《以几何知识教学为载体有效发展学生空间观念的教学思考与实践》.docx
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《以几何知识教学为载体有效发展学生空间观念的教学思考与实践》
以几何知识教学为载体,有效发展学生空间观点的教学思考与实践
——《圆柱和圆锥》单元教科书分析
《圆柱和圆锥》是人教版教科书六年级下册第三单元的教学内容,属于图形与几何领域。
教学这个部分内容,有利于发展学生的空间观点,为进一步应用几何知识解决实际情况问题打下基础。
一、教学内容分析
1.本单元内容的前后联系
一年级上册
初步理解长方体、正方体、圆柱和球等立体图形
一年级下册
初步理解长方形、正方形、三角形、圆和平行四边形
五年级下册
再次理解长方体(包括正方体),探索其特征
六年级上册
再次理解圆,探索其性质
六年级下册
再次理解圆柱,理解圆锥,探索其性质
从这些内容能够看出,学生学习的内容表现出“从立体到平面再到立体”的线索。
这也体现了学生理解的“从整体到局部再到整体”的学习路线。
前后的两个立体是有区别的。
开始学生时从直观上理解立体图形,后来则要利用已学的平面图形的特征等尝试把握立体图形的特征。
此外,空间观点有一个重要的方面,就是三维和二维的转化,即从立体转换到平面,反过来由平面再转换到立体。
2.本单元详细的教学内容
本单元教学内容的编排,基本沿用了实验教科书的结构,无论是结构还是详细内容,变动都不是很大。
详细变动之处主要有以下几个方面。
(1)在圆柱的体积计算之后,教科书新编了一道“解决实际情况问题”的例题(例7)。
这是一个非常规问题,很具有挑战性。
(2)在有些例题习题编写中做了适当的删减。
例如,例5探索圆柱体积,教科书增编了两处小精灵的提问,再将圆柱分割拼成近似的长方体后,增编“把拼成的长方体与原来的圆柱比较,你能发现什么?
”这个问题,继而在得出文字计算公示后,进一步提问“如果知道圆柱的底面半径r和高h,你能写出圆柱的体积公式吗?
”显然,教科书经过改动后,更有利于老师充分地发挥其指点作用,也更有利学生有的放矢地实行自主探究学习,为学生的“真探究”提供了良好的研究平台。
二、学生情况分析
1.学生基础分析
(1)知识基础
在学习本单元内容之前,学生已经掌握了长正方体的特征以及表面积和体积的计算方法,也能计算圆的周长、面积以及环形面积。
(2)方法基础
学生掌握了将未知知识转化为已学知识的方法,如将圆转化成学过的长方形或平行四边形等推导出圆面积的计算方法。
所以,在本单元的教学中,无论是圆柱和圆锥的理解,还是体积公式的推导,学生都是具备一定的经验的,老师应引导学生自主探究。
2.学生的学习困难
虽然学生具有一定的学习基础,但本单元的学习对学生来说还是有一定难度的。
(1)易错易混的新知
对圆锥的高的理解是学生学习的一个难点。
难点在于平面图形和已学过的长、正方体、圆柱体的高都能在图形的表面上看到,而圆锥的高是在图形的内部,所以学生会把高和母线混淆。
再如探究圆锥体积的计算方法时,老师们都会组织学生通过实验发现圆锥体积是等底等高圆柱体积的,但在解决实际情况问题时学生还是总忘乘。
(2)水平方面
这单元计算量比较大,所以会导致计算错误增多。
此外学生在解决实际情况问题时不能与新知识创建联系,表现在不清楚求的是求表面积还是体积,求表面积时分不清求完整的还是部分的等。
三、单元教学目标
1.使学生理解圆柱和圆锥,掌握它们的基本特征。
并理解圆柱的底面、侧面和高。
理解圆锥的底面和高。
2.引导学生探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积的计算公式,会使用公式计算体积,解决相关的简单实际情况问题,培养学生的几何直观水平。
3.通过观察、设计和制作圆柱、圆锥模型等活动,使学生了解平面图形与立体图形之间的联系,发展学生的空间观点。
4.使学生理解除了研究几何图形的形状和特征,还要从数量的角度来研究几何图形,如图形的面积、体积等,体会数形结合的思想。
5.通过圆柱和圆锥体积公式的探索,使学生体会转化、推理、极限、变中有不变等数学思想。
6.培养学生乐于学习、勇于探究的数学情感,激发学生研究、解决数学问题的兴趣。
本单元的教学重点是理解圆柱和圆锥,掌握它们的基本特征,探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积的计算公式,会使用公式计算体积,解决相关的简单实际情况问题。
难点是理解圆锥的高,了解平面图形与立体图形之间的联系,发展学生的空间观点。
四、本单元各例题简要说明
(一)圆柱
例1.圆柱的组成及其特征。
在引导学生观察圆柱形实物的基础之上,理解圆柱的底面、侧面和高。
接着组织学生对圆柱的观察、触摸以及交流讨论,了解圆柱的特征。
在探究圆柱的特征之后,教科书还安排了一个有趣的活动:
拿一张长方形硬纸,在某一边贴上一小棒,快速转动小棒,看转出来的是什么形状。
在学生理解到以长方形的某一条边为轴旋转会形成圆柱的基础上,引导学生思考按照这样的方法旋转,原来的长方形的长、宽与旋转而成的圆柱的底面和高有什么关系?
从而感受平面图形与立体图形的转换。
例2.理解圆柱侧面展开图。
引导学生动手实践,自主探究,发现圆柱侧面是一个长方形。
之后,在一系列问题等的引领下,进一步激发学生探究的欲望,学生通过操作、验证、比较等,进一步发现圆柱侧面展开后的长方形的长、宽与圆柱的底面周长、高之间的关系,实现平面与曲面之间的转换。
例3.圆柱的表面积及其计算方法。
教科书借助学生对圆柱各部分组成的理解,引导学生自主探求圆柱的表面又哪些部分组成。
从而得出圆柱表面积的计算方法。
这样方法几何直观意义明确,便于学生理解,是计算表面积的基本方法,应人人掌握。
老师还能够引导学生通过化曲为直得出另一种方法:
圆柱表面积=底面周长×(高+半径)。
针对计算过程中可能出现的困难,教科书重点提示了圆柱的侧面积的计算,即实际情况就是求图中长方形的面积,以协助学生将圆柱的底面半径(或直径)及圆柱的高,和圆柱侧面图形的长、宽创建联系,自行推导总结圆柱的侧面积=底面周长×高。
例4.圆柱表面积计算的应用。
现实生活中相关圆柱表面积计算的情形复杂多变,需要根据详细的情况,确定求哪些面的面积之和。
本例中的关键是将圆柱形厨师帽抽象为一个只有一个底的圆柱。
这道题的计算结果,在取近似值时采用的是“进一法”,而非用“四舍五入”取近似值,因为只要是求所需的材料首先要考虑够用,所需的材料只可比计算结果多而不能少。
例5.圆柱体积公式的推导。
教科书首先从回顾旧知(长方体、正方体的体积计算)入手,引出圆柱体积的计算问题,并提出圆柱能否转化为已学过的立体图形来计算体积。
如何转化?
教科书从将圆等分若干等份再拼成近似长方形这个原有知识经验作为思维的生长点,引导学生从平面的知识类推到立体的图形,即先将圆柱的底面分成很多相等的扇形,再把圆柱切开,拼成一个近似的长方体。
继而让学生想象,等分成的份数越多,拼成的形体越接近长方体。
根据小精灵的提示:
把拼成的长方体与原来的圆柱比较,你能发现什么?
引导学生观察与推理,得出转化前后的圆柱与长方体各部分之间的对应关系,推导出圆柱的体积计算公式的两种形式。
例6.用圆柱体积的计算公式解决实际情况问题。
教科书创设了一个生活的问题情境“这个杯子能不能装下这袋牛奶”,要解决这个问题,就先要计算杯子的容积,使学生感受计算的必要性。
容器容积计算的方法与相对应立体图形的体积计算方法相同,仅仅要注意从容器的内部去测量相关的数值。
例7.用圆柱体积计算公式解决问题。
本例是修订版教科书新增的一个问题解决例题。
教科书表现了一个装了小半瓶水的矿泉水瓶,下部是圆柱形,上部是一个不规则的立体图形。
给出了瓶子平置时水的高度和倒置时无水部分的高度,要求的是这个瓶子的容积。
这是一个非常规数学问题,不是简单套用公式就能够解决的,但例题素材的选用更有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等诸方面的水平。
(二)圆锥
例1.理解圆锥的底面、侧面和高及其特征。
首先,教科书借助圆锥几何模型,引导学生观察理解圆锥的底面、侧面和高,并给出这些概念的定义及其主要特征。
其次,着重介绍圆锥高的测量方法,并指出测量时需要注意的问题。
最后,与圆柱的理解编排相似,为加深对圆锥的理解,安排了一个快速转动自制的“三角形”,看转出来的是什么形状,从旋转的角度理解圆锥,以促动学生空间观点的发展。
例2.圆锥体积计算公式的推导。
首先引导学生思考,通过寻找圆柱、圆锥的共同点:
底面都是圆等等,启发学生将圆锥的体积与圆柱的体积联系起来,激发学生对两者体积之间的大小关系实行猜测、探究。
其次教科书让学生准备好等底、等高的圆锥和圆柱,通过圆柱、圆锥相互倒沙子或水的实验,探究圆锥和圆柱体积之间的关系,由此得出圆锥体积的计算公式。
例3.圆锥体积的计算。
与原实验教科书相比,本例所求问题由求体积改为求体积、求重量两个问题。
所以,在教学时应特别注意合理、准确利用题目中给出的信息,弄清所求问题。
通过这个例子的教学,使学生初步学会解决一些与计算圆锥形物体的体积相关的实际情况问题。
五、教学建议
“刻画图形”、“空间观点”、“推理水平”构成了图形与几何教学的核心词,即学生在学习如何“刻画图形”的基础上,发展“空间观点”和“推理水平”。
1.在刻画图形中设计丰富的素材发展空间观点
“能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,实行几何形体与其他视图、展开图之间的转化”是空间观点的重要表现。
所以,在教学中要为学生提供丰富的素材促动学生实行立体和平面的转化,从多角度、多元、多维地理解和理解图形的特征。
三维和二维的转化应包括以下几方面:
(1)不同角度的观察
在教学圆柱和圆锥的理解时,老师应引导学生利用实物从正面、侧面、上面等观察立体图形得到平面图形。
观察角度
圆柱
圆锥
上面
下面
侧面
或
或
(2)由平面图形形成立体图形
①圆形通过平移形成圆柱。
②长方形(正方形)绕长或宽旋转一周、绕中心轴旋转180度形成圆柱。
③直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥。
此外教科书中也安排了平面图形旋转成立体图形的练习。
老师还能够拓展延伸,引导学生想象下面的图形是由哪个平面图形旋转而成的。
④用平面图形围成圆柱或圆锥
教学中,老师能够设计选择适合的图形围圆柱和圆锥的活动。
学生很容易想到长方形和正方形纸能够围成圆柱,经过动手操作学生会发现其实平行四边形也能为成圆柱,丰富了学生对圆柱侧面展开图的理解。
根据圆锥的侧面观察,学生会选三角形纸围圆锥,但经过实验发现实际情况上围不成。
这时老师能够引导学生思考圆锥的侧面展开是什么形状的呢?
培养学生的空间想象水平。
学生猜想后实行验证,发现圆锥的侧面展开图实际情况上是扇形,加深学生对圆锥侧面的理解。
此外还能够让学生用一个圆分割成不同大小的扇形分别制作圆锥,先猜测制成的两个圆锥一样高吗?
然后动手制作,制作后实行比较,再谈什么是圆锥的高。
明确什么是高,什么是母线。
同时发现当半径相等时,圆心角越大圆锥高越小,圆心角越小圆锥高越大。
(3)切分圆柱和圆锥
教科书20页第4题使学生通过比较截面和侧面展开图,进一步丰富关于平面和立体之间关系的相关经验与知识,发展空间想象力。
教学中老师能够设计对圆柱和圆锥的切分活动,引导学生想象截面的形状及与原图之间的关系。
切分方法
截面形状
或
或
在探索图形特征的过程中,要留给学生充足的实践、思考和讨论的时间,这不但能使他们对图形的特征有更加深刻的理解,也将有利于积累丰富的直观经验和活动经验。
2.在探索侧面积、表面积和体积公式的过程中发展空间观点
(1)探究圆柱侧面积的计算方法——动手操作,发展空间观点
在探究圆柱侧面积计算方法时能够安排制作圆柱的活动,给一个侧面和不同的底面,选择合适的底面制作圆柱。
也能够只给一张白纸,不给底面和侧面让学生自己制作圆柱。
两种方案开放的水准不同,但都能够使学生体会到圆柱底面与侧面之间的关系。
同时还能够安排相关的练习。
(2
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