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估算就是对一些量的粗略运算,不仅现在,就是今后科学技术相当发达了,这类计算仍然十分必要。
如果我们的计算结果与粗略估计大相径庭,就说明我们的计算过程必然有错。
估算常采用的方法是:
1、省略尾数取近似值;
2、用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围进行估算。
【典型例题】
【例1】不计算出结果,仔细想一想,尽快选择“<”、“>”或“=”。
符号填在()里。
(1)0.1÷
0.01×
0.001÷
0.0001()10×
1
(2)38.45÷
0.93()38.45×
0.93
(3)18.74×
5.6()187.4×
56÷
100
(4)93.86×
58.4+3()93.86×
(58.4+3)
【试一试】
1、下列算式中,商最小的是()。
A、1.025÷
0.05B、1025÷
5
C、1025÷
0.5D、1.025÷
0、5
2、下列算式中,积最大的是()。
A、999.9×
99.99B、999.9×
999.9
C、9999×
99D、99.99×
99.99
3、20012001×
2001-20012000×
2000-20012000的结果是多少?
【例2】在六位数“1995□□”的方框里填上适当的数字,使它能同时被7、8、9整除?
1、有一个六位数,它的前三位是“765”,并且这个六位数是7、8、9的倍数。
这个六位数是多少?
2、有一个六位数,它的前四位恰好是1997,并且知道这个六位数既是11的倍数,又是13的倍数。
这个六位数的末尾两位是多少?
【﹡例3】从装有写着1、2、3、4、5、6、7、8、9的9张卡片中,一次取出6张,计算它们的和,最多有多少种不同的和?
【﹡试一试】
1、李明有1角的人民币4张,2角的人民币2张,5角的1张,1元的人民币2张。
如果从中取1至9张,那么他取出的总钱数可以有多少种不同的金额?
2、有1克、2克、3克、4克和5克的砝码各一个,从中拿3个砝码放在天平的一边称物体,能称出多少种不同的重量?
课外作业
家长签名:
1、如果a-1=b+1,则a()b(在括号内填“<
”、“>
”或“=”)
2、比较
的大小。
3、在○里填上“<”、“>”或“=”。
32221202÷
12131415○6543210÷
2122203
4、在○里填上“<”、“>”或“=”。
45678×
87654○45677×
87655
5、在□里填“<”、“>”或“=”。
(1)a+0.1=b-1,a□b
(2)a-0.1=b+1,a□b
(3)a×
0.1=b÷
10,a□b
(4)a÷
0.1=b×
﹡6、被7除或被6除,余数都是1。
符合一条件的最大四位数和最小四位数各是多少?
﹡7、小军的两个衣袋中各有13张卡片,每张卡片上分别写着1、2、3、……、13。
从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积,可以得到许多不相等的乘积。
那么其中被6整除的乘积有多少个?
第二章趣题与智巧
第一讲算式谜
算式谜一般是指一些含有未知数字或缺少运算符号的算式。
解决这类问题,可以根据四则运算的规定、四则运算算式中的数量关系以及数的组成,逐步确定算式中的未知数字和运算符号。
解答算式谜的关键是找准突破口,推理时应注意:
1、认真分析算式中所包含的数量关系,找出尽可能多的隐蔽条件,选择有特征的部分做出局部判断。
2、采用列举和筛选结合的方法,逐步排除不合题意的数字。
3、算式谜解出后,务必要验算一遍。
【例1】有一个六位数,它的个位数字是6,如果将6移至第一位前面,所得的新六位数是原数的4倍。
求原六位数。
1、已知六位数
,这个六位数的3倍正好是
。
求这个六位数。
2、下面竖式中每个汉字表示一个数字,不同的汉字表示不同的数字,请说出各个汉字分别表示什么数字?
2华罗庚金杯
×
3
华罗庚金杯2
【例2】下面竖式中每个小方格都代表一个数字,请把这个算式写完整。
285
×
□□
1□2□
□□□
□9□□
1、把下面的算式写完整。
2、在算式的“□”里填上合适的数字。
□2□□
□6
□□04
□□70
□□□□□
□□□
89
□□□□
【例3】右图的五个方格中已经填写入84和72两个两位数,请你在其余的三格中也分别填入一个两位数,使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等,并且这五个两位数正好由0~9十个数字组成。
1、把0~9这十个数字填到圆圈内,每个数字只能用一次,使三个算式成立。
○+○=○○-○=○○×
○=○○
2、将1~9九个数字填入下列九个○中,使等式成立。
○○○×
○○=○○×
○○=5568
【例4】把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字填入下面的小方格中,使三个等式都成立。
□+□=□
□-□=□
□×
□=□□
1、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个不同的数字分别填在○中,使下面的三个算式成立。
○+○=○○-○=○○×
○=○
2、将0、1、2、3、4、5、6填到下列只有一、两位数的算式中,使等式成立。
○×
○=○=○÷
○
【﹡例5】把2、3、4、5、7、9这六个数字分别填在六个“□”里,使乘积最大,应该怎样填?
□□□×
□□□
1、用9、8、2、1四个数字组成两个两位数,并且使它们的积最大。
2、用6、1、2、5、9、7组成两个三位数,并且使它们的积最小。
1、下面算式里,不同字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,这些字母各表示哪些数?
2、下面的算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,求这个算式中个汉字表示的数字。
新新×
春春=新年年新
3、不同的汉字表示不同的数字,请分析出“我们热爱科学”分别表示什么数字?
我们热爱科学
学
好好好好好好
4、在□里填上合适的数字。
□□
6□□)□□□1
□□7
□□□□
□□61
0
5、把44、2、11、12、22、33六个数分成二组,使每组中的三个数的积相等。
□×
□=□×
□
6、把0、1、2、3、4、5、6填到下面□里,使等式成立。
□□□+□+□=□
﹡7、“我喜欢×
小数报”表示两个三位数相乘,“我、喜、欢、小、数、报”这六个数分别代表3、4、5、6、7、8这六个数。
这个算式的乘积最大是多少?
第三讲实践与应用
(一)
第一讲行程问题
(一)
行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。
行程问题的主要数量关系是:
路程=速度×
时间。
知道三个量中的两个量,就能求出第三个量。
【例1】甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东、西两地相距多少千米?
1、小玲每分行100米,小平每分行80米,两人同时从学校和少年宫相向而行,并在离中点120米处相遇,学校至少年宫有多少米?
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行65千米,当摩托车行到两地中点处时,与汽车还相距75千米,甲、乙两地相距多少千米?
【例2】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,快车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米,这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米?
1、兄、弟二人同时从学校和家中出发,相向而行。
哥哥每分钟行120米,5分钟后哥哥已超过中点50米,这时兄弟二人还相距30米。
弟弟每分钟行多少米?
2、汽车从甲地开往乙地,每小时行32千米,4小时后,剩下的路比全程的一半少8千米,如果改用每小时56千米的速度行驶,再行几小时到乙地?
【例3】甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙快6千米。
中午12时甲到西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。
求东、西两村相距多少千米?
1、甲、乙二人同时从A地到B地,甲每分钟走250米,乙每分钟走90米。
甲到达B地后立即返回A地,在离B地3.2千米处与乙相遇。
A、B两地间的距离是多少千米?
2、小平和小红同时从学校出发步行去小平家,小平每分钟比小红多走20米。
30分钟后小平到家,到家后立即原路返回,在离家350米处遇到小红。
小红每分钟走多少千米?
【例4】甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发,相向而行。
一个同学骑自行车以每小时14千米的速度,在两队之间不停地往返联络。
甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米。
两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米?
1、两支队伍从相距55千米的两地相向而行。
通讯员骑马以每小时16千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。
已知一支队伍每小时行5千米,另一支队伍每小时行6千米,两队相遇时,通讯员共行多少千米?
2、甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是100千米。
甲每小时行6千米,乙每小时行4千米。
甲带着一只狗,狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发,碰到乙的时候,它就掉头朝甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直到两人相遇时。
这只狗一共走了多少千米?
【﹡例5】甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发,到10时两车相距112.5千米。
两车继续行驶到下午1时,两车相距还是112.5千米。
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向出发,3小时后,两车还相距120千米,又行3小时,两车又相距120千米。
A、B两地相距多少千米?
2、快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出,中午12时两车还相距50千米,继续行驶到14时,两车又相距170米。
甲、乙两地相距多少千米?
1.甲、乙两车分别从两地出发相向而行,甲每小时行80千米,乙每小时行驶40千米,经过4小时后两车在途中相遇,两地相距多少千米?
2、A、B两镇相距48千米,甲、乙两人分别从两镇同时出发相向而行,已知甲到达B镇需8小时,乙到达A镇需12小时,他们出发后多少时间相遇?
3、小轿车每小时行60千米,比客车每小时多行5千米,两车同时从A、B两地相向而行,在距中点20千米处相遇,求A、B两地的路程。
4、学校运来一批树苗,五
(1)班的40个同学都去参加植树活动,如果每人植3棵,全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。
如果这批树苗全部给五
(1)班的同学去植,平均每人植多少棵树?
5、甲、乙二人上午7时同时从A地去B地,甲每小时比乙快8千米。
上午11时甲到达B地后立即返回,在距B地24千米处与乙相遇。
求A、B两地相距多少千米?
6、两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发,一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信。
如果鸽子从同学们出发到相遇共飞了30千米,而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米,求两队同学的行走速度。
7、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行,8小时相遇,相遇后两车继续行驶,3小时后两车相距360千米,求A、B两地的距离。
我的学习收获:
。
第二讲行程问题
(二)
本周的主要内容是“追及问题”。
追及问题一般是指两个物体同方向运动,由于各自的速度不同后者追上前者的问题。
追及问题的基本数量关系是:
速度差×
追及时间=追及路程
解答“追及问题”,一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体,是因为两者之间存在着速度差。
抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理,结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析,并借助线段图来理解题意,就可以正确解题。
【例1】中巴车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米,两车同时从相距60千米的两地同方向开出,且中巴车在前。
求几小时后小轿车追上中巴?
1、兄、弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发,沿同一方向跑步,弟弟在前,每分跑120米,哥哥在后,每分跑140米。
几分钟后哥哥追上弟弟?
2、甲骑自行车从A地到B地,每小时行16千米,1小时后,乙也骑自行车从A地到B地,每小时行20千米,结果两人同时到达B地。
【例2】一辆汽车从甲地开往乙地,要行360千米,开始按计划以每小时45千米的速度行驶,途中因汽车出故障修车2小时。
因为要按时到达乙地,修好车后必须每小时多行30千米。
问:
汽车是在离甲地多远处修车的?
1、小王家离工厂3千米,他每天骑车以每分200米的速度上班,正好准时到工厂。
有一天,他出发几分钟后,因遇熟人停车2分钟,为了准时到厂,后面的路必须每分钟多行100米。
求小王是在离工厂多远处遇到熟人的?
2、一辆汽车从甲地开往乙地,若每小时行36千米,8小时能到达。
这辆车以每小时36千米的速度行驶一段时间后,因排队加油用去了15分钟。
为了能在8小时内到达乙地,加油后每小时必须多行7.2千米。
加油站离乙地多少千米?
【例3】甲骑车,乙跑步,二人同时从一点出发沿着长4千米的环形公路方向进行晨练。
出发后10分钟,甲便从乙身后追上了乙,已知两人的速度和是每分钟行700米,求甲、乙二人的速度各是多少?
1、爸爸和小明同时从同一地点出发,沿相同方向在环形跑道上跑步。
爸爸每分钟跑150米,小明每分钟跑120米,如果跑道全长900米,问至少经过几分钟爸爸从小明身后追上小明?
2、在300米长的环形跑道上,甲、乙二人同时同地同向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米。
两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米?
【例4】甲、乙、丙三人都从A地到B地,早晨六点钟,甲、乙两人一起从A地出发,甲每小时走5千米,乙每小时走4千米。
丙上午八时才从A地出发,傍晚六点,甲和丙同时到达B地,问丙什么时候追上乙?
1、客车、货车、小轿车都从A地到B地,货车和客车一起从A地出发,货车每小时行50千米,客车每小时行60千米,2小时后,小轿车才从A地出发,12小时后,小轿车追上了客车,问小轿车在出发后几小时追上货车?
2、甲、乙、丙三人都从A地到B地,甲、乙两人一起从A地出发,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米。
4小时后丙骑自行车从A地出发,用了2小时就追上乙,再用几小时就能追上甲?
【﹡例5】甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。
甲在公路上A处,乙、丙同在公路上B处,三人同时出发,甲与乙、丙相向而行。
甲和乙相遇3分钟后,甲和丙又相遇了。
求A、B之间的距离。
1、甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。
甲、乙两人在B地,丙在A地与甲、乙二人同时同向而行,丙和乙相遇后,又过2分钟和甲相遇。
求A、B两地的路程。
2、客车、货车、小轿车的速度分别是每小时60千米、50千米、70千米,客车、货车在A地,小轿车在B地,三车同时出发,小轿车与客、货车相向而行,小轿车和客车相遇1小时后和货车相遇。
求A、B两地之间的距离。
1、两地相距800千米,甲车行完全程需16小时,乙车行完全程需10小时,甲车出发3小时后,乙车去追甲车,问乙车要走多少千米才能追上甲车?
2、育英小学有条300米长的环行跑道,扬扬和宁宁同时从起跑线起跑,扬扬每秒跑6米,宁宁每秒跑4米,扬扬第二次追上宁宁时两人各跑了几圈?
3、甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发。
走15分钟后甲返回原地取东西,而乙继续前进。
甲取东西用去5分钟的时间,然后改骑自行车以每分360米的速度追乙,甲骑车多少分才能追上乙?
4、汽车以每小时30千米的速度从甲地出发,6小时后能到达乙地。
汽车出发1小时后原路返回甲地取东西,然后立即从甲地出发,为了能在原来时间内到达乙地,汽车必须以每小时多少千米的速度从甲地驶向乙地?
5、环湖一周共400米,甲、乙两人同时从同一点同方向出发,甲过10分钟第一次从乙身后追上乙,若两人同时从同一点反向而行,只要2分钟就相遇,求甲、乙的速度。
6、甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米,甲、乙两人在B地同时同向出发,丙从A地同时同向出发去追赶甲、乙,丙追上甲以后又过了10分钟才追上乙,求A、B两地的路程。
7、A、B两地相距1800米,甲、乙二人从A地出发,丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行,已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米,当乙和丙相遇时,甲落后于乙几米?
第三讲行程问题(三)
很多稍复杂的应用题,运用算术方法解答有一定困难,列方程解答就比较容易。
列方程解答行程问题的优点是可以使未知的数直接参加运算,列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系,因此,对于一些较复杂的行程问题,我们可以用题中已知的条件和所设的未知数,根据自己最熟悉的等量关系列出方程,方便解题。
【例1】一辆汽车从甲地开往乙地,平均每小时行20千米。
到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地,往返一次共用7.5小时。
求甲、乙两地间的路程。
1、汽车从甲地开往乙地送货,去时每小时行30千米,返回时每小时行40千米。
往返一次共用8小时45分,求甲、乙两地间的路程。
2、一架飞机所带的燃料最多可用9小时,飞机去时顺风,每小时可飞1500千米,返回时逆风,每小时可飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞?
【例2】一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地,每小时走15千米可早到0.4小时,如果每小时走12千米就要迟到0.25小时,他去某地的路程有多远?
1、小李由乡里到县城办事,每小时行4千米,到预定到达的时间时,离县城还有1.5千米。
如果小李每小时走5.5千米,到预定到达的时间时,又会多走4.5千米。
乡里距县城多少千米?
2、小王骑摩托车从B地到A地去开会。
如果每小时行50千米,就要迟到0.2小时,如果每小时行60千米,就会早到1小时,求A、B两地的距离。
【例3】东、西两地相距5400米,甲、乙从东地,丙从西地同时出发,相向而行。
甲每分钟行55米,乙每分钟行60米,丙每分钟行70米。
多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处?
1、A、B、C三地在一条直线上如图所示:
A、B两地相距2千米,甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走,甲每分钟走35米,乙每分钟走45米。
经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处?
2、东、西两镇相距60千米。
甲骑车行全程要4小时,乙骑车行全程要5小时。
现在两人同时从东镇到西镇去,经过多少小时后,乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍?
【例4】快、慢两车同时从A地到B地,快车每小时行54千米,慢车每小时行48千米。
途中快车因故停留3小时。
结果两车同时到达B地。
求A、B两地间的距离。
1、甲每分钟行120米,乙每分钟行80米,二人同时从A店出发去B店,当乙到达B店时,甲已在B店停留了2分钟。
A店到B店的路程是多少米?
2、甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边,甲每小时行15千米,乙每小时行20千米。
途中乙因修车停留了24分钟,结果二人同时到达江边。
从学校到江边要行多少千米?
【﹡例5】一位同学在360米长的形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米。
求他后一半路程用了多少时间?
1、小明在420米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑8米,后一半时间每秒跑6米。
2、小华在240米长的跑道上跑了一个来回,已知他前一半时间每秒跑6米,后一半时间每秒跑4米。
求他返回时用了多少秒?
1、甲每小时行4千米,2小时后,乙以每小时8千米的速度追赶甲,几小时后可赶上?
2、两地相距900千米,快慢两车从两地同时相对开出,5小时相遇。
快车每小时行80千米,慢车每小时行多少千米?
3、师、徒二人加工一批零件。
师傅每小时加工35个,徒弟每小时加工28个。
师傅先加工了这批零件的一半后,剩下的由徒弟去加工,二人共用18小时完成了加工任务。
这批零件共有多少个?
4、玲玲从家到县城上学,她以每分50米的速度走了2分后,发现按这个速度走下去要迟到8分,于是她加快了速度,每分多走10米,结果到学校时,离上课还有5分。
玲玲家到学校的路程是多少米?
5、老师今年32岁,学生今年8岁。
再过几年老师的年龄是学生年龄的3倍?
6、兄、弟二人同时从家往学校走,哥哥每分钟走90米,弟弟每分钟走70米,出发1分钟后,哥哥发现少带铅笔盒,则原路返回,取后立即出发,结果与弟弟同时到达学校。
问他们家离学校多远?
7、甲、乙两地相距205千米,小王开汽车从甲地出发,计划5小时到达乙地。
他前一半时间每小时行36千米,为了按时到达乙
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