,0 r b
成立,而且q及r是唯一的。
下面给出证明:
…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,…
则a必在上述序列的某两项之间,及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。
令
a-qb=r,则r为整数,且a=qb+r,而0 r b。
设q1,r1是满足
(2)的另两个整数,则
a bq1 r1,0 r1 b
所以bq1 r1
bq r,于是b(q1 q)
r r1,故bq1
qr r1。
由于r,r1都是
小于b的正整数或零,故r r1
b。
如果q1
q,则bq1
q b,这是一个矛盾。
因此q1 q,从而r1 r。
填空题
1.7除29的商是 。
2.12除26的余数是 。
3.5的正因数是 。
4.{4.5}= 。
5.[8.3]+[-8.3]= 。
6.30的最小质因数是 。
7.在所有质数中,是偶数的是 。
8.在所有质数中,最小的奇质数是 。
9.大于4小于16的素数有 。
10.不定方程ax by c有整数解的充分必要条件是 。
11.模5的最小非负完全剩余系是 。
12.模4的绝对最小完全剩余系是 。
13.5555的个位数是 。
14.77的个位数是 。
15.316的十进位表示中的个位数字是 。
16.66的个位数是 。
17.710被11除的余数是 。
18.(1516,600)= 。
19.6的所有正因数的和是 _。
20.24与60的最大公因数是 。
21.35的最小质因数是
。
22.46的个位数是
23.8的所有正因数的和是
。
_。
24.18的标准分解式为
。
25.20的欧拉函数值(20)=
。
填空题答案
1.7除29的商是 4 。
2.12除26的余数是 2 。
3.5的正因数是 1,5 。
4.{4.5}= 0.5 。
5.[8.3]+[-8.3]= -1 。
6.30的最小质因数是 2 。
7.在所有质数中,是偶数的是 2 。
8.在所有质数中,最小的奇质数是 3 。
9.大于4小于16的素数有 5,7,11,13 。
10.不定方程ax by c有整数解的充分必要条件是 (a,b)|c 。
11.模5的最小非负完全剩余系是 0,1,2,3,4 。
12.模4的绝对最小完全剩余系是 -1,0,1,2 。
13.5555的个位数是 5 。
14.77的个位数是
3 。
15.316的十进位表示中的个位数字是 1 。
16.66的个位数是 6 。
17.710被11除的余数是 1 。
18.(1516,600)= 4 。
19.6的所有正因数的和是 12 _。
20.24与60的最大公因数是 12 。
21.35的最小质因数是 5 。
22.46的个位数是 6 。
23.8的所有正因数的和是 15 _。
24.18的标准分解式为 18 232。
25.20的欧拉函数值
计算题
(20)= 8 。
1.求400与240的最大公因数。
2.求不定方程10x+9y=1的一切整数解。
3.求150与210的最大公因数。
4.解同余式3x2(mod5)。
5.求不定方程7x+2y=1的一切整数解。
6.解同余式3x1(mod7)。
7.解同余式28x21(mod35)。
8.解同余式组:
x 1(mod3)
。
x 2(mod5)
9.求不定方程3x+2y=2的一切整数解。
10.解同余式4x 1(mod5)。
计算题答案
1.求400与240的最大公因数。
解:
因为400 24
52,240 24
35,
所以400与240的最大公因数是24 5,即80。
2.求不定方程10x+9y=1的一切整数解。
解:
因为(10,9)=1,所以不定方程有整数解。
显然x=1,y=-1是其一个特解,
所以不定方程的一切整数解为:
,其中t取一切整数。
3.求150与210的最大公因数。
解:
因为150 2352,210 2357
所有150与210的最大公因数是235,即30。
4.解同余式3x2(mod5)。
解:
因为(3,2)=1,所以同余式有解,且有一个解。
将0,1,2,3,4直接代入检查知,4满足同余式,所以同余式的解为x 4(mod
5)。
5.求不定方程7x+2y=1的一切整数解。
解:
因为(7,2)=1,1|1,所以不定方程有解。
观察知其一个整数解是
x 1
0 。
y0 3
x
于是其一切整数解为
y
12t
37t
,t取一切整数。
6.解同余式3x1(mod7)。
解:
因为(3,7)=1,所以同余式有解且有一个解。
由3x-7y=1得x
y
5 7t
,
2 3t
所以同余式的解为x 5(mod7)
7.解同余式28x21(mod35)。
解:
因为(28,35)=7,而7|21,所以同余式28x21(mod35)有解,
且有7个解。
同余式28x21(mod35)等价于4x3(mod5),解4x3(mod5)
得x2(mod5),故同余式28x21(mod35)的7个解为
x2,7,12,17,22,27,32(mod35)。
8.解同余式组:
x 1(mod3)
。
x 2(mod5)
解:
由x
1(mod3)得x
3k 1,将其代入x
2(mod5)
得3k 1 2(mod5),
解得k
2(mod5),即k
5t 2,
所以x
15t
7,所以解为x
7(mod15)。
9.求不定方程3x+2y=2的一切整数解。
解:
因为(3,2)=1,所以不定方程有整数解。
显然x
0,y
1是其一个特解,
所以不定方程的一切整数解为 ,其中t取一切整数。
10.解同余式4x 1(mod5)。
解:
因为(4,5)=1,所以同余式有解,且只有1个解。
将0,1,2,3,4代入检查知4满足4 4 1(mod5),
所以同余式的解为x 4(mod5)。
证明题
1.证明:
若a,b都是m的倍数,则a
b也是m的倍数。
2.设n是整数,证明3|n(n+1)(n+2)。
3.设n是整数,证明:
6|n3 n。
设x,y均为整数。
4.证明:
若a
b(modm),则3a
3b(modm)。
5.设x,y均为整数。
证明:
若5|x 9y,则5|8x 7y。
6.证明:
若k是整数,则k2 k 1是奇数。
+证明题
1.证明:
若a,b都是m的倍数,则 也是m的倍数。
证明:
由m|a,m|b
知存在整数p,q,使得a=pm,b=qm,所以a+b=(p+q)m,
因为p,q为整数,所以m|(a+b)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 0346 初等数论 西南 大学 2019 初等 数论 在线 作业 答案