概率论与数理统计教案第二章docxWord下载.docx
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1、在随机试验E屮,O是相应的样本空间,如果对。
屮的每一个样本点⑵,有一个实
数X{co)与它对应,那么就把这个定义域为O的单值实值函数X=X(co)称为(一维)随
机变量。
2、设X是一个随机变量,对于任意实数兀,称函数
F(x)=P(X<
x),—oo<
x<
+oo
为随机变量X的分布函数。
3、设E是随机试验,X为随机变量,若X的取值范围(记为钱)为有限集或可列集,此吋称X为(一维)
离散型随机变量.
4、若维离散型随机变塑X的取值为西,兀2,,暫,,称相应的概率
P(X=xi)=pi,Z=l,2,
■KO
为离散型随机变量X的概率函数(或分布律)且满足
(1)非负性i=l,2,;
(2)正则性=1•-
1=1
5、设E是随机试验,O是相应的样木空间,X是0上的随机变量,F(x)是X的分布函数,若存在非负函数/(兀)使得
巩―(忙,
则称X为(一维)连续性随机变量,/(X)称为X的概率密度函数,满足:
(1)/(%)>
0-00<
X<
+00;
(2)jf{x)dx=1。
二、定理与性质
1、分布函数F(x)有如下性质:
(1)对于任意实数兀,有OWF(0W1,limF(x)=O,limF(x)=l;
x—>
-x)x—»
-ko
(2)F(x)单调不减,即当%j<
x2时,有F(x1)<
F(x2);
(3)F(x)是兀的右连续函数,即limF(x)=F(x())0
x->
xo+O
2、连续型随机变量具有下列性质:
(1)分布函数F(x)是连续函数,在/(兀)的连续点处,Fz(x)=f(x);
(2)对任意一个常数c,yovc<
_hr,P(X=c)=0,所以,在事件{a<
X<
b}中剔除X=g或剔除
X=b,都不影响概率的大小,即
P(a<
X<
b)=P{ci<
b)=P(a<
b).
注意的是,这个性质对离散型随机变量是不成立的,恰恰相反,离散型随机变量计算的就是“点点概率”。
(3)对任意的两个常数a,b,P{a<
b)=^f{x)dxo
三、主要例题:
例1设一盒子中装有10个球,其中5个球上标有数字1,3个球上标有数字2,2个球上标有数字3。
从中任取一球,记随机变量X表示为“取得的球上标有的数字”,求X的分布函数F(x)o
例2设随机变量X的概率函数为
X・102
概率0.20.40.4
求
(1)P(X<
-0.7);
(2)X的分布函数F(x)。
例3设连续型随机变量X的密度函数为
0<
l
/(x)=|o其他
求
(1)P(凶<
0.5),
(2)X的分布函数F(x)o
掇篠為号02
教学基
本
指标
第一章第二节常用的离散分布
课的类型新知识课
教学手段黑板多媒体结合
概率的性质
教学难点公理化定义的理解
作业布置课后习题
熟练掌握概率的性质
教学基
内容
1、概率的公理化定义
设任一随机试验E,G为相应的样本空间,若对任意事件A,
有实数P(A)与之对应,且满足下面条件,则
数P(A)称为事件A的概率:
(1)非负性公理对于任意事件A,总有P(A)>
0;
(2)规范性公理P(G)=1;
(0\8
(3)可列可加性公理若人,4,,&
为两两互不相容事件组,则有P4=XP(A)-
V=1)/=1
二、定理与性质:
性质1
P(0)=()。
(n\n性质2(有限可加性)设A,4,,&
为两两互不相容的事件,则有P
v=1丿/=1
性质3对任意事件A,有P(可=1-P(A)O
性质4若事件Au3,则P(B-A)=P(ff)-P(A).
推论若事件AuB,则P(A)<P(B)o
性质5(减法公式〉
设A,B为任意事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB)o
性质6(加法公式)
设A,B为任意事件,则P(AB)=P(A)4-P(B)-P(AB)o
三、主要例题:
例1(生日问题)〃个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少?
例2已知事件454〃的概率依次为0.2,0.4,().5,求概率P(AS).
例3设事件A,B,C为三个随机事件,已知P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4,
P(AB)=0,P(BC)=
P(AC)=0」,则A,B,C至少发生一个的概率是多少?
A,B,C都不发生的概率是多
少?
第一章第三节概率的定义及其性质
公理化定义的理解
1>古典概型
(1)随机试验的样本空间只有有限个样本点,不妨记作0={山,0,,Q〃};
(2)每个样本点发生的可能性相等,即P(SJ)==p({con})=-
n
A中所含样本占的个数n若随机事件a中含有耳个样本点,贝g事件a的概率为p(a)=小丨『:
鳥人黒二丄
G中所有样木点的个数n
2、几何概型
(1)随机试验的样本空间0是某个区域(可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域),
(2)每个样本点发生的可能性相等,则爭件A的概率公式为:
P(恥黑
其屮加()在一维情形下表示长度,在二维情形下表示面积,在三维情形下表示体积。
二、主要例题:
例1抛掷两颗均匀的骰子,观察出现的点数,设事件A表示“两个骰子的点数一样”,求P(A).
例2(抽样模型)已知N件产品中有M件是不合格品,其余N-M是合格品。
今从中随机地抽取/?
件。
试求:
(1)不放回抽样"
件中恰有k件不合格品的概率;
(2)有放回抽样/2件中恰有P件不合格品的概率。
例3(抽奖问题)今有某公司年会的抽奖活动,设共有〃张券,其中只有一张有奖,每人只能抽一张,设事件A表示为“第R个人抽到有奖的券”,试在有放回、无放回两种抽样方式下,求P(A).
例4在[0,1]区间内任取一个数,求
(1)这个数落在区间(0,0.25)内的概率;
(2)这个数落在区间中点的概率;
(3)这个数落在区间(0,1)内的概率。
例5(碰面问题)甲、乙两人约定在中午的12时到13时之间在学校咖啡屋碰面,并约定先到者等候另一人10分钟,过时即可离去。
求两人能碰面的概率.
例6(蒲丰投针问题)蒲丰投针试验是第一个用儿何形式表达概率问题的例子。
假设平面上画满间距为d的平行直线,向该平面随机投掷一枚长度为/(/<
a)的针,求针与任一平行线相交的概率.
第一章第四节极限的证明与性质
条件概率的定义,乘法公式,独立性的定义
独立性定义的理解
熟练掌握事件独立的运用
1,设E是随机试验,。
是样本空间,人3是事件且/>
(人)>
0,称P(B|A)=?
爲)为在事件A发生的条件下事件B发生的概率,称为条件概率,记为P(B|A).
2,设A,B为试验E的两个事件,如果满足等式:
P(AB)=P(A)P(B),称事件A,B相互独立,简称独立C
3,设是试验E的三个事件,如果满足等式:
P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C)o称事件4,B,C两两独立。
4,设是试验E的三个事件,如果满足等式:
P(AB)=P(A)P(B)fP(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)・称事件A,B,C相互独立。
5,i般地,设A,4,,入是试验E的h(h>
2)个事件,如果对于其屮任意两个事件的积事件的概率等于各事件概率的积,则称事件4,出,,人两两独立;
如果对于其中任意两个事件、任意三个事件、…、任意〃个事件的积事件的概率等于各事件概率的积,则称事件人,人,,人相互独立。
1,条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质,即非负性、规范性和可列可加性,如下:
(1)非负性公理对于任意事件A,总有P(A\B)>
0.
(2)规范性公理P(G|B)=1;
(co、00/
(3)可列可加性公理若人,人,,&
为两两互不相容事件组,则有pA|5=SP(A|5).
)/=1
2,(概率的乘法定理)设为试验E的事件,且P(A)>
0,则有P(AB)=P(A)P(B|A).同理,若
P(B)>
0,有P(AB)=P(A|B)P(B)o
3,设A,B,C为任意的三个事件,且P(AB)>
0则
P(ABC)=P(A)P(BIA)P(CIAB).
4,更一般的,有下面公式:
设4,人,,人为事件组,且九J>
°
,贝9
5,若事件A与事件B相互独立,则下列各对事件也相互独立:
A与耳、A与3、A与歹。
例1假设抛掷一颗均匀的骰子,已知掷出的点数是偶数,求点数超过3的概率?
例2假设一批产品中一二三等品各有60个,30个和10个,从中任取一件,发现不是三等品,则取到的是一等品的概率是多少?
例3设A,3为事件,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.4,P(A—B)=0.5,求P(B|A)o
例4一批零件共100个,次品率为10%,从中不放冋収三次(每次収一个),求第三次才収得正品的概率.
例6把一枚硬币独立的掷两次.事件A表示“掷第i次时出现正面”,i=l,2;
事件人表示“正、反面各出现一次”•试证,两两独立,但不相互独立.
例7设某车间有三条独立工作的生产流水线,在一天内每条流水线要求工人维护的概率依次为0.9、0.8和
0.7.求一天屮三台车床至少有一条流水线需要工人维护的概率.
例8设有n个元件独立工作,分别按照串联、并联的方式组成两个系统A和B(如图),已知每个元件正常工作的概率都为P,分别求系统A和B的可靠性(即为系统正常工作的概率)
例9设P(A)=0.2,P(B)=0.3,事件A,B相互独立。
试求P(A-B),P(A”B)
掇锦為号力
第一章第五节全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式
掌握用全概率公式和贝叶斯公式进行计算
理解全概率公式和贝叶斯公式的定义,熟练掌握用全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算
1、设E是随机试验,Q是相应的样本空间,£
冬,,观为事件组,若4,4,,&
满足条件:
1AAJ=0(i^j)
2AA4=G
则称事件组4,人,,&
为样本空间的一个完备事件组•完备事件组完成了对样本空间的一个分割.
(全概率公式)设£
心,,&
为完备事件组,且P(A)>0(z=l,2,时,B为任一事件,则
p(b)=£
p(A)p(bia>
/=1
(贝叶斯公式)设人,4,,&
为完备事件组,p(A)>o(r=i,2,,/?
),b为任一事件,则
£
p(A)p(bia)
;
=1
例1某手机制造企业有二个生产基地,一个在S市,一个在T市,但都生产同型号手机.S市生产的手机占总数的60%,而T市的则占40%.二个基地生产的手机都送到二地之间的一个中心仓库,且产品混合放在一起.从质量检查可知S市生产的手机有5%不合格;
T市生产的手机则有10%不合格.求:
(1)从中心仓库随机抽出一个手机,求它是不合格品的概率;
(2)从屮心仓库随机抽出一个手机发现它是不合格的,求它是来自S市生产的概率是多少?
例2有三只箱子,第一个箱子中有四个黑球和一个白球,第二个箱子中有三个黑球和三个白球,第三个箱子中有三个黑球和五个白球.现随机収一箱,再从这个箱子中取一球,已知取到的是白球,这个白球是属于第二个箱子的概率是多少?
例3某种疾病的患病率为0.1%,某项血液医学检查的误诊率为1%,即非患者中有1%的人验血结果为阳性,患者中有1%的人验血结果为阴性。
现知某人验血结果是阳性,求他确实患有该种疾病的概率。
例4(敏感性问题调查)考试作弊,赌博,偷税漏税,酒后驾车等一些涉及个人隐私或利害关系,不受被调查对象欢迎或感到尴尬的敏感问题。
即使做无记名的直接调查,很难消除被调查者的顾虑,极有可能拒绝应答或故意做出错误的冋答,很难保证数据的真实性,使得调查的结果存在很大的误差。
如何设计合理的调查方案,来提高应答率并降低不真实回答率。
调查方案设计的基本思想是,让被调查者从
问题1:
你在考试中作过弊吗?
问题2:
你生日的月份是奇数吗?
屮,随机地选答其屮一个,同时让调查者也不知道被调查者冋答的是哪一个问题,从而保护被调查者的隐私,消除被调查者的顾虑,能够对自己所选的问题真实回答。
调查者准备一套13张同一花色的扑克,在选答上述问题前,要求被调查的学生随机抽収一张,看后还原,并使调查者不能知道抽取的情况。
约定如下:
如果学生抽取的是不超过10的数则回答问题1;
反之,则回答问题2。
假定调查结果是收回40()张有效答卷,其屮有80个学生回答“是”,320个学生回答“否”,求被调查的学生考试作弊的概率。
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