初中二次函数知识点详解及典型例题Word文档下载推荐.docx
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二次函数的解析式有三种形式:
口诀-----一般两根三顶点
(1)一般一般式:
yax2bxc(a,b,c是常数,a0)
(2)两根当抛物线yax2bxc与x轴有交点时,即对应二次好方程ax2bxc0有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式ax2bxca(xx1)(xx2),二次函数yax2bxc可转化为两根式ya(xx1)(xx2)。
如果没有交点,则不能这样表示。
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3)三顶点顶点式:
ya(xh)2k(a,h,k是常数,a0)
知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当xb时,
2a
4acb2y最值。
4a
如果自变量的取值范围是x1xx2,那么,首先要看b是否在自变量取值范围x1xx2内,
b4acb2
若在此范围内,则当x=b时,y最值4acb;
若不在此范围内,则需要考虑函数在x1xx2范2a4a
围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当xx2时,y最大ax22bx2c,当xx1
时,y最小ax12bx1c;
如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当xx1时,y最大ax12bx1c,
当xx2时,y最小ax22bx2c。
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
yax2bxc(a,b,c是常数,a0)
a>
a<
图像
y
yy
x
性质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
bb
(2)对称轴是x=b,顶点坐标是(b,
2a2a
4acb2
(1)抛物线开口向下,
(2)对称轴是x=
4acb2
并向下无限延伸;
,顶点坐标是(,
);
(3)在对称轴的左侧,即当x<
b时,y随x
的增大而减小;
在对称轴的右侧,即当
(3)在对称轴的左侧,
x的增大而增大;
即当x<
b时,y随2a在对称轴的右侧,即当
x>
b时,y随x的增大而增大,简记左减
右增;
(4)抛物线有最低点,当x=b时,y有最小
值,y最小值
b
b时,y随x的增大而减小,简记左
增右减;
(4)抛物线有最高点,当x=b时,y有最
大值,y最大值
2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数,a0)中,a、b、c的含义:
a表示开口方向:
0时,抛物线开口向上a<
0时,抛物线开口向下
b与对称轴有关:
对称轴为x=b
c表示抛物线与
y轴的交点坐标:
(0,c)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的b24ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>
0时,图像与x轴有两个交点;
当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<
0时,图像与x轴没有交点。
知识点五中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
如图:
点A坐标为(x1,y1)点B坐标为(x2,y2)
则AB间的距离,即线段AB的长度为x1x22y1y22
2,二次函数图象的平移
1将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k;
保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
3平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;
k值正上移,负下移”.函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
特别记忆--同左上加异右下减(必须理解记忆)说明①函数中ab值同号,图像顶点在y轴左侧同左,ab值异号,图像顶点必在Y轴右侧异右
2向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减
3、直线斜率:
y2y1b为直线在y轴上的截距4、直线方程:
ktan21
x2x1
4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两式:
yy1kxb(tan)xbyx2xy1x(xx1)此公式有多种变形牢记x2x1
②点斜yy1kx(xx1)
3斜截直线的斜截式方程,简称斜截式:
y=kx+b(k≠0)
4截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式:
xy1
ab
牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距
5、设两条直线分别为,l1:
yk1xb1l2:
yk2xb2若l1//l2,则有l1//l2k1k2
kx0y0bkx0y0b
6、点P(x0,y0)到直线y=kx+b(即:
kx-y+b=0)的距离:
d222
k2
(1)2k21
7、抛物线yax2bxc中,abc,的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线
xb,故:
①b0时,对称轴为y轴;
②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
2aa
③b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.口诀---同左异右
a
(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
1c0,抛物线经过原点;
2c0,与y轴交于正半轴;
3c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则b0.
二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线,图象对称是关键;
开口、顶点和交点,它们确定图象现;
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;
顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;
顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。
若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。
二次函数抛物线,选定需要三个点,a的正负开口判,c的大小y轴看,△的符号最简便,x轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。
关于x轴对称
22
yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是yaxhk;
关于y轴对称
yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是yaxhk;
yaxbxc;
关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是
2yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是
关于顶点对称
2yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是
2yaxhk关于顶点对称后,得到的解析式是yaxhk.
关于点m,n对称
yaxhk关于点m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m2nk
a永远不变.求抛
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数抛物线,图象对称是关键;
开口、顶点和交点,它们确定图象限;
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;
解一元二次不等式:
首先化成一般式,构造函数第二站。
判别式值若非负,曲线横轴有交点。
a正开口它向上,大于零则取两边。
代数式若小于零,解集交点数之间。
方程若无实数根,口上大零解为全。
小于零将没有解,开口向下正相反。
13.1用公式法解一元二次方程
要用公式解方程,首先化成一般式。
调整系数随其后,使其成为最简比。
确定参数abc,计算方程判别式。
判别式值与零比,有无实根便得知。
有实根可套公式,没有实根要告之。
用常规配方法解一元二次方程:
左未右已先分离,二系化“1”是其次。
一系折半再平方,两边同加没问题。
左边分解右合并,直接开方去解题。
该种解法叫配方,解方程时多练习。
用间接配方法解一元二次方程:
已知未知先分离,因式分解是其次。
调整系数等互反,和差积套恒等式。
完全平方等常数,间接配方显优势【注】恒等式
解一元二次方程:
方程没有一次项,直接开方最理想。
如果缺少常数项,因式分解没商量。
b、c相等都为零,等根是零不要忘。
b、c同时不为零,因式分解或配方,也可直接套公式,因题而异择良方。
二次函数:
二次方程零换y,二次函数便出现。
全体实数定义域,图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴,两边单调正相反。
A定开口及大小,线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线,平移也可去描点,
提取配方定顶点,两条途径再挑选。
列表描点后连线,平移规律记心间。
左加右减括号内,号外上加下要减。
二次方程零换y,就得到二次函数。
图像叫做抛物线,定义域全体实数。
A定开口及大小,开口向上是正数。
绝对值大开口小,开口向下A负数。
抛物线有对称轴,增减特性可看图。
线轴交点叫顶点,顶点纵标最值出。
如果要画抛物线,描点平移两条路
提取配方定顶点,平移描点皆成图
列表描点后连线,三点大致定全图
若要平移也不难,先画基础抛物线,
顶点移到新位置,开口大小随基础。
【注】基础抛物线
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